PFE ANALYSE MATHEMATIQUE DES TAUX D’INTERETS ET RISQUES EN MICROCREDIT

Modèle stochastique du taux d’intérêt en microcrédit

LA THORIE DE PERRON-FROBENIUS

Cette théorie mathématique qui porte le nom de ses deux inventeurs allemands, Ferdinand Georg Frobenius (1917-1994) et Oskar Perron (1880-1975), concerne les matrices positives dont l’une des puissances est strictement positive. Ces matrices s’appellent des matrices primitives.

Définition : On dit qu’une matrice carrée M est positive si tous ses coefficients sont positifs ou nuls et strictement positive si elle est positive et n’a aucun coefficient nul. Une matrice positive M est dite primitive s’il existe un entier k ≥ 0 tel que M k est strictement positive.

1.Théorème  (Théorème de Perron-Frobenius) Toute matrice stochastique M qui est primitive possède un unique vecteur propre stochastique strictement positif, π*, de valeur propre 1 qu’on appelle vecteur propre dominant de Perron Frobenius et, pour tout vecteur π0 stochastique, on a Appliqué au cas d’une chaine de Markov, ce résultat assure que si la matrice de transition de la chaine est primitive, alors, quel que soit la distribution initiale π0 du système, la répartition des états va évoluer, sous l’action de la dynamique de la chaine de Markov, vers une distribution stationnaire π ∗ qui constitue un ´équilibre pour le système

 Les prêts individuels
Model simple de prêts individuel 

Dans ce paragraphe on essayera de donner un exemple d’application des chaines de Markov en microfinance, ça sera comme une introduction au modèle mathématique pour les prêts individuels et en groupe, c’est un simple exemple c’est un simple exemple qui nous permettra de bien comprendre notre model. Le modèle suivant est dû à une économiste américaine, G. Tedeschi, il étudie le mécanisme du microcrédit dans une population d’emprunteurs. Dans sa version la plus simple, qui est l’objet d’étude de ce paragraphe, les individus peuvent être dans deux états, l´état de demandeur (d’un prêt) et celui de bénéficiaire (d’un prêt). On suppose que la seule sanction en cas de non remboursement est la perte du droit automatique à un nouveau prêt, droit qui, au contraire, est garanti au bénéficiaire lorsqu’il rembourse son prêt. On suppose qu’un bénéficiaire qui investit l’argent emprunte dans une micro entreprise sera en mesure de rembourser son emprunt (et choisira de le rembourser effectivement) avec une probabilité α alors qu’il fera défaut avec une probabilité 1 − α. En cas de défaut, il redevient simplement demandeur durant la période suivante. Comme demandeur, on suppose qu’il a une probabilité γ de se voir attribuer un prête et une probabilité 1 − γ de se le voir refuser. On introduit donc une chaine de Markov (Xt) t≥ 0 à deux états S = {B, D} Et le graphe associé à notre chaine de Markov est de la forme suivante 1-α B D 1-γ On peut ainsi calculer la probabilité de n’importe quelle succession d´états, appelée trajectoire de la chaine de Markov. Par exemple la probabilité qu’un bénéficiaire à la première période reste bénéficiaire pendant 2 périodes puis revienne demandeur et le reste pendant 2 périodes avant de redevenir bénéficiaire, c’est-à-dire la probabilité de la succession d´états (B, B, D, D, B) est égale à : En posant : P(X0=B)=π0 α γ
Mais on ne cherche pas seulement à calculer la probabilité particulière de chaque trajectoire de notre chaine de Markov, on voudrait plus généralement déterminer l’´évolution des proportions des différents ´états entre le premier et le deuxième instant, entre le deuxième et le troisième, et plus généralement savoir comment vont évoluer ces proportions `a l’avenir. Si l’on connait la distribution initiale des différents états (c’est-`a-dire la proportion d’individus de la population étudiée se trouvant dans chacun des états xi, que l’on appelle la loi de probabilité initiale π 0), l´étude de la chaine de Markov permet de calculer, à partir de cette répartition

Modèle généralisé Dans ce modèle généralisé(7)

on cherche à fournir une règle selon laquelle un emprunteur qui rembourse son prêt aura automatiquement accès à un nouveau prêt, et c’est l’un des principes de Grameen-Bank et du microcrédit en général. C’est une généralisation du model simple déjà donné, donc on travaille toujours sur le modèle de Tedeschi. Chaque emprunteur (souvent femme) a un projet qui nécessite une unité de capital, et apporter une quantité ω de profit si elle réussit. Le projet dure pour une période et réussit avec une probabilité α, et ne parvient pas avec une probabilité 1-α. En cas de succès l’emprunteur versera 1+r au préteur (r est le taux d’intérêt), et aura le droit automatiquement avec certitude à un nouveau prêt. Sinon elle ne paiera rien et elle ne sera pas autorisé à obtenir un nouveau prêt au cours des prochaines périodes T, puis lorsque cette période se termine elle peut présenter une nouvelle demande de prêt, mais selon le nombre d’emprunteur éligibles à la recherche d’un prêt. Elle deviendra bénéficiaire avec une probabilité de γ et non bénéficiaire avec une probabilité de 1-γ.

Table des matières

Introduction
1 Aperçu sur le microcrédit
1.1 La microfinance- le microcrédit
a- histoire de la microfinance
b- Pourquoi la microfinance
c- Les produits micro-financières : le microcrédit
d- Les problématiques du microcrédit
1.2 Le Grameen-Bank : idée et philosophie
1.3 L’impact social
1.4 Le taux d’intérêt en microcrédit
a- Le principe de la capitalisation
b- Les taux d’intérêt en Grameen-Bank
2 Modèle stochastique du taux d’intérêt en microcrédit
2.1 Détermination de l’équation de Yunus
2.2 Généralisation de l’équation de Yunus
a- Résolution numérique de l’équation de Yunus
b- La forme continu de l’équation de Yunus
c- La forme généralisés et l’injustice social
2.3 Etude de remboursement avec retard
a- modèle stochastique des retard aléatoire
b- Le taux effectif moyen
2.4 Relation entre les retard de paiement et le taux de remboursement
2.5 Limite de modèle
3 Modèle mathématiques pour les prêts individuels et de groupes
3.1 Chaines de Markov : préliminaires
3.2 Les prêts individuels
a- Modèle simple
b- Modèle généralisée
3.3 Les prêts de groupe avec responsabilité conjointe
3.4 Conclusion sur le modèle
Conclusion
Bibliographie

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