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Présentation de l’analyse dimensionnelle
Dans son terme le plus général, l’analyse dimensionnelle est un concept mathématique et physique permettant de travailler l’homogénéité de formules physiques ou chimiques. Pour ce faire, on associe à toute grandeur une dimension. Par exemple, la dimension d’une surface (exprimée en m ) est une longueur carrée notée L.
Historiquement, les raisonnements par analyse dimensionnelle ont été développés au cours du XVIII eme siècle [4] avant d’être formalisés dans leur forme moderne par le grand physicien J. C. Maxwell (1831-1879). Ce développement est concomitant avec l’apparition de problèmes au nombre croissant de variables et paramètres. Au début du XX eme siècle, cette approche de la physique a été assez systématiquement utilisée pour rendre compte de phénomènes difficilement modélisables, en particulier en dynamique des fluides [10]. La formalisation mathématique de l’analyse dimensionnelle date quant à elle des travaux de Vaschy et Buckingham qui ont donnés leur nom au théorème de Vaschy-Buckingham (connu aussi sous le nom de théorème Π) [9] [1].
À titre d’exemple, on peut citer l’une des applications très souvent mentionnée en exemple de la puissance de l’analyse dimensionnelle : la détermination de l’énergie développée par l’explosion de la première bombe atomique américaine, Trinity. Cette démonstration, détaillée en [8], permet en effet d’aboutir à partir d’un jeu d’hypothèses simples à une grandeur alors classée secret défense.
L’analyse dimensionnelle, si elle constitue eectivement un mode de raisonnement bien spécifique, ne peut pas être considérée comme étant une discipline à part. Elle ne trouve tout son sens que dans la résolution de problèmes propres aux diverses branches de la physique, le plus souvent d’ailleurs inspirés de phénomènes expérimentaux complexes. À ce titre, elle mérite d’une part d’être enseignée de façon soignée mais également appliquée.
On donne en annexe B une utilisation de l’analyse dimensionnelle pour aborder un problème de détonique. Bien que les fondements théoriques sous-jacents soient peu accessibles aux personnes non spécialistes, la démarche proposée est l’œuvre d’élèves de niveau L1 ou L2. On comprend dès lors tout l’intérêt du raisonnement par analyse dimensionnelle : il permet d’aborder un très large éventail de problèmes physique avec un bagage somme toute limité. Sans nécessairement de tels niveaux de complexité avec nos élèves, nous avons cependant bel et bien cherché à leur faire ressentir la force de ce type de raisonnement, comme nous allons le voir.
Au collège
À notre relativement grande surprise, les premières mentions de l’analyse dimensionnelle ont lieu en cycle 3 mais davantage en mathématiques qu’en sciences et technologie. En eet, si la partie sciences et technologie du programme laisse apparaître le champ Mouvement d’un objet (trajectoire et vitesse : unités et ordres de grandeur) » [5], on trouve dans la partie mathématiques un développement bien plus conséquent :
Au cycle 3, les connaissances des grandeurs déjà fréquentées au cycle 2 (longueur, masse, contenance,
durée, prix) sont complétées et structurées, en particulier à travers la maitrise des unités légales duSystème International d’unités (numération décimale ou sexagésimale) et de leurs relations. Un des enjeux est d’enrichir la notion de grandeur en abordant la notion d’aire d’une surface et en la distinguant clairement de celle de périmètre. Les élèves approchent la notion d’angle et se familiarisent avec la notion de volume en la liant tout d’abord à celle de contenance. La notion de mesure d’une grandeur, consiste à associer, une unité étant choisie, un nombre (entier ou non) à la grandeur considérée. Il s’agit de déterminer combien d’unités ou de fractionnements de l’unité sont contenus dans la grandeur à mesurer. Les opérations sur les grandeurs permettent également d’aborder les opérations sur leurs mesures. Les notions de grandeur et de mesure de la grandeur se construisent dialectiquement, en résolvant des problèmes faisant appel à différents types de tâches (comparer, estimer, mesurer). Dans le cadre des grandeurs, la proportionnalité sera mise en évidence et convoquée pour résoudre des problèmes dans différents contextes. Dans la continuité du cycle 2, le travail sur l’estimation participe à la validation de résultats et permet de donner du sens à ces grandeurs et à leur mesure (estimer en prenant appui sur des références déjà construites : longueurs et aire d’un terrain de basket, aire d’un timbre, masse d’un trombone, masse et volume d’une bouteille de lait…).
Outre une définition de la notion de grandeur et les lois qui permettent de déterminer des unités, on retrouve les trois grandes utilités de l’analyse dimensionnelle que sont l’apprentissage, la vérification et la démonstration. Autre point intéressant, le programme appelle à une utilisation de l’analyse dimensionnelle pour l’étude des situations de proportionnalité.
On trouve un exemple assez explicite de cet enseignement dans le manuel de mathématiques de 3 ième édité par Belin [7] et dont une reproduction est donnée en figure 1.
Constat et hypothèse
La volonté d’expérimenter l’enseignement de l’analyse dimensionnelle dans nos classes de lycée a été motivée par divers éléments. En premier lieu, nous avons voulu lutter contre les oublis trop fréquents d’unités dans les copies ou même à l’oral. Ainsi, il n’était pas rare d’entendre toute une classe s’écrier unanimement « 1 » à la question « Quelle est la masse volumique de l’eau ? ». Deuxièmement, enseigner l’analyse dimensionnelle aux élèves nous a semblé être un beau cadeau à leur faire puisqu’il permet de limiter au plus strict l’apprentissage par cœur de formules et de les vérifier en cas de doute.
L’analyse dimensionnelle forme davantage la réflexion que le par cœur, ce qui dans le cadre d’uneformation à la citoyenneté est également un facteur essentiel.
Précisons à ce stade que les établissements dans lesquels nos travaux ont été conduits se situent parmi les plus privilégiés de la capitale : Louis le Grand et Charlemagne. Les élèves sont recrutés en seconde sur le mérite, ce qui donne des classes d’un excellent niveau, capables d’intégrer rapidement des notions nouvelles et complexes (surtout pour celles du lycée Louis le Grand). Il n’en demeure pas moins, comme nous le verrons, qu’il subsiste des différences de niveau entre les élèves. La classe de STI2D, seule classe dont les élèves ne sont pas directement choisis par l’administration du lycée,peut ainsi servir de référence, étant probablement plus proche du niveau moyen national que les autres.
Construction des séances pédagogiques
A priori observés des élèves
Construction du questionnaire
Pour sonder le niveau de compétence initiale de nos élèves sur les questions d’unités et d’analyse dimensionnelle, nous avons utilisé -en outre d’une impression générale- principalement deux éléments : un questionnaire diagnostique et une analyse qualitative des évaluations sur l’année.
Pour cette dernière, des questions bonus ont été un moyen discret de tester les compétences des élèves à plusieurs stades de l’année. Glissées dans les évaluations, ces questions se devaient d’être courtes et accessibles par le plus grand nombre, comme dans l’exemple ci-dessous donné dès le début du mois de novembre à une classe de seconde.
Catégories d’élèves
Le questionnaire diagnostique nous a permis de distinguer plusieurs grandes attitudes d’élèves face au problème des dimensions et des unités en physique. Bien qu’il soit malaisé de catégoriser des élèves aussi divers que les nôtres, ces trois grands groupes nous ont servi à vérifier régulièrement que le contenu que nous souhaitions proposer était adapté à toute la classe, quitte à différencier à certains endroits.
Débutants Certaines réponses au questionnaire démontrent que de nombreux élèves n’ont pratiquement aucune notion de l’importance réelle et centrale des unités en physique : « Je l’ai appris. Après peut-être que c’est faux. Je me rappelle pas bien. » (Question 5, Seconde 7, élève 21)
« Il n’y en a pas car c’est une constante. Je ne saurais pas comment le justifier. » (Question 2, Seconde 7, élève 2)
Nous qualiferons de débutants cette première catégorie d’élèves qui se distinguent par un grand nombre de questions auxquelles ils n’ont pas répondu ou bien sans conviction. De façon approximative, cette catégorie représente entre 50 et 60% de l’effectif de nos classes de seconde et à peu près 50% de celui de la classe de première S.
Initiés À un stade intermédiaire, on constate que certains élèves commencent à comprendre que les unités jouent un rôle fondamental en physique mais ils sont assez, voire très, mal à l’aise avec celles-ci. Ils sont de ceux qui, associant le problème des unités à une obsession de leur professeur, prêtent attention à les indiquer à la suite de leurs résultats sans nécessairement en comprendre le sens. Cela se ressent dans des réponses comme « la seule que j’ai dj vu » (Question 2bis, Première S, élève 10) ou encore « aucune. L’absorbance n’a pas d’unité » (Question 2, Terminale S, élève 35)
Dans les deux exemples proposés, on perçoit une référence à des points lourdement soulignés par tel ou tel professeur mais utilisés ici de façon complètement détachée du problème posé. Le questionnaire permet d’estimer la part de ces élèves dans une classe entre 10 et 30%. (La part augmentant d’ailleurs avec le niveau !)
Experts Enn, certains élèves semblent maîtriser la notion avant la séance. On trouve ainsi, certes en classe de terminale S, des raisonnements très construits et fort justes pour trouver des unités SI.
La démarche proposée
Forts des différents constats que nous avons fait par nous-même et dans la littérature, nous nous sommes concentrés dans un second temps sur la conception de la séance elle-même. Quelques grands objectifs ont été dégagés à cette fin, classés ci-dessous par ordre approximatif d’importance :
1. Faire comprendre l’importance des unités en physique.
2. Introduire l’analyse dimensionnelle comme une aide et non une contrainte pour les élèves.
3. Éviter la confusion entre la grandeur et son unité.
4. Ne pas tomber dans le « truc » mais bien rester dans des considérations de sens physique.
5. En complément du point précédent, aborder la notion d’analyse dimensionnelle en traitant des situations physiques normalement inaccessibles à leur niveau.
6. Faire comprendre toute l’ecacité de l’analyse dimensionnelle en établissant des lois physiques pour résoudre des problèmes stimulants.
Concrètement, le TP-cours est rapidement apparu comme le format le plus adapté pour traiter notre sujet. En eet, il permet de structurer tout la séance autour de manipulations qui présentent l’avantage de re-mobiliser tous les élèves en les rendant participants. Ancrer l’enseignement sur la manipulation physique a aussi pour but d’appuyer sur l’importance physique des unités et de les détacher de la conception plus mathématique que nous avons déjà décriée précédemment et qui pourrait rebuter certains élèves, ainsi qu’illustré par la planche suivante.
Analyse du déroulement des séances
Déroulement des séances
Les séances ont eu lieu les 25 et 26 janvier 2018 pour les deux classes de seconde du lycée Louis le Grand et le 29 janvier pour la classe de première S du lycée Charlemagne. Sur les créneaux d’une heure et demi utilisés, les classes étaient divisées en demi-groupes.
Dans tous les groupes, une prise audio a été effectuée, permettant par la suite –comme nous le verrons– de retranscrire et d’analyser certains échanges. On donne par ailleurs ci-dessous les temps prévus et effectués pour chaque partie avec les différents groupes.
Analyse critique post-séance
Dès le lendemain de la séance, à l’évocation de cette dernière en cours, plusieurs élèves n’ont pas caché que cette séance un peu atypique leur avait bien plu. Il s’agissait d’ailleurs des élèves ayant habituellement les meilleurs résultats. De manière générale, comme nous allons le voir, ce sont d’ailleurs ces élèves qui ont tiré la meilleure part de cette introduction à l’analyse dimensionnelle. Les élèves habituellement plus en difficulté n’ont quant à eux pas bien saisi l’intérêt de la chose qui demeure à leurs yeux comme un concept de plus à intégrer.
Parmi les nombreuses exemples d’appropriation de l’analyse dimensionnelle, on peut citer le raisonnement suivant, proposé par une des élèves les plus brillantes de la classe de seconde 7. Au cours d’une séance de TP sur la gravitation, nous venions de montrer que la force exercée par la Terre sur un objet de masse m à sa surface a pour valeur « n’a justement jamais compris ce qu’était concrètement le courant électrique ».
Ayant fait le lien –apparemment inédit pour eux– entre le courant électrique dans un l et le nombre de charges qui y circulent par unité de temps, la classe a émis la sorte de grognement de satisfaction caractéristique des moments de grande compréhension et satisfaction chez les élèves. À la mesure de ce qu’ils pouvaient en percevoir, l’unité profonde entre le domaine de l’électronique et celui de l’électromagnétisme était fait, et ce, grâce à une simple considération sur les unités.
On soulignera toutefois, que cette volonté de comprendre tout ce qui se cache derrière les unités peut quelques fois constituer un obstacle à la compréhension générale. Par exemple, un exercice traité en classe faisait intervenir une traînée de la forme T = αv où v est la vitesse d’un objet en mouvement dans l’air et α un facteur. Si une rapide étude permit à la majorité des élèves d’établir que l’unité de α dans le système international est kg m −1 , quelques-uns, toujours parmi les meilleurs élèves, sont restés un peu sur leur faim, cherchant à comprendre ce que pouvait bien signifier des kilogrammes par mètre.
Si les élèves plus en difficultés n’ont peut-être pas saisi toute la profondeur et tout l’intérêt de l’analyse dimensionnelle, il n’en demeure pas moins que la séance proposée leur a été protable. À titre d’exemple, on donne en figure 4 un extrait de la copie rendue par une élève à l’une des toutes dernières évaluations.
Du seul point de vue des notes, cette élève se situe dans le dernier cinquième de la classe. Or elle aussi (et avec elle une bonne proportion de la classe) a fait le choix de vérifier son résultat à l’aide de l’analyse dimensionnelle. Bien que son étude se révèle in ne fausse car elle oublie le terme au carré,son intention révèle que le réflexe d’utiliser l’analyse dimensionnelle est maintenant acquis par un large éventail d’élèves dans la classe, des plus forts aux plus en difficulté. Or, pour qu’un élève utilise un outil non obligatoire de façon spontanée et volontaire, il faut qu’il l’ait fait sien. Notre principale hypothèse pour expliquer cette appropriation large et relativement facile par les élèves tient dans le format de notre séance. En montrant dès le début que l’analyse dimensionnelle permettait, à leur niveau, de rendre compte de résultats expérimentaux non triviaux, les élèves n’ont pas considéré le nouvel enseignement comme un concept abstrait mais bien comme un outil fonctionnel, utilisable à peu de frais.
En classe de première S, une séquence sur la conservation de l’énergie mécanique s’est déroulée environ un mois après la séance présentée. Cette séquence a été l’occasion d’utiliser à de nombreuses reprises l’analyse dimensionnelle. En eet, la grande majorité des exercices ont pour but d’utiliser la conservation de l’énergie mécanique an d’exprimer une vitesse ou une hauteur en fonction d’autres grandeurs du problème, dont en particulier l’intensité de la pesanteur g. Savoir que l’unité de cette grandeur est m/s2 est d’une grande aide pour vérifier les résultats (ce que l’on ne peut pas faire si l’on sait uniquement que cette unité est N/kg 2 ). Sous nos recommandations, les élèves ont pris l’habitude de systématiquement vérifier leurs résultats après un calcul littéral. Une évaluation sommative d’1h20 est venue conclure cette séquence, celle-ci contenait 8 questions dont le but était de faire un calcul littéral. 29 élèves sur 33 n’ont fait aucune erreur de calcul qui aurait pu être évitée grâce à un raisonnement sur les unités. Alors qu’environ 10 élèves sur 33 en moyenne faisaient ce type d’erreur sur un calcul littéral avant la séance présentée dans ce mémoire.
Enfin, toujours en classe de première S, au moment d’introduire la notion de rendement d’une conversion énergétique deux mois environ après la séance sur l’analyse dimensionnelle, nous avons dit qu’il s’agissait d’une grandeur sans dimension. Les élèves n’ont pas du tout semblé avoir du mal à le comprendre. La même remarque avait été faite sur le grandissement en optique en début d’année, et cela avait posé de nombreux problèmes pour les élèves.
Face à toutes ces observations, il nous semble donc que les principaux objectifs que nous nous étions fixés ont été atteints. En particulier, nous sommes très satisfaits d’avoir permis à nos élèves de s’approprier l’analyse dimensionnelle comme une aide et non une contrainte, bien davantage ancrée dans la physique que dans les mathématiques. Le point clé de la réussite sur ces points a été d’introduire l’analyse dimensionnelle sur des exemples concrets et expérimentaux aptes à captiver les élèves.
Ainsi, loin de prétendre avoir fait faire le tour du sujet à nos élèves, nous pensons que cette première séance leur a donné des éléments utiles pour leur pratique physique des années à venir et pour aborder sereinement, en terminale S, l’analyse dimensionnelle avec le formalisme conventionnel.
Conclusion
Nous n’hésitons pas à dire ici que la production et la réalisation de cette séance sur l’analyse dimensionnelle a été d’un réel intérêt pour nos élèves en premier lieu ainsi que pour nous.
Certes, encore longtemps après, les élèves gardent de cette séance un excellent souvenir que nous attribuons à la variété des cas traités dans l’intervalle d’une petite heure et demi. Et nous pensons également qu’ils ressentent surtout, sans la formuler comme telle, l’impression d’avoir plongé dans quelque chose qui ressemble à de la physique complexe.
Quant à nous, affectés tous les deux en classe préparatoire pour l’année prochain, il est certain que l’approche choisie pour aborder l’analyse dimensionnelle sera réutilisée. Peut-être pas dans les mêmes termes –il faut prendre en compte le niveau plus élevé des élèves– mais au moins dans la forme : un enseignement permettant de comprendre l’universalité de ce concept tout en reposant sur du concret et de la physique expérimentale.
Un point essentiel a aussi été vérifié au cours de notre travail. L’apprentissage est très largement favorisé lorsqu’il répond à une curiosité des élèves. C’est ce qu’il nous a fallu susciter pour mener à bien notre séance, et cela doit rester pour nous une méthode à suivre, dans notre avenir d’enseignants.
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Table des matières
Introduction
I Recherche bibliographique
I.1 Présentation de l’analyse dimensionnelle
I.2 L’analyse dimensionnelle dans les programmes
I.2.a Au collège
I.2.b Au lycée
I.3 Constat et hypothèse
II Construction des séances pédagogiques
II.1 A priori observés des élèves
II.1.a Construction du questionnaire
II.1.b Résultats au questionnaire
II.1.c Catégories d’élèves
II.2 Dans la bibliographie
II.3 La démarche proposée
II.4 Support de l’enseignement
III Analyse du déroulement des séances
III.1 Déroulement des séances
III.1.a Introduction
III.1.b Rappels
III.1.c Analyse dimensionnelle
III.1.d Établir des lois sans démonstration
III.2 Analyse critique post-séance
Conclusion
A Extraits de programmes
A.1 Collège
A.2 Seconde
A.3 Terminale S
A.4 Classes préparatoires
B Étude de la loi de Hopkinson
B.1 Résultats expérimentaux
B.2 Démonstration de la loi de Hopkinson
II.2.a Hypothèses
II.2.b Énoncé
II.2.c Démonstration par analyse dimensionnelle
C Statistiques des évaluations diagnostiques 42
C.1 Question 1
C.2 Question 2
C.3 Question 2 bis
C.4 Question 3
C.5 Question 3 bis
C.6 Question 4
C.7 Question 4 bis
C.8 Question 5
C.9 Question 6
C.10 Question 7
D Document de travail utilisé lors de la séance
