Place et rôle des technologies dans l’enseignement et l’apprentissage du calcul soustractif en CE2

Genèse de la recherche : des constats de formateur 

Pendant deux années consécutives, de 2008 à 2010, nous avons animé, en tant que formatrice à l’Institut Universitaire de Formation des Maitres de l’académie d’Amiens, un stage de formation continue dont l’intitulé était « lire, écrire, calculer» au cycle 2. Ce stage, répondait à une commande au niveau du plan académique de formation de l’Oise, en lien avec la diffusion des nouveaux programmes d’enseignement pour l’école primaire. Ces programmes (bulletin officiel n°3 du 19 juin 2008), contrairement à ceux de 2002, n’étaient pas accompagnés de documents d’application. Le stage devait, dans ce contexte amener les enseignants à concevoir des programmations éventuelles pour atteindre les objectifs fixés par niveau et les aider à préciser les attentes institutionnelles en termes de contenus d’enseignement. Les enseignants titulaires qui participaient au stage étaient remplacés un jour par semaine sur six mois par des stagiaires affectés en responsabilité dans leurs classes.

Un autre changement, l’arrivée d’évaluations nationales en 2009, en fin de CE1 et début CM2, préoccupait les professeurs des écoles, en particulier ceux qui enseignaient en CE1. Ils se demandaient comment faire pour « finir » le programme dans les temps et enseigner des notions qui auparavant relevaient du cycle 3. Nous nous souvenons avoir été particulièrement interpellée par l’enseignement d’une technique relative à la soustraction en cycle 2 et ce dès le CP ….. . Beaucoup parmi les enseignants se posaient la question du choix de la technique, d’autres se demandaient comment l’introduire, d’autres encore à quel moment de l’année l’introduire.

Ce changement de programme, minime en apparence, focalisait l’attention et la réflexion de tous les acteurs sur un objet d’enseignement isolé et singulier. Une grande difficulté que soulèvent d’ailleurs les programmes, et qui, pourtant, semble inévitable au vu de leur communication à des professionnels et des non professionnels de l’éducation et de leur diffusion à grande échelle, est liée à leur découpage. Pour une même discipline, on trouve plusieurs domaines, et dans chaque domaine, plusieurs thèmes qui rassemblent différents sujets d’étude. Dans cette hiérarchisation, il n’est pas si simple d’établir des liens entre les sujets d’études d’un même thème, et de trouver des liens d’un thème à un autre. L’avancée d’un an de l’apprentissage d’une technique opératoire perturbe les équilibres entre les sujets d’étude propres au calcul mental, et réinterroge les liens entre calcul mental et calcul posé. Donc, un petit changement en apparence, soulève le problème de l’atomisation des savoirs, exprimé en ces termes par Chevallard (2003) :

« Le fait que, comme tel – non par exemple en tant que le noosphérien qu’il peut être par ailleurs –, le professeur de mathématiques ne soit pas amené à situer les thèmes qu’il enseigne dans les secteurs et les domaines que dessine le programme, le conduit à faire défiler ces thèmes, et les sujets qui leur sont associés dans le cours d’études, les uns après les autres, à la queue leu leu : la «statistique », par exemple, n’est alors rien d’autre que la succession des sujets et thèmes de « statistique » ; et de même pour la géométrie, l’algèbre, etc. Une telle atomisation de la matière à étudier contraste déjà formellement avec l’ambition originelle dont pourtant elle procède – enseigner « les mathématiques », « la statistique », « la géométrie », « l’algèbre », etc. » (Chevallard, 2003, p.3) .

Pour avancer sur la question de l’enseignement du calcul soustractif, nous connaissions un ensemble de résultats sur l’enseignement et l’apprentissage du calcul mental en France, et d’autres résultats provenant d’études sur l’enseignement et l’apprentissage du calcul posé en colonnes . A notre connaissance, aucune recherche ne traitait du calcul soustractif dans sa globalité. De là, l’idée de nous documenter davantage, de chercher dans des revues internationales, comment la question était traitée, et, au besoin, d’approfondir le sujet, d’en programmer l’étude.

Les attentes institutionnelles 

Nous distinguons les attentes qui relèvent du calcul posé de celles qui relèvent du calcul mental, avant de nous intéresser aux évaluations nationales de fin de CE1.

Au niveau du calcul posé 

On trouve, dans les programmes de l’école primaire de 2008, dans la rubrique Nombres et calcul, les attentes suivantes :

▪ au cycle 2 : « les élèves apprennent les techniques opératoires de l’addition et de la soustraction. » (B.O. n°3 du 19 juin 2008, p.18).
▪ au cycle 3 : « la maîtrise d’une technique opératoire pour chacune des quatre opérations est indispensable. » (B.O. n°3 du 19 juin 2008, p.23). 

Rien n’indique dans les programmes quelle technique et quel degré de justification sot attendus en CE1, en CE2 et par la suite, les compétences n’étant pas déclinées année par année mais par cycle. Or sans cette justification de la technique opératoire de la soustraction posée (quelle qu’elle soit), nous faisons l’hypothèse, que les élèves, en particulier ceux qui font des erreurs, ont peu de moyens de contrôler pas à pas leur calcul. Les élèves qui ne font pas d’erreur, quant à eux, peuvent ne pas savoir quel sens mathématique donner aux retenues. De notre point de vue, un objectif double, mériterait d’être formulé explicitement : « travailler une technique pour elle-même et justifier sa mise en place ».

Au niveau du calcul mental

On trouve, dans les programmes de l’école primaire de 2008, dans la rubrique «Nombres et calcul », les attentes suivantes :

▪ Au cycle 2 : « L’entrainement quotidien au calcul mental permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs propriétés.» (B.O. n°3 du 19 juin 2008, p.18).
▪ Au cycle 3 : « tables d’addition et de multiplication. L’entrainement quotidien au calcul mental portant sur les quatre opérations favorise une appropriation des nombres et de leurs propriétés.» (B.O. n°3 du 19 juin 2008, p.23).

Rien n’indique dans les programmes, quels types de calcul sont proposés aux élèves ni quels types de procédures permettent justement de développer une connaissance plus approfondie des nombres. Beaucoup d’implicite minimise l’importance et la portée du calcul réfléchi. Aucun texte ne présente, alors que c’était le cas dans le préambule du document d’accompagnement sur le calcul mental, la nature et la fonction du calcul réfléchi :

« Et surtout, une pratique régulière du calcul mental réfléchi permet de familiariser les élèves avec les nombres et d’approcher (en situation) certaines propriétés des opérations (cf. les différentes méthodes utilisables pour calculer 37 + 18 ou 25 16). » Dans ce domaine particulièrement, il convient de distinguer ce qu’il faut mémoriser ou automatiser (les tables, quelques doubles et moitiés, le calcul sur les dizaines et les centaines entières, les compléments à la dizaine supérieure…) et ce qu’il faut être capable de reconstruire (et qui relève du calcul réfléchi : idée de rendre plus simple un calcul, souvent en procédant par étapes plus nombreuses, mais en s’appuyant sur ce qui est connu). » (Document d’accompagnement 2002, p.1). 

Au niveau des évaluations nationales CE1

Nous avons recensé les items des évaluations nationales de CE1, spécifiques au calcul soustractif, sur les cinq dernières années où elles ont été mises en œuvre dans les classes avant d’analyser les résultats relatifs à mai 2011. Cet état des lieux permet d’expliciter les connaissances et capacités qui peuvent être théoriquement certifiées en fin de cycle 2.

❖ Nature des items proposés
Dans le livret de l’enseignant de CE1, trois types de connaissances et capacités sont affichés dans la rubrique « calcul » :
● Connaitre et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des différences
● Connaitre et utiliser des techniques opératoires de la soustraction
● Résoudre des problèmes relevant de la soustraction.

En nous intéressant plus précisément aux calculs dictés nous constatons que :
● Suivant les années, il n’y a que deux ou quatre calculs.
● Il y a des années « maigres » (2012 et 2013) où on évalue uniquement la capacité à soustraire 100 ou 200 ou la connaissance du répertoire soustractif.
● Les calculs dictés en 2011 sont du même type que ceux de 2012, soustraire 10, 100, 15 et 9. Le calcul qui demande de soustraire 9 est le seul qui soit un peu ambitieux, car il va permettre éventuellement à l’élève d’utiliser une procédure de calcul mental pour calculer une différence. Le livret de l’enseignant est assez laconique sur la diversité des procédures envisageables.

Table des matières

INTRODUCTION
I. Genèse de la recherche : des constats de formateur
II. Présentation du sujet de la thèse
III. Plan de la thèse
CHAPITRE 1 : Questions initiales
I. Contexte de la recherche
I.1. Les attentes institutionnelles
I.1.1. Au niveau du calcul posé
I.1.2. Au niveau du calcul mental
I.1.3. Au niveau des évaluations nationales CE1
I.2. L’enseignement du calcul posé de la soustraction
I.2.1. Trois techniques opératoires de la soustraction
I.2.2. Les choix des auteurs de manuels et d’ouvrages
I.3. Pratiques des élèves
I.3.1. Au niveau du calcul posé en colonne
I.3.2. Au niveau du calcul mental
II. Questionnement et cadre théorique
CHAPITRE 2: Références épistémologiques sur le calcul soustractif et son enseignement
I. Transposition didactique et TAD
I.1. Notion de savoir savant de référence
I.2. Notion de praxéologie
I.3. Notion d’ostensif
II. Etude des savoirs savants de référence
II.1. Nombres entiers et addition selon Bezout (1764) et Reynaud (1821)
II.2. Nombre entiers et addition dans la théorie des ensembles (fin du XXe siècle)
II.3. Nombres entiers et addition selon Peano (début XXIe siècle)
II.4. Nombres entiers et addition selon Lebesgue (1915)
III. Étude des savoirs à enseigner de référence
III.1. Les raisons d’enseigner le calcul additif et soustractif
III.1.1. La valence épistémique du calcul
III.1.2. La structure des situations additives
III.2. L’enseignement des techniques de calcul mental
III.2.1. Les enjeux de l’enseignement du calcul mental
III.2.2. Notions de flexibilité et d’adaptabilité
III.2.3. Classements des techniques de calcul mental additif
III.2.4. Proposition de classement pour le calcul soustractif
III.2.5. Degré d’adaptabilité du calculateur
III.3. L’utilisation des ostensifs
III.3.1. Les désignations des nombres
III.3.2. Les arbres de calcul
III.3.3. Les droites numériques
IV. L’enseignement d’un algorithme de la soustraction
IV.1. Les raisons d’enseigner un algorithme de la soustraction
IV.2. Etude de différents algorithmes de la soustraction
IV.2.1. Approche historique : étude de Ross et Pratt-Cotter (1997)
IV.2.2. Consultation de manuels anciens
V. Conclusion de l’étude épistémologique et didactique
CHAPITRE 3 : Organisation mathématique de référence
I. Organisations mathématiques associées au calcul soustractif
I.1. Organisations mathématiques locales
I.2. Liens entre les différentes organisations mathématiques locales
II. OM1 : Produire des calculs additifs ou soustractifs
III. OM2 : traduire et associer différentes types de représentations sémiotiques
IV. OM3 : effectuer un calcul
IV.1. Fonctions de la technologie (Castela & Romo Vazquez, 2011, p.88)
IV.2. Effectuer un calcul soustractif mental
IV.2.1. Les principaux types de tâches
IV.2.2. Ta : soustraire un nombre à deux chiffres
IV.2.3. Ta─0 : soustraire un multiple de dix
IV.2.4. Ta─ : soustraire un nombre inférieur à dix
IV.3. Effectuer un calcul soustractif posé en colonne
IV.4. Effectuer un calcul soustractif avec une calculatrice
V. OM4 : Réécrire un calcul
VI. Conclusion
CHAPITRE 4 : Problématique et méthodologie
I. Questions de recherche et hypothèses de travail
II. Précisions méthodologiques
II.1. En lien avec l’analyse de manuels
II.2. En lien avec l’observation de séances
II.2.1. Modalités retenues
II.2.2. Outils choisis pour l’analyse
III. Vers un premier bilan suite aux observations non participatives de classe
III.1. Informations sur les différents projets d’enseignement
III.2. Analyse des séances de classe observées
III.2.1. Analyses relatives à la classe B
III.2.2. Analyses relatives à la classe C
III.3. Propositions retenues en lien avec les pratiques observées
IV. Vers un second bilan suite aux premières expérimentations
IV.1. Présentation des situations
IV.2. Analyse d’une situation de calcul réfléchi
IV.3. Analyse de situations en lien avec la conservation des écarts
IV.3.1. La règle cassée
IV.3.2. Translation d’une bandelette sur la droite numérique graduée
V. Apports de l’étude des pratiques spécifiques
CHAPITRE 5 : Analyse des organisations mathématiques et didactiques de manuels
CONCLUSION

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