Principales notions d’ordre stochastique

Bref rappel sur les probabilités

La théorie des probabilités a été développée afin de déterminer le plus précisément possible l’issue d’une expérience aléatoire, c’est-à-dire une expérience dont on ne connaît pas le résultat avec certitude. Les probabilités sont utilisées dans tous les domaines scientifiques, notamment par les compagnies d’assurances, qui cherchent à calculer les probabilités de catastrophes naturelles afin d’ajuster les primes offertes à leurs clients. Formellement, soit une expérience aléatoire dont l’ensemble des résultats possibles est noté n. L’ensemble n est appelé l’espace échantillonal. Dans ce contexte, la probabilité d’un événement A ç n est définie par P(A) = n; , où nA est le nombre de cas favorables de l’événement A et N est le nombre de cas possibles. De façon générale, on définit P comme un opérateur agissant sur les sous ensembles de O. Tel qu’énoncé par Kolmogorov [9] une telle probabilité P doit satisfaire un ensemble axiomes. Avant de les énoncer, considérons des événements Al, … , An de O. On notera n n Ai = Al n … n An i=l l’événement où Al, … ,An se sont tous produits. De façon semblable, U Ai = Al U … U An iEI est l’événement où au moins un des événements Al, … ,An s’est produit. Les axiomes de Kolmogorov s’énoncent comme suit: (1) P(A) E [0,1] pour tout événement A ç 0; (2) P(O) = 1 ; (3) Si Al, A2′ … sont tels que Ai n Aj = 0, alors Plusieurs propriétés se déduisent directement de ces axiomes. Par exemple, si A’ = 0\ A désigne le complémentaire d’un événement A, alors P(A’) = 1 – P(A). Soient maintenant les événements A et B. Si P(B) > 0, alors la probabilité conditionnelle de A sachant B est définie par

Loi normale

La densité de la variable aléatoire normale de moyenne I-l et de variance a2 est Dans le cas particulier où I-l = 0 et a = 1, on parle de la loi normale standard. Quelques exemples de densités rP/-L ,U sont présentés à la Figure 1.1. Il est facile de montrer que si X rv rP/-L ,U, alors E(X) = I-l et var(X) = a2 . Ainsi, les paramètres I-l et a correspondent à la moyenne et à l’écart-type. On peut aussi montrer que le coefficient d’asymétrie de X est nul, c’est-à-dire que /31 = 0; c’est le cas, par ailleurs, pour toute loi symétrique, car on montre dans ce cas que I-l~ = E{ (X -1-l)3} = O. Enfin, le coefficient d’applatissement de X est /32 = 3. Cette valeur sert souvent de point de repère pour juger si une loi est applatie (/32 > 3) ou arrondie (/32 < 3). FIGURE 1.1 – À gauche: densités de la loi normale de moyenne p, = 0 et d’écart-type a = 1 (ligne pleine) , a = 2 (ligne brisée) et a = 3 (trait-point) ; à droite: densités de la loi normale d’ écart-type a = 1 et de moyenne p, = -1 (ligne pleine) , p, = 0 (ligne brisée) et p, = 1 (trait-point). La fonction de répartion de CPP »cr ne possède pas d’expression explicite. Néanmoins, on peut écrire implicitement Un logiciel comme Maple permet de tracer la fonction <Pp »cr. Les fonctions de répartition qui correspondent .aux densités de la Figure 1.1 sont présentées à la Figure 1.2. FIGURE 1.2 – À gauche: fonctions de répartition de la loi normale de moyenne p, = 0 et d’écart-type a = 1 (ligne pleine) , a = 2 (ligne brisée) et a = 3 (trait-point); à droite: fonctions de répartition de la loi normale d’écart-type a = 1 et de moyenne p, = -1 (ligne pleine), p, = 0 (ligne brisée) et p, = 1 (trait-point).

Principales notions d’ordre stochastique Dans ce chapitre, nous introduisons le concept d’ordre stochastique pour des variables aléatoires. Les ordres stochastiques permettent de comparer les fluctuations et la variabilité des variables aléatoires. Il existe plusieurs niveaux d’ordre convexes (s = 1, s = 2, etc.) des variables aléatoires qui imposent des conditions de comparaison de plus en plus strictes afin d’obtenir une conclusion satisfaisante sur l’ordonnance stochastique. Dans un premier temps, l’ordre stochastique usuel est défini ainsi que plusieurs de ses propriétés. Par la suite, des types d’ordres stochastiques sont détaillés, à savoir les ordres convexe, convexe croissant, s-convexe et s-convexe croissant. Les ordres s-convexes sont au coeur de la contribution originale de ce mémoire, c’est-à-dire le développement de tests formels pour ces ordres.

L’ordre stochastique usuel

La notion d’ordre stochastique formalise le concept intuitif d’une variable aléatoire plus grande qu’une autre. Il s’agit d’une notion plus générale que celle des comparaisons des moyennes et des variances. Précisément, soient les variables aléatoires X et Y ayant des fonctions de répartition respectives F x et Fy . On dit que X est plus petite que y au sens de l’ordre stochastique usuel, noté X -<st Y, si pour tout u E lR, on a P (X > u) :::; P (Y > u) . Puisque P(X > u) = 1 – Fx(u) et P(Y > u) = 1 – Fy(u), l’équation précédente est équivalente à Fx(u) ~ Fy(u). Pour illustrer cette définition, supposons que X et Y sont distribuées selon une loi exponentielle de paramètres respectifs Àx et Ày. Dans ce cas, F x (u) = 1 – e-uj >.x et Fy (u) = 1 – e-uj >.y . Alors X -<st Y si et seulement si Àx :::; Ày. En effet, X -<st Y ~ Fx(u) ~ Fy(u) Vu E lR+ ~ e-uj>.x < e-uj>.y – , Vu E lR+ U U ~ –<– Vu E lR+ Àx – Ày ‘ u u ~ -Àx> – À- Vu E lR+ y , ~ Àx :::; Ày. Supposons le cas particulier où X et Y sont des variables aléatoires discrètes définies sur l’ensemble des entiers naturels. En posant Pi = P(X = i) et qi = P(Y = i), alors X -<st Y si et seulement si pour tout N E N,  Conclusion Bien que la moyenne et la variance soient des mesures populaires et rapides pour comparer l’ordonnancement de 2 variables aléatoires, ces concepts ont des limites. Il est donc nécessaire d’approfondir et de raffiner les outils de comparaison de la variabilité, d’où le développement de la théorie des ordres stochastiques qui a beaucoup évolué depuis une quarantaine d’années.

Dans ce mémoire, on a d’abord fait une révision et une revue de littérature sur les notions de probabilités, de lois de probabilités et de la notion d’ordre stochastique qui sont nécessaires au développement d’un nouveau . test statistique permettant d’ordonner les variables aléatoires. On a obtenu la convergence en loi d’un processus empirique qui sous-tend chacune des statistiques de test proposées. Ensuite, le but principal à été de développer judicieusement la méthode des multiplicateurs afin de calculer les p-valeurs des tests pour l’ordre s-convexe. Le test s’avère être un complément à l’article de Baringhaus et GrÜbel. Les simulations à l’aide de variables qui suivent des lois normales et exponentielles montrent l’efficacité de ce test pour s = 1 et s = 2. Les proportions d’acceptation de l’hypothèse nulle sont très éloquentes et sont opérationnelles en comparant des variables aléatoires de mêmes lois pour lesquelles on modifie la variance. Les tests ont été faits avec plusieurs tailles d’échantillons différentes et les résultats ont été illustrés. Les tests ont été développés pour les ordres s = 1 et s = 2. Il aurait été intéressant de généraliser le test statistique pour tout s, afin que le test soit efficace pour la comparaison de n’importe quelle distribution de variables aléatoires. Il serait également intéressant de comparer des lois de probabilité différentes et de faire le test avec des données réelles.

Table des matières

Liste des tableaux
Table des figures
Introduction
1 Quelques notions préalables
1.1 Bref rappel sur les probabilités
1.2 Variables aléatoires
1.2.1 Loi d’une variable aléatoire
1.2.2 Fonction de répartition
1.2.3 Moments d’une variable aléatoire
1.3 Quelques lois de probabilité
1.3.1 Loi normale
1.3.2 Loi exponentielle
1.3.3 Loi Beta
2 Principales notions d’ordre stochastique
2.1 L’ordre stochastique usuel
2.2 Quelques propriétés de l’ordre stochastique usuel.
2.3 Les ordres convexe et concave
2.4 Les ordres convexe croissant et concave croissant
2.5 Les ordres stochastiques s-convexes croissants
2.6 Les ordres stochastiques s-convexes
3 Tests statistiques pour les ordres s-convexes
3.1 Quelques notions sur les processus empiriques
3.2 Méthode des multiplicateurs
3.3 Description de la procédure de test
3.3.1 Procédure de test pour l’ordre
3.3.2 Procédure de test pour l’ordre -<2-icx
4 Étude de la performance des tests par simulations
4.1 Caractérisation de l’ordre
4.2 Caractérisation de l’ordre -<2-icx pour les lois normale et exponentielle
4.3 Simulation 1
4.4 Simulation 2
4.5 Simulation 3
Conclusion
Bibliographie

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