Polynômes de permutation 

Groupe de polynômes de permutation

Caractérisation des corps nis

Caractéristique et cardinal Soit K un corps. L’application ϕ : Z −→ K n 7−→ n1K est un homomorphisme d’anneaux dont l’image Imϕ est le sous groupe additif engendré par l’unité 1K et dont le noyau est un idéal de Z. Par décomposition canonique, on obtient un isomorphisme d’anneaux ψ qui rend le diagramme suivant commutatif : mZ n’est autre que le noyau de ϕ. S’il est réduit à {0}, on dit que le corps K est de caractéristique nulle. Sinon c’est un idéal premier puisque K n’admet pas de diviseurs de zéro, ainsi on a nécessairement m = p (premier). Le nombre p est appelé la caractéristique du corps K. Pour tout nombre premier p, l’ensemble des éléments de l’anneau Z/pZ forme un corps ni d’ordre p, qui peut être identié avec le corps de Galois d’ordre p noté Fp. Les corps premiers Fp jouent un role trés important dans la théorie des nombres. En eet tout corps K de caractéristique p contient un sous-corps isomorphe à Fp := Z/pZ, et donc peut être considéré comme une extension de Fp. Cette observation avec le fait que tout corps ni est de caractéristique p premier, est fondamentale pour la construction des corps nis. Nous présentons dans ce qui suit, une série de résultats concernant les corps nis. Lemme 1.1 Soit K un corps ni contenant un sous corps L de cardinal q. Alors K est de cardinal q m, où m = [K : L] est la dimension de K en tant que L-espace vectoriel. Preuve : Comme K est ni et L ⊆ K, alors il peut être muni d’une structure de Lespace vectoriel de dimension nie m = [K : L]. Ainsi tout élément v ∈ K s’écrit de manière unique v = α1v1 + …. + αmvm où les (vi)i=1,…,m forment une base du corps K et les (αi)i=1,…,m sont dans K. Il vient que K ‘ L m. Il y a alors une relation entre les cardinaux de ces corps et la dimension m donnée par | K |=| L | m=[K:L] i.e | K |= q m. Proposition 1.1 Soit K un corps ni de caractéristique p premier, alors K possède p n éléments avec n ∈ N ∗ . Preuve : En eet, le nombre n est égal à la dimension de K considéré comme espace vectoriel sur Fp = Z/pZ i.e (K ⊃ Fp) et n = [K : Fp] alors K ‘ (Fp) n =⇒ | K |= p n . On constate que Fp est le plus petit sous corps de K, puisque tout corps ni de caractéristique p premier contient nécessairement Fp. On va voir par la suite qu’on peut construire des corps nis à q = p n éléments à partir des polynômes irréductibles sur Fp, et ceci par adjonction de α (racine d’un polynôme irréductible de degré n dans une extension de Fp) à Fp. Mais jusqu’à présent rien ne justie l’existence d’un tel polynôme pour toute valeur de p premier et n ∈ N ∗ . On ne peut donc pas en déduire pour l’instant qu’un corps à q = p n éléments existe toujours. Nous allons considérer les résultats suivants : Proposition 1.2 Si K est un corps ni de cardinal q, (nécessairement commutatif d’après le théorème de Wedderburn) alors pour tout a ∈ K, a q = a. Preuve : S’il existe un corps K à q éléments, alors tout élément a non nul de K vérie a q−1 = 1 d’après le théorème de Lagrange 1 appliqué au groupe multiplicatif K∗ de K,

Polynômes de permutation

Classes de polynômes de permutation Wan et Lidl ont parlé dans leur article [27] de trois classes majeures de polynômes de permutation.  polynômes de permutation de Dickson.  polynômes de permutation linéarisés.  polynômes de permutation de la forme x r f(x q−1 d ), où d est un diviseur de q − 1. Cette classe aborde le troisième chapitre. Une liste aussi exhaustive que possible des résultats connus suit ci-après 2.5.1 Les polynômes de petit degré Comme cité précédemment, l’ensemble des polynômes de permutation de Fq forme un groupe sous l’opération de composition de polynômes i.e si f1(x) et f2(x) sont des 35 CHAPITRE 2. Polynômes de permutation polynômes de permutation de Fq, alors le polynôme composé f1(f2(x)) est aussi un polynôme de permutation de Fq. Ainsi, on peut simplier la classication en utilisant cette observation et en dénissant le polynôme normalisé. En eet, si f ∈ Fq[x] est un polynôme de permutation de Fq, alors f1(x) = c f(x + b) + d, c 6= 0 est encore un polynôme de permutation de Fq. En choisissant b, c et d convenablement, on obtient un polynôme de permutation qui satisfait les conditions suivantes ; Dénition 2.2 Un polynôme f ∈ Fq[x] est dit normalisé si  f est unitaire  f(x) = 0 admet 0 comme solution unique  Si le degré de f n’est pas divisible par la caractéristique de Fq, alors le coe‑cient de x n−1 est 0 Lorsque le degré d’un polynôme satisfait certaines conditions, une utilisation directe du critère d’Hermite-Dickson permet de trouver des polynômes de permutation normalisés de Fq. Le Tableau 2.1, décrit tous les polynômes normalisés de degré inférieur ou égal à 5. Il est clair que lorsque le degré des polynômes augmente, une telle classication devient beaucoup plus di‑cile à établir. L’Exemple 2.2 donne des conditions su‑santes et nécessaires pour que les polynômes de la forme x 8 + axj avec j < 8 soient des permutations. Exemple 2.2 Le polynôme x 8 + axj avec 1 ≤ j ≤ 7 et a 6= 0 est une permutation de Fq si et seulement si une des conditions suivantes est satisfaite 1. j = 1, q = 23r et a (q−1)/7 6= 1 ; 2. j = 1, q = 29 et a ∈ {−4, 4, −10, 10} ; 3. j = 2, q = 22r et a (q−1)/3 6= 1 ; 4. j = 3, q = 11 et a ∈ {−2, 2, −4, 4} ; 5. j = 5, q = 4 et a ∈ {−1, 1} ; 6. j = 5, q = 7 et a ∈ {−3, 3}

Table des matières

Introduction
1 Corpsnis
1.1 Caractérisation des corps _nis
1.1.1 Caractéristique et cardinal
1.2 Extension de corps
1.3 Existence de polynômes irréductibles
1.4 Construction de corps _nis
1.5 Polynômes irréductibles et éléments conjugués
1.5.1 Groupe de Galois de Fqm sur Fq
1.6 Traces, Normes et Bases
2 Polynômes de permutation 
2.1 Permutations
2.2 Polynômes de permutation
2.3 Critères simples
2.3.1 Critère d’Hermite-Dickson
2.3.2 Critère de Lutz-Carlitz
2.3.3 Calculer les images
2.3.4 Caractères additifs
2.4 Groupe de polynômes de permutation 
2.4.1 Générateurs du groupe des polynômes de permutation
2.5 Classes de polynômes de permutation
2.5.1 Les polynômes de petit degré
2.5.2 Polynômes linéarisés
2.5.3 Polynômes quadratiques
2.5.4 Polynômes exceptionnels
2.5.5 Les polynômes de Dickson
2.5.6 Les binômes
3 Polynômes de la forme x(q−1)/d) 
3.1 Introduction
3.2 Critère de Wan et Lidl
3.3 Applications du critère de Wan et Lidl
3.4 Nouvelle famille de polynômes de permutation
4 Famille de polynômes de permutation de Fq 
4.1 Introduction
4.2 Polynômes de la forme h(x)
5 Equations Diophantiennes
5.1 Introduction
5.2 Sur une variante de l’équation pyramidale carrée de Lucas
5.2.1 Quelques calculs
Table des figures
Liste des tableaux
Bibliographie

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