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PRÉDICTION DES ÉCOULEMENTS À SURFACE LIBRE
Terme source de géométrie
Le traitement du terme source de géométrie consiste en général à équilibrer le flux d’interface avec la pente du lit afin d’assurer la condition du fluide au repos. Cette condition se rapporte à la propriété de conservation dite ‘C-property’ (Bermúdez et Vazquez, 1994) et permet d’éviter l’apparition d’oscillations parasites dues à la discrétisation du terme source.
A cet effet, la technique d’adaptation du terme source de géométrie a été couramment utilisée afin de satisfaire à la C-property en présence d’interfaces H/S. Cette approche est souvent précédée de la stratégie de différentiation décentrée vers l’amont (upwinding) présentant plusieurs avantages à la base (Bermúdez et Vazquez, 1994; Castro et al., 2005; Van Leer, 1992; Vazquez-Cendon, 1999). Les schémas numériques en résultant sont robustes notamment pour des écoulements à régimes changeants. Ils prennent en compte la nonlinéarité des équations et sont adaptés à leur nature hyperbolique.
Traitement des bancs couvrants-découvrants
Les bancs couvrants-découvrants sont des phénomènes inhérents aux écoulements d’eaux peu profondes sur une bathymétrie variable qui produisent un mouvement du front d’onde pouvant se manifester par l’inondation ou l’assèchement des zones. Le mouvement des frontières H/S en résultant constitue un aspect très important dans l’étude de la propagation des ondes de crue ou d’inondation. Il en résulte un problème de conditions aux limites nonlinéaires et non-stationnaires qui est resté longtemps un défi pour les modèles numériques.
Les effets d’inondation étaient en effet négligés dans les premières études, et des frontières solides étaient plutôt considérées.
Les approches proposées dans la littérature pour le traitement des bancs couvrants et découvrants sont de deux types :
(i) Modification ou adaptation continue du maillage du domaine occupé par le fluide, ou méthode de Lagrange ou d’Euler-Lagrange.
(ii) Maillage fixe d’un domaine maximal pouvant être occupé par le fluide durant l’écoulement ou méthode d’Euler.
L’accent est précisément mis sur le traitement numérique de l’interface H/S où la hauteur d’eau tend à s’annuler. Ainsi, lorsque les composantes de la vitesse (u, v) sont obtenues des rapports (hu/hh/vh), sans aucun traitement particulier, des instabilités numériques peuvent être générées.
Calcul du flux aux frontières
Le flux numérique doit être également calculé aux interfaces des cellules Ki,∂Ω coïncidant avec les frontières du domaine. Les conditions aux limites y fixées sont généralement des conditions débit, de sortie d’eau ou d’imperméabilité. Les flux aux frontières sont calculés en considérant, une cellule fictive ‘ Ki,∂Ω à l’extérieur du domaine et partageant la même interface avec la cellule Ki,∂Ω . Les valeurs appropriées de la hauteur d’eau et des composantes de la vitesse sont ensuite attribuées à la cellule fictive de sorte à définir un problème de Riemann. Les modèles décrits plus haut peuvent être alors utilisés pour le calcul du flux.
Rupture de barrage sur lit mouillé
Ce test porte sur un écoulement subséquent à la rupture d’un barrage situé à / 2 x = L où L =100 m est la longueur totale du canal horizontal. Le barrage est caractérisé par des plans d’eau de hauteurs 1 h =10 m en amont et 0 h =1 m en aval de la position / 2 x = L. Un maillage structuré de 1000 nœuds est utilisé pour les simulations numériques. On suppose un effondrement complet et instantané du barrage.
Une analyse de convergence au maillage a été réalisée . A cet effet, une valeur plus faible du coefficient 3 α = 0. (équations 2.25-2.26) a été utilisée pour réduire l’effet de la viscosité artificielle en plus d’un CFL=0.25. Pour un maillage de 50 nœuds selon l’axe longitudinal, on observe une imprécision des prédictions numériques au voisinage de la discontinuité et ceci est beaucoup plus manifeste avec les prédictions de la vitesse. Le modèle-2 semble légèrement plus précis que le premier modèle. La convergence au maillage est atteinte à partir de 200 nœuds.
Rupture de barrage sur lit sec
Le second test est beaucoup plus sévère en ce sens que la propagation se fait sur un lit sec. La configuration géométrique est identique à celle du cas précédent à l’exception de la considération d’un lit sec en aval du barrage 0 h0 = . Le barrage est supposé s’effondrer instantanément. Ce problème ne présente aucune onde de choc, mais une onde d’expansion et une annulation amortie de la hauteur d’eau.
Une analyse de la convergence au maillage a été également entreprise pour les deux modèles avec α = 0,3.De légères différences sont observables entre les prédictions issues des deux modèles jusqu’à la convergence à 400 nœuds. Contrairement au premier test de rupture de barrage avec lit aval mouillé, ce test nécessite plus de nœuds pour la convergence du fait de l’influence du traitement des interfaces H/S.
Les prédictions numériques de la vitesse et la hauteur d’eau à t = 2,5s restent assez proches des solutions analytiques . Cependant, des différences importantes sont observées dans la prédiction de la vitesse et pourraient être attribuées au fait que le schéma soit du premier ordre. Il reste cependant que le même constat est fait par Vincent et al. (2001) qui ont utilisé un schéma de Mac-Cormack TVD (total variation diminishing) du second ordre.
Test-2 de CADAM
Le présent test est une proposition du CADAM (concerted action on dam-break modeling), lors de ses premières assises du 2 au 4 mars 1998 à Wallingford UK (Alcrudo et Frazão,1999). L’objectif était d’évaluer la capacité des modèles numériques à simuler correctement des écoulements présentant des caractéristiques d’écoulements réels. Ce test a été expérimenté dans le Laboratoire de Recherches Hydrauliques de Châtelet à l’Université Libre de Bruxelles par l’équipe du professeur JM Hiver.
La simulation porte sur une rupture de barrage avec un obstacle symétrique coudé dans le canal. On considère initialement un réservoir d’eau à une hauteur de 0,75 m et un canal rectangulaire asséché. L’obstacle situé à 10 m de l’entrée du canal est triangulaire avec une pente de 7,59°.
La friction est calculée pour une valeur de 1/3 n 0,0125 m s − = du coefficient de rugosité de Manning. Les frontières sont des murs hormis la sortie du canal.
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Table des matières
INTRODUCTION
CHAPITRE 1 PRÉDICTION DES ÉCOULEMENTS À SURFACE LIBRE : REVUE DE LA LITTERATURE
1.1 Introduction
1.2 Équations d’eaux peu profondes
1.3 Traitement des termes sources
1.3.1 Terme source de friction
1.3.2 Terme source de géométrie
1.4 Traitement des bancs couvrants-découvrants
1.4.1 Méthodes de déformation de maillage
1.4.2 Méthodes Eulériennes ou à maillage fixe
1.5 Conclusion
CHAPITRE 2 MODÈLE NUMÉRIQUE BIDIMENSIONNEL DE SIMULATION DES ÉCOULEMENTS A SURFACE LIBRE : SCHÉMA VOLUMES FINIS
2.1 Introduction
2.2 Modèle numérique volumes finis
2.3 Traitement du terme source de bathymétrie
2.3.1 Modèle-1 (dit linéaire)
2.3.2 Modèle-2 (dit non-linéaire)
2.3.3 Terme source pour le modèle-1 et le modèle-2
2.4 Traitement du flux d’interface
2.4.1 Approximation numérique du flux d’interface
2.4.2 Propriétés de conservation
2.4.3 Traitement d’une interface humide/sèche
2.4.4 Calcul du flux aux frontières
2.5 Conclusion
CHAPITRE 3 RÉSULTATS NUMÉRIQUES DU MODÈLE VOLUMES FINIS
3.1 Introduction
3.2 Problèmes d’écoulements de ruptures idéalisées de barrage
3.2.1 Rupture de barrage sur lit mouillé
3.2.2 Rupture de barrage sur lit sec
3.2.3 Test-2 de CADAM
3.3 Test-2 de vidange avec onde double de raréfaction
3.4 Bassin à pente variable soumis à une marée
3.5 Simulation d’un cas réel de bathymétrie
3.5.1 L’estacade de Bordeaux (Laval)
3.5.2 Vérification des propriétés de conservation
3.5.3 Simulation des bancs couvrants et découvrants
3.6 Conclusion
CHAPITRE 4 RÉDUCTION DU MODÈLE : PROBLÉMATIQUE ET ÉTAT DE L’ART
4.1 Introduction
4.2 Méthodes non intrusives de réduction ou concept de la boîte noire
4.2.1 Les surfaces de réponse
4.2.2 Approximation de modèle basée sur les réseaux de neurones artificiels
4.3 Méthodes intrusives de réduction
4.3.1 Réduction de Guyan ou méthode de condensation
4.3.2 Réduction par approximation polynomiale
4.3.3 Méthode de réduction par décomposition en valeurs singulières (SVD)
4.3.4 Réduction par projection sur des sous-espaces ou projection de Galerkin
4.3.5 Réduction par projection sur une base réduite-CVT
4.3.6 Réduction de modèle par projection sur la base réduite-POD
4.3.7 Conclusion
CHAPITRE 5 RÉDUCTION DU MODÈLE DE SIMULATION DES ÉCOULEMENTS A SURFACE LIBRE
5.1 Introduction
5.2 Méthode de décomposition orthogonale aux valeurs propres ou POD
5.2.1 Formulation théorique de la méthode POD
5.2.2 La base réduite POD
5.2.3 Principe de la réduction du modèle
5.3 Réduction du schéma aux volumes finis
5.3.1 Réduction de l’équation de continuité
5.3.2 Réduction des équations de la quantité de mouvement
5.3.3 Réduction du terme source de friction
5.3.4 Traitement des cellules sèches
5.3.5 Conditions aux limites pour le modèle réduit
5.3.6 Propriété de conservation (C-property)
5.3.7 Extraction des bases POD
5.3.8 Algorithme détaillé du modèle réduit
5.4 Conclusion
CHAPITRE 6 VALIDATION DU MODÈLE RÉDUIT POD/ROM
6.1 Introduction
6.2 Écoulement de rupture de barrage avec lit aval sec
6.3 Oscillations libres dans un bassin parabolique
6.4 Rupture de barrage dans l’estacade de Bordeaux (Laval)
6.5 Conclusion
CHAPITRE 7 EXPLOITATION DU POD/ROM : ANALYSE DE LA SENSIBILITÉ AUX VARIATIONS DES PARAMETRES PHYSIQUES ET CONDITIONS INITIALES
7.1 Introduction
7.2 Rupture de barrage dans un canal avec lit aval sec : Exploitation du POD
7.3 Estacade de Bordeaux : Exploitation du POD/ROM
7.3.1 Rupture de barrage : Analyse de la sensibilité du POD/ROM à la variation de la hauteur d’eau initiale
7.3.2 Rupture de barrage : Analyse de la sensibilité du POD/ROM à la variation du coefficient de Manning
7.3.3 Simulation d’une crue : Analyse de la sensibilité du POD/ROM à la variation du débit
7.4 Conclusion
CONCLUSION
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