Polynomes orthogonaux de sobolev

Durant quelques années passées, les polynômes orthogonaux par rapport à un produit scalaire comportant des dérivées (appelés aussi polynômes orthogonaux de Sobolev) ont été l’objet de nombreuses intéressantes études. Relations de récurrence, asymptotiques, algébriques, propriétés de différentiation et zéros de plusieurs familles de polynômes ont été étudiés. Dans cet article nous étudions une connéction entre le cas particulier des problèmes de polynômes orthogonaux non standards et des problèmes standards dans la théorie de l’interpolation et de l’approximation.

Interpolation polynômiale

Problème d’interpolation

Soit f : [a, b] → R une fonction à valeurs réelles, on considère des points distints x0, x1, …, xn de [a, b]. Un polynôme Pn de degré ≤ n avec des coefficients réels est appelé polynôme d’interpolation de f si

Pn(xi) = f(xi) i = 0, 1, …, n

On pose f(xi) = yi , i = 0, 1, …, n

Méthode d’Hermite (1822-1901)

D’une manière générale, on parle d’interpolation d’Hermite quand l’interpolation ne porte pas seulement qur les valeurs de la fonction mais aussi sur les valeurs des dérivées. On calcule le polynôme P3 de degré 3 tel que

P3(0) = y0
P3(1) = y1
P’3(0) = y’0
P’3(1) = y’1

où y0, y1, y’0, y’1 sont donnés

Espaces de Sobolev

Les espaces de Sobolev sont des epaces fonctionnels. Plus précisement , c’est un espace vectoriel de fonctions muni de la norme obtenue par la combinaison de la norme L pmuni de la norme de la fonction elle-même ainsi que de ses dérivées jusqu’à un certain ordre. Les dérivées sont comprises dans un sens faible,au sens des distributions afin de rendre l’espace complet. Les espaces de Sobolev sont donc des espaces de Banach. Intuitivement, un espace de Banach ou un espace de Hilbert de fonction pouvant être dérivées suffisament de fois et muni d’une norme qui mesure à la fois la taille et la régularité de la fonction. Les espaces de Sobolev doivent leur nom au mathématicien russe Sergei Lvovich Sobolev.

Définition

Soit Ω ⊂ Rn un ouvert quelconque , p un réel et m un entir naturel positif.On définit l’espace de Sobolev W m,p(Ω) par :

W m,p(Ω) = {f ∈ Lp(Ω); Dαf ∈ Lp(Ω)}

où α est un multi-indice telque 0 ≤ |α| ≤ m , Dα est une dérivée partielle de f. Dans le cas p = 2 , les espaces de Sobolev ont un intérêtparticulier car dans ce cas ce sont des espaces de Hilbert.

Meilleure approximation hilbertienne

On cherche un polynôme qui est le « plus proche » de f au sens d’une certaine norme ||.||χ , χ étant un espace vectoriel normé de fonctions, contenant les polynômes. Pour f ∈ χ , on appellle meilleure approximation polynômiale de f dans Pn ,un polynôme pn ∈ Pn vérifiant :

||f − pn||χ = infq∈Pn ||f − q||χ

Rappels sur quelques matrices

Matrices définies positives symétriques

Définition
Une matrice réelle A n × n est dite définie positive symétrique si :
(1) A est symétrique, c’est-à-dire AT = A
(2) XTAX > 0 pour tout vecteurs X ≠ 0

Propriétés
Soit A une matrice définie positive symétrique. Alors
– toutes ses valeurs propres sont positives
– son déterminant est positive
– elle est non singulière

Si A et B sont deux matrices définies positives, alors A + B l’est aussi. La matrice inverse d’une matrice définie positive est aussi définie positive.

Matrice non-singulière
Une matrice non-singulière est une matrice carrée qui admet un inverse c’est-à-dire une matrice carrée est non-singulière si et seulement si son déterminant est non nul. Une matrice non-singulière est appelée quelque fois une matrice régulière.

Mineur d’une matrice
Dans l’algèbre linéaire, un mineur d’une matrice A est le déterminant de quelque plus petite matrice carrée, couper vers le bas de A en enlevant une ou plusieurs de ses lignes et colonnes. Les mineurs obtenus juste une ligne et une colonne de la matrice carrée sont exigés pour calculer les matrices cofacteurs, ce sont les premiers mineurs, lesquels à leur tour sont utiles pour calculer le déterminant et l’inverse des matrices carrées.

Soit A une matrice m × n et k un entier 0 < k ≤ m, et k ≤ n. Un mineur d’ordre k × k de A est le déterminant d’une matrice k × k obtenue par A par suppression des m − k lignes et n − k colonnes. Le mineur (i, j) Mij d’une matrice carrée A n × n est définie comme le déterminant de la matrice (n − 1) × (n − 1) formé en supprimant dans A son i-ième ligne et j-ième colonne.

Un mineur sui est formé en suppression d’une seule ligne et une seule colonne d’une matrice carrée A est appelé le premier mineur. Nous allons utiliser la notation suivante pour les mineurs : Si A est une matrice m × n, I est un sous-ensemble de {1, …, m} avec k éléments et J est sous-ensemble de {1, …, n} avec k éléments, alors nous écrivons [A]IJ pour les mineurs k × k de A qui correspond aux lignes dans I et colonnes dans J.

– Si I = J, [A]IJ est appelé « mineur principal »
– Si la matrice qui correspond à un mineur principal est une partie supérieure à gauche quadratique (2 nd degré) de la plus grande matrice (c’est-à-dire, il consiste les éléments de la matrice dans les lignes et colonnes de 1 à k), alors le mineur principal est appelé un mineur principal directeur. Pour une matrice carrée n×n, il existe n mineurs principaux directeurs.

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Table des matières

INTRODUCTION
1 Définitions et résultats préliminaires
1.1 Interpolation polynômiale
1.1.1 Problème d’interpolation
1.1.2 Méthode de Lagrange (1736-1813)
1.1.3 Méthode d’Hermite (1822-1901)
1.1.4 Méthode de Newton (1642-1727)
1.2 Polynômes généralisés de Laguerre
1.3 Polynômes généralisés de Jacobi
1.4 Espaces de Sobolev
1.5 Meilleure approximation hilbertienne
1.6 Rappels sur quelques matrices
1.6.1 Matrices définies positives symétriques
1.6.2 Matrice non-singulière
1.6.3 Mineur d’une matrice
1.6.4 Matrice de Gram
1.7 Orthogonalié de Sobolev
1.8 Formes bilinéaires et sésquilinéaires- Produit Hermetien
1.8.1 Orthogonalité
1.8.2 Théorème de projection orthogonale
2 La forme discrète-continue de Sobolev
2.1 Théorème
2.2 Théorème
3 Exemples
3.1 Cas de Laguerre
3.2 Cas de Jacobi
4 Polynômes orthogonaux de Sobolev et interpolation
4.1 Théorème
4.2 Théorème
5 Polynômes orthogonaux de Sobolev et approximation
5.1 Théorème
5.2 Théorème
CONCLUSION