PREMIER PASSAGE D’UNE MARCHE ALEATOIRE DISCRETE

Méthode de transformation de Fourier directe

Soit Xn une variable aléatoire qui représente le saut effectué par unité de temps au moment n. On peut écrire Sn, une marche telle que Sn = Pni=1 Xi. Chaque variable Sn prend les 2` valeurs ±ei et chacune a pour probabilité 12`. Le point le plus important de cette décomposition est que les variables Sk sont indépendantes (et identiquement distribuées)

MARCHE ALÉATOIRE BORNÉE PAR DEUX BARRIÈRES ABSORBANTE ET ÉLASTIQUE AVEC PROBABILITÉ D’ARRÊT

Position du problème On note u, la position initiale de la marche. Comme dans le cas précédent, on s’intéresse maintenant à une marche aléatoire dont le pas vers b a comme probabilité P[Xi = u + 1] = p, le pas vers 0 la probabilité P[Xi = u − 1] = q et la probabilité de rester sur sa position initiale est donnée P[Xi = u] = r Ainsi, il est possible pour une particule ou un marcheur de se déplacer entre les deux barrières 0 et b suivant les probabilités p,q et r telle que p + q + r = 1

Simulation de la marche aléatoire avec probabilité de temps d’arrêt

La vérification numérique du modèle de la marche précédente consiste à simuler la marche. On estime le temps moyen d’absorption pour chaque cas :(pour la marche symétrique et asymétrique). Puis on va itérer la simulation afin d’obtenir Q (Q = 500), chaque marche peut avoir une moyenne du temps d’absorption Ts, nous avons la figure ci-dessous :
la série de temps moyen Tθ =XQs=0Ts (4.15)
En général, on peut construire un modèle mathématique pour savoir plus profondément les informations concernant la dynamique d’une particule ou la dynamique des phénomènes naturels. L’étude statistique fait partie d’une méthode pertinente pour cet effet. Ainsi, les résultats provenant des nombreuses simulations (Q = 500 simulations) permettent de caractériser comment évoluent les temps de premier passage pour une marche aléatoire. On obtient une loi exponentielle pour le cas d’une marche aléatoire standard avec de paramètre λ dont la densité de probabilité est de : f(x) = λe−λx (4.16) De plus, chaque trois biais du cas étudié joue un rôle important pour la marche, dans le cas q < p, la statistique obtenue montre que la moyenne du temps de premier passage est assez élevé. Dans le cas contraire, on a une bonne taille de l’échantillon aléatoires de la moyenne du temps de premier passage devient plus précis avec une dispersion moins élevée du temps de premier passage. Par conséquent, lorsque q est voisin de 1, nous avons une bonne statistique de la moyenne du temps de premier passage pour les Q(Q = 500) simulations. Sinon, la statistique peut être moins ajuster. De la même façons pour le cas du temps d’absorption, si q est plus proche de 1 c’est à dire q est assez grand par rapport à p ( le biais de la marche est faible). La relation p+q+r = 1 de ce présent chapitre montre des résultats assez intéressant puisque si r > q + p, le mouvement a moins de chance d’atteindre les barrières. Par contre, dans le cas où p > q + r le mouvement entre les deux barrières est presque croissante et ajuster à une droite de pente moins forte. Si q > p + q la marche va atteindre rapidement la barrière absorbante. Ainsi, l’avantage de la simulation dans ce présent mémoire est généralement la vérification directe des modèles mathématiques théoriques, ce sont les calculs comme l’espérance mathématique de cette série statistique de temps moyen de premier passage, la moyenne du temps d’absorption et tout le calcul numérique est en cohérence avec la théorie. Comme exemple concret dans cette quatrième partie le cas où r = 0 est identique à la partie trois. De plus lorsque q est assez grand, on a une allure décroissante tendant vers la barrière absorbante. Par conséquent, la simulation donnera immédiatement toutes les valeurs possibles de la marche à un instant n, tandis qu’en théorie, le temps de premier passage peut être infini (p=q) voir chapitre 2

CONCLUSION

Dans ce mémoire, nous avons traité l’étude statistique du temps de premier passage d’une marche aléatoire discrète. Apres avoir reformulés quelques propriétés générales des marches aléatoires discrètes, nous abordons l’étude de temps de premier passage en adoptant deux approches complémentaires à savoir l’approche théorique et la simulation numérique. Notre démarche s’articule autour de ces deux axes avec comme objectif spécifique les vérifications des résultats théoriques par la simulation numérique. Pour cela, nous avons d’abord rétabli les résultats théoriques associé au temps de premier passage. D’autre part, nous avons mis en œuvre des simulations numériques permettant d’estimer ces temps de premier passage. Des bons accords ont été trouvé entre les résultats de nos simulations et les formules théoriques que nous avons établi. En particulier, les résultats obtenus dans le cas d’une marche aléatoire bornée avec une probabilité d’arrêt (p,q,r) constituent le point principal de notre travail. Une généralisation de ce résultat au cas d’une marche aléatoire dans laquelle les probabilités dépendent de la position constitue une perspective intéressante et présente un potentiel important en ce qui concerne l’approche de modélisation des phénomènes de transport en milieu désordonné hétérogène.

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Table des matières

Introduction
1. Généralité et description d’une marche aléatoire
1.1 Marche aléatoire discrète simple
1.2 Description de la position d’une marche aléatoire
1.2.1 Méthode combinatoire
1.2.2 Méthode différentielle
1.2.3 Méthode de transformation de Fourier directe
1.2.4 Méthode des graphes
2. Statistique des temps de premier passage en milieu infini
2.1 Marche aléatoire symétrique
2.1.1 Approximation par la loi normale
2.2 Changement de signe pour une marche aléatoire
2.2.1 Marche aléatoire et probabilité de ruine
2.2.2 Récapitulation des résultats
2.2.3 Marche aléatoire asymétrique dans Z
2.3 Loi du temps de premier passage
2.3.1 Analyse et statistique des temps de premier de passage
2.4 Interprétation statistique et physique de la marche aléatoire
2.5 Simulation numérique
2.5.1 Présentation du modèl
2.5.2 Simulation et récurrence d’une marche aléatoire
2.5.3 Temps de premier passage
2.5.4 Temps de retour en zéro (0)
2.5.5 Application
3. Marche aléatoire bornée par deux barrières absorbante et élastique
3.1 Position du problème
3.2 Fonction génératrice
3.2.1 Définitions générales
3.2.2 Fonction génératrice d’une variable aléatoire
3.3 Formulation du problème de temps de premier passage
3.3.1 Reformulation matricielle de l’équation g(t, u)
3.4 Simulation de la marche aléatoire bornée par deux barrières absorbante et élastique
3.4.1 Description du programme
4. Marche aléatoire bornée par deux barrières absorbante et élastique avec probabilité d’arrêt
4.1 Position du problème
4.2 Fonction génératrice
4.2.1 Formulation matricielle
4.3 Simulation de la marche aléatoire avec probabilité de temps d’arrêt
Conclusion
5. ANNEXE
5.1 Approximation numérique
5.2 Illustration
5.2.1 Barrière absorbante
5.2.2 Calcul sur la partie 4
5.3 Quelques démonstrations du chapitre 2