PGD espace-temps adaptée pour le traitement de problèmes paramétrés

Le projet ANR OMD2

   Profitant du développement de l’ère numérique, les industriels se concentrent de plus en plus sur les phases de pré-conception de produits. Durant ces phases, on essaye de trouver la « meilleure » solution technique par rapport à un ou plusieurs critères (moins de pollution, plus économique à produire et à utiliser, plus silencieux …) avec la contrainte du respect d’un cahier des charges fonctionnel. Pour cela, différentes variantes d’une même solution incluses dans un espace de conception sont testées (variation de la géométrie, des matériaux utilisés …) et une fonction coût est calculée pour chacune des solutions afin de quantifier les performances d’une solution suivant les critères sélectionnés. Une solution « optimale », minimisant la fonction coût sous possiblement certaines contraintes (contraintes géométriques, poids minimal …) est alors trouvée grâce à des techniques d’optimisation. Ces techniques conduisent donc à résoudre de nombreuses fois des problèmes similaires (pour lesquels seuls certains paramètres de la modélisation ont changé). Toutefois, dans ce contexte à grand nombre de requêtes, l’important n’est pas d’obtenir la solution du problème demandé mais d’évaluer le plus rapidement la valeur de la fonction coût associée à ce problème. Ce temps de réponse entre la donnée des paramètres d’entrée de l’étude et les valeurs de sortie de l’étude est appelé le temps de résolution « online ». Même si de nombreuses techniques d’optimisation existent et sont très performantes, certaines difficultés persistent. On peut principalement en distinguer deux :
• Le temps de calcul :Ces techniques sont très coûteuses car elles nécessitent de nombreux calculs de la fonction coût pour diverses configurations. Cela incite donc les industriels à limiter le nombre d’études d’optimisation menées dans un contexte où l’on voudrait toujours que chacune dure moins longtemps.
• Le manque de multidisciplinarité Dans divers domaines comme l’aéronautique ou l’automobile, différentes disciplines sont présentes au sein d’un même système et il faut être ainsi capable de véhiculer les informations au travers des différents champs disciplinaires. Par exemple, changer la géométrie d’un conduit d’écoulement pourra avoir un impact positif sur le coût de fabrication mais pourra avoir un impact négatif sur l’écoulement du fluide à l’intérieur de ce conduit. D’un point de vue technique, une modification en entraine donc souvent d’autres en cascade au sein de différents champs disciplinaires pilotés par différentes équipes, ce qui est souvent présage de problèmes de communication.D’un point de vue algorithmique, l’aspect multidisciplinaire amène à considérer plusieurs fonctions coût. Actuellement, pour gérer cet aspect, soit on considère une « super » fonction coût comme étant une somme pondérée des différentes PGD espace-temps adaptée pour le traitement de problèmes paramétrés Au service des études d’optimisation  fonctions coût à considérer, ce qui peut « biaiser » le processus d’optimisation (la solution trouvée ne minimise que rarement l’ensemble des fonctions coût). Soit on établit un front de Pareto pour des solutions difficilement hiérarchisables (performances inégales sur l’ensemble des fonctions coût débouchant sur des compromis). C’est dans ce contexte que Renault, en coordonnant le projet OMD , a pris le parti de relever le challenge du développement d’une plateforme d’optimisation multidisciplinaire. Pour cela, différentes équipes ont été associées pour partager leurs spécialités en CAO paramétrée en web-service (SIREHNA), en modélisation numérique (CD-ADAPCO), en stratégie et puissance de calcul (INRIA, ACTIVEEON), en utilisation d’outils d’optimisation (RENAULT), en langage et outils de programmation (DIGITEOSCILAB), en mécanique des fluides (Centrale Paris, INRIA) et des solides (LMT CACHAN, IRCCYN, UTC) et en mathématiques appliquées (INRIA, Centrale Paris, ENSM-SE).

Algorithmes d’optimisation locale

   Ces algorithmes permettent de trouver le minimum d’une fonction coût le plus « proche » d’un jeu de paramètres initial. Ils sont très rapides mais peuvent se bloquer sur des minimums locaux et non globaux. Parmi les différentes techniques développées, distinguons la méthode du simplex [Nelder and Mead, 1965] et les méthodes basées sur des calculs de gradients. La première est une méthode déterministe et n’utilise aucune information sur les dérivées de la fonction coût. Les secondes cherchent à trouver le zéro de la dérivée de la fonction coût. Pour cela, on part d’un point de l’espace de conception, et lorsque les gradients ne sont pas donnés, l’optimiseur demande le calcul de la fonction coût pour des faibles variations des paramètres autour de ce point. Une direction de recherche du minimum sera alors choisie suivant la plus grande pente trouvée. Ces méthodes pouvant se bloquer sur des minimums locaux lorsque la fonction n’est pas convexe, elles sont associées à des stratégies de « restart » s’inspirant des stratégies globales. Ces stratégies, plus exploratoires consistent à regarder la valeur de la fonction coût en plusieurs points de l’espace afin de s’assurer que le minimum trouvé soit global. Des algorithmes globaux peuvent aussi être utilisés durant une première phase afin de sélectionner certaines zones en forme de puits, facilitant le travail des algorithmes locaux durant une seconde phase. En synthèse, une tentative de schématisation du principe d’action de ces 2 familles d’algorithmes d’optimisation (locale et globale) est représentée sur la figure 1.3. On y remarque que l’optimisation globale ne peut tomber sur un minimum local car elle commence par tester une très large population sur l’espace de conception avant de partir précisement à la recherche du minimum.

ROM-POD (POD based Reduced-Order Modeling)

   La ROM-POD [Kunish and Xie, 2005, Lieu et al., 2006, Gunzburger et al., 2007] est une technique de réduction de modèle basée sur la décomposition POD. Cette méthode est particulièrement adaptée au cas où l’on doit obtenir la solution d’un problème trop complexe que l’on ne veut pas résoudre directement. Pour cela, cette méthode consiste à résoudre un problème de substitution : un problème plus simple que le problème initial (typiquement, on traite le même problème mais sur un intervalle de temps réduit ou alors sur l’ensemble du temps mais avec une discrétisation plus grossière). La solution obtenue durant cette phase « d’apprentissage » est appelé un « snapshot ». La décomposition POD de ce « snapshot » permet d’obtenir une base réduite qui est utilisée pour projeter les équations du problème à traiter initialement.

Stratégie multiparamétrique avec utilisation de la méthode LATIN avec PGD

   La stratégie multiparamétrique, introduite dans [Boucard and Ladevèze, 1999] a déjà été utilisée pour une résolution du problème avec la méthode LATIN-PGD (pour des problèmes d’identification en calcul de structures [Allix and Vidal, 2002] et pour la vérification de tenue en fatigue de pièces [Relun et al., 2013]). Dans la suite de la thèse, la stratégie multiparamétrique sera caractérisée par :
• La résolution du problème. Elle sera maintenant effectuée à l’aide de la méthode LATIN implémentée avec PGD.
• Le choix de la solution initiale sst ar t . Jusqu’à ces dernières années, les différents travaux se limitaient à utiliser le problème précédent pour initialiser le calcul d’un nouveau problème mais la représentation adaptée des inconnues (PGD) permet de nouvelles possibilités pour la recherche de la « meilleure » solution initiale. En effet, comme on dispose des solutions sous une forme à variables séparées, l’information à véhiculer peut donc devenir sécable et on peut ainsi choisir de ne prendre qu’une partie d’une ou plusieurs solutions précédentes pour l’initialisation d’un nouveau problème. Dans [Relun et al., 2013], il a été mis en évidence que les couples de rang élevés et donc de faibles amplitudes de la décomposition PGD caractérisaient des corrections propres au jeu de paramètres étudié. Ainsi, lors d’une nouvelle résolution associée à un nouveau jeu de paramètres, seuls les premiers couples de la solution déjà calculée la plus proche dans l’espace des paramètres constituaient sst ar t . Différentes techniques seront développées et testées dans le chapitre suivant. L’information transmissible n’est donc plus une solution entière sre f mais un ensemble de fonctions de l’espace et du temps constituant cette solution. Comme on a fait le choix de ne travailler qu’avec T sous forme PGD (et non Y car il sera facilement reconstruit au début du nouveau calcul grâce à la direction de recherche), l’informaPGD espace-temps adaptée pour le traitement de problèmes paramétréstion transmissible d’un calcul à l’autre se résume donc aux couples de fonctions du temps {τi}i=1…n et de l’espace {Ti}i=1…n de Tre f (M,t). Comme on l’a vu, les fonctions de l’espace sont plus coûteuses à générer que les fonctions du temps. On choisit donc de fixer les fonctions de l’espace (l’ensemble de ces fonctions est regroupé en une base spatiale) et de laisser libre les fonctions du temps. Ainsi, disposant d’une base spatiale construite sur le ou les précédents calculs, la résolution d’un problème associé à un nouveau jeu de paramètres s’effectue comme développé dans l’algorithme .

Table des matières

Introduction
1 Contexte de l’étude 
1 Le projet ANR OMD
2 Au service des études d’optimisation
3 Le problème de référence 
3.1 Le problème de diffusion
3.2 Le problème étudié
2 Réduction de modèles 
1 Méthodes d’approximation
1.1 Cadre général des méthodes d’approximation
1.2 Proper Orthogonal Decomposition
1.3 Proper Generalized Decomposition
1.4 Exemples d’application
2 Méthodes de réduction de modèle 
2.1 Méthodes avec apprentissage
2.2 Méthodes sans apprentissage
2.3 Stratégies d’analyse paramétrique
2.4 Exemple d’application numérique
3 Stratégie de calcul multiparamétrique 
1 Notations
2 Stratégie de résolution LATIN avec PGD 
2.1 Stratégie de calcul pour les problèmes non linéaires : la méthode LATIN
2.2 Initialisation, convergence et critère d’arrêt de l’algorithme
2.3 Développements pratiques par résolution avec la méthode LATIN avec PGD pour un comportement linéaire
2.4 Développements pratiques pour un comportement non linéaire
2.5 Exemple d’application
3 Stratégie multiparamétrique
3.1 Stratégie multiparamétrique avec utilisation de la méthode LATIN sans PGD
3.2 Stratégie multiparamétrique avec utilisation de la méthode LATIN avec PGD
4 Nature de la base de réinitialisation de la stratégie multiparamétrique 
1 Avant-propos 
1.1 Résolution LATIN-PGD vs incrémentale
1.2 Etudes paramétriques
1.3 « La force brute »
2 Processus 1 de réinitialisation
2.1 Enrichissement par ROM-PGD : Etude 1 (Variation de λ)
2.2 Enrichissement par ROM-PGD : Etude 2 (Variation de ρc)
3 Extension à d’autres processus de réinitialisation avec PGD 
3.1 Processus 2 de réinitialisation
3.2 Processus 3 de réinitialisation
4 Bilan
5 Cheminement optimal dans l’espace de conception 
1 Stratégie multiparamétrique
2 Choix d’une erreur en résidu pertinente 
3 Génération d’une base complète 
3.1 Existence d’une base complète Bc
3.2 Génération d’une base complète à moindre coût
4 Exemple numérique 
4.1 Etudes paramétriques
4.2 Génération et utilisation d’une base complète
4.3 Application à la résolution d’une étude d’optimisation
5 Bilan 
Conclusion
Bibliographie

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