Perspective envisagée au terme de notre première année de Master 

Difficultés et réticences

Difficultés et réticences

On peut voir des difficultés et des réticences dans l’utilisation de l’Histoire des Mathématiques en classe. Pour certains professeurs, l’Histoire des Mathématiques n’est pas fondamentale dans l’apprentissage d’une notion, c’est pourquoi elle n’est pas introduite dans leurs cours . D’autres professeurs sont conscients et considèrent que l’histoire de cette matière possède un réel potentiel quant à l’apprentissage d’une notion. Cependant, l’utilisation de l’Histoire des Mathématiques et notamment son introduction constituent une réelle difficulté. Plusieurs raisons peuvent expliquer ces difficultés (SIU).
La première difficulté se situe au niveau du domaine de travail. En effet, les Mathématiques font parties des sciences exactes, contrairement à l’Histoire qui fait partie du domaine des sciences humaines. On peut voir aussi de nombreuses réticences des professeurs de Mathématiques à introduire l’histoire de Mathématiques par peur du manque de temps. En effet, le temps de travail afin de traiter le programme est déjà suffisamment restreint. Pour certains professeurs, introduire l’histoire des Mathématiques est une charge de travail supplémentaire et pas forcément nécessaire. Une des raisons à l’origine de ces réticences et de ces difficultés est aussi le manque de formation des professeurs à propos de l’histoire des Mathématiques.

Un manque de formation

Afin d’illustrer ce manque de formation, nous avons distribué un questionnaire (cf. annexe 1).
Ce questionnaire est issu de l’article Former des enseignants à l’Histoire des Sciences : analyse et enjeux d’une pratique en Mathématiques . Nous avons interrogé trois classes de cinquièmes lors de notre troisième période de stage ainsi que des étudiants en M1 MEEF en Mathématiques. Nous allons tout d’abord analyser les réponses obtenues auprès des classes de cinquièmes.
Afin d’analyser les résultats nous avons réalisé des diagrammes en bâtons pour chaque question posée dans le questionnaire.
En analysant les résultats, nous pouvons constater que la majorité des élèves sont d’accord sur le fait que les Mathématiques sont utiles dans la vie de tous les jours. Les élèves sont aussi d’accord sur le fait que les Mathématiques sont une science qui ne cesse d’évoluer et que les mathématiciens découvrent encore aujourd’hui de nouvelles choses. En revanche, on peut voir une incohérence au niveau de l’origine des Mathématiques.
En effet, on peut voir sur le diagramme de la question Les mathématiques ont toujours existé que l’avis des élèves est réparti de façon équitable. Les élèves ne sont pas d’accord sur la naissance des Mathématiques. En revanche, en analysant, le diagramme de la question Les mathématiques ont été inventées il y a 100 ans ? on peut voir que la majorité des élèves sont d’accord sur le fait que les Mathématiques ont une histoire et que celle-ci remonte à plus de cent ans.
Nous avons voulu réaliser ce questionnaire auprès d’étudiants en Master MEEF Mathématiques afin de comparer les différences avec les réponses des élèves. Nous avons comme précédemment, réalisé des diagrammes en barres afin d’illustrer les réponses pour chacune des affirmations. Nous avons obtenu les résultats suivants :
Comme pour les réponses obtenues auprès des élèves de cinquième, on peut voir que les étudiants sont d’accord sur le fait que les Mathématiques ont une histoire et sont utiles dans la vie de tous les jours. En analysant les résultats, on retrouve encore une fois la même incohérence. En effet, nous pouvons voir que certains étudiants sont d’accord sur le fait que les Mathématiques aient toujours existé et d’autre part d’autres ne savent pas. En revanche, on peut voir une réponse claire concernant l’affirmation “Les Mathématiques ont été inventées il y a 100 ans ”.
Ces deux études nous ont permis de voir que le même doute au niveau de la “naissance” des Mathématiques persiste.
Dans l’article Former des enseignants à l’Histoire des Sciences : analyse et enjeux d’une pratique en Mathématiques, le même constat était fait. En effet, dans ce dernier les auteurs expliquent ce phénomène par la temporalité commune des élèves et des futurs enseignants. L’historicité des Mathématiques est perçue comme immédiate. Les élèves comme certains étudiants ont des difficultés à percevoir l’histoire des Mathématiques comme quelque chose remontant à plusieurs milliers d’années. Il est compliqué pour eux d’intégrer cette notion de temps. On peut donc voir un manque d’éléments épistémologiques dans le cursus des étudiants. Il est donc compliqué d’introduire l’histoire des Mathématiques au sein d’une séance quand l’histoire de la discipline n’est pas complètement acquise.

Utilité et bénéfices

Théorie de Jankvist

Jankvist est un chercheur qui s’intéresse notamment à l’histoire des Mathématiques. Il a plus particulièrement essayé de catégoriser les différentes approches du comment et aussi du pourquoi utiliser l’histoire des Mathématiques en cours (A categorization of the “whys” and “hows” of using history in mathematics education. Educational Studies in Mathematics, 71(3), 235-261,2009). Le but de cette catégorisation est avant tout de rendre plus accessible l’utilisation de l’Histoire. Elle permet également de faciliter l’analyse des relations qui existent entre les différentes façons d’introduire l’Histoire et les raisons d’une telle introduction. Un autre but de cette catégorisation est d’éviter toute sorte de confusion lors de recherches sur le sujet. Il est question de cette catégorisation dans l’article “L’histoire dans l’enseignement des Mathématiques : sur la méthodologie de la recherche” de D. Guillemette(2011). On y retrouve trois grandes catégories de méthodes.
On peut retrouver dans un premier temps l’approche anecdotique. Cette approche consiste en l’introduction d’éléments isolés sur des faits mathématiques ou des anecdotes. On peut par exemple introduire une petite partie historique à la fin de chaque chapitre.
Une deuxième approche est l’approche par modules d’apprentissage. C’est un usage plus répandu et plus approfondi de l’histoire des Mathématiques. Cela peut passer par la proposition de situations problèmes ou encore de séquences plus ou moins longues sur une notion en particulier.
Enfin, la dernière approche est l’approche historique intégrée. Cette pratique est beaucoup plus poussée que les deux précédentes. On se base sur le développement historique d’un objet mathématique en lui-même pour élaborer une séquence entière. Cela doit se ressentir dans la pratique de l’enseignant mais aussi dans la façon de penser la séquence. On retrouve cela dans l’approche génétique de Toeplitz qui consiste à utiliser l’histoire des Mathématiques pour faire engager la classe en suscitant l’enthousiasme et l’intérêt des élèves.
En ce qui concerne les différentes raisons d’introduire l’histoire des Mathématiques, on peut retrouver deux catégories.
Dans un premier temps, l’histoire des Mathématiques peut être vue comme un outil dans l’apprentissage. En effet, elle peut être considérée comme un vecteur de motivation, permet l’humanisation des Mathématiques, représente un support cognitif pour les élèves ou encore être une approche didactique permettant l’accès à des problèmes enrichissants.
Deuxièmement, l’histoire des Mathématiques en tant que telle apporte du sens à l’apprentissage des Mathématiques. Jankvist parle alors d’apprentissage de “l’esprit” des Mathématiques. L’Histoire est vue comme un objectif en soi.

Potentialité didactique

Il est notamment question de potentialité didactique dans un article que nous avons pu lire au cours de nos recherches documentaires (Barrier, Mathe & De Vittori, 2012). Dans cet article, des élèves se retrouvent dans une situation similaire à celle des mathématiciens indiens. Dans la tâche qui leur est proposée, ils ne disposent que d’une craie et d’une corde. La corde va notamment être utilisée à différentes fins mais aura avant tout pour but de se substituer au compas. Dans cette activité, les élèves doivent tracer un carré seulement avec les éléments qui sont à leur disposition. Pour cela, ils doivent suivre une série d’instructions.
Nous avons, au cours de notre formation à l’INSPE, pu tester cette activité par nous-même. Nous nous sommes de suite rendu compte que l’ensemble des étudiants s’est prêté au jeu et a été motivé par l’activité proposée. Cela n’a que renforcé notre point de vue sur la motivation des élèves par l’apport d’activité historique. De plus, cela nous a confortées dans l’envie de tester cette activité avec nos propres classes, si cela fonctionne auprès d’adultes des enfants devraient apprécier.
Dans cet article, il est dit que “La présence dans le milieu didactique d’instruments non-usuels, en l’occurrence issus de pratique historique rend envisageable l’émergence de connaissances géométriques reposant sur des propriétés qui, dans des contextes plus classiques, ont moins de chance d’être mobilisées par les élèves”. On a donc ce type de tâches qui peuvent conduire à la formulation et à l’institutionnalisation de certaines propriétés. Cela permet de constituer un lieu d’enrichissement du rapport des élèves aux objets géométriques en jeu. On peut retrouver les mêmes effets et bénéfices avec d’autres types de notions.
C’est dans ce genre de situations que l’on peut analyser l’effet de l’utilisation d’un instrument historique, dont la présence est justifiée auprès de l’élève par l’introduction d’un contexte social et historique. Certaines questions peuvent alors émaner de la part des élèves d’où la naissance d’une dimension épistémologique. “La contextualisation épistémologique et la qualité du travail mathématique vont de pair”. Il y a donc un réel potentiel didactique à l’existence de séances mettant en jeu des instruments non-usuels dans le cadre d’un contexte historique. L’enseignant doit avoir la capacité de faire interagir Mathématiques et épistémologie.

Comment ?

Dans cette partie, nous allons étudier comment introduire des éléments historiques au sein d’une séance de Mathématiques. Nous allons dans un premier temps étudier la nature des éléments historiques, puis leurs modalités d’entrée lors d’une séance.

Nature des éléments historiques

Dans un premier temps, on peut considérer que ce sont les impulsions du professeur qui permettent de lui donner un côté historique. En effet, avant de réaliser une séance de Mathématiques et d’histoire il est important que le professeur fasse un travail de recherche en amont. C’est par cette prise d’initiative que naît la vigilance historique.

Analyse des manuels

Afin d’étudier la mise en œuvre des programmes scolaires, nous avons analysé les manuels scolaires afin de regarder si des exercices en rapport avec l’histoire des Mathématiques étaient présents au sein de ces derniers. Pour cela, nous avons analysé la collection Mission Indigo de 2017 pour le collège et la collection Math’x de 2014 à 2016 pour le lycée. Nous voulions en effet analyser une collection en particulier afin de regarder le niveau où l’on retrouve le plus d’exercices de ce type. Enfin, nous nous sommes penchées sur plusieurs manuels de première scientifique. Cette analyse nous permettra de connaître l’évolution de la présence des exercices liés avec l’histoire des Mathématiques et les chapitres dans lesquels ils sont le plus présents.
Avant tout, il est important de différencier les exercices faisant simplement référence à l’Histoire et les exercices faisant référence à l’histoire de Mathématiques. Nous considérons, pour cette analyse, qu’un exercice lié à l’histoire des Mathématiques est un exercice pouvant expliquer l’origine d’une notion, la manière dont elle était utilisée à une certaine époque, des énigmes mathématiques d’une certaine période…
Dans un premier temps, nous avons analysé la collection Mission Indigo de 2017 de la sixième à la troisième. Nous avons obtenu les résultats suivants :
Nous pouvons constater que l’on ne retrouve que très peu d’exercices liés à l’histoire des Mathématiques. Notamment en classe de cinquième, où aucun exercice du manuel n’y fait référence.
En classe de sixième, on retrouve un exercice sur la naissance de la géométrie en Égypte. Cet exercice permet de travailler les notions du chapitre « Figures usuelles et aires ».
En classe de quatrième, nous retrouvons seulement deux exercices : un premier travaillant les notions du chapitre sur les puissances et un autre sur les carrés magiques permettant de travailler le chapitre sur les nombres relatifs.
Enfin, en troisième, nous retrouvons également deux exercices : un sur la résolution d’inéquations à la manière des japonais et un autre sur les parallélogrammes.
Nous pouvons déjà nous rendre compte que, malgré les recommandations des programmes scolaires, l’histoire des Mathématiques est peu présente dans cette collection.
Nous avons donc, dans un second temps, analyser une collection de manuels du lycée. Nous avons obtenu les résultats suivants :

Outils pour analyser une tâche

Par le biais de nos lectures nous avons pu affiner notre objectif de recherche et définir la problématique suivante :
Y a-t-il un réel effet de l’introduction de l’histoire des Mathématiques sur l’intérêt que portent les élèves à l’activité ?
Avant de mener plus en détail notre travail de recherche, nous avons formulé plusieurs hypothèses.
Nous pensons tout d’abord que l’âge des élèves n’a pas de réel impact sur l’intérêt que peut apporter l’histoire des Mathématiques aux élèves.
De plus, nous pensons que les activités dites « à la manière de » vont être les activités qui permettront d’obtenir une plus grande motivation, un plus grand intérêt chez les élèves.
Enfin, nous pensons que l’introduction de l’histoire des Mathématiques dans un cours peut vraiment changer la façon dont les élèves vont percevoir ce qu’ils ont à faire, que cela peut gommer le côté un peu magistral que peut avoir un cours de Mathématiques traditionnel.
Lors de ce mémoire, nous avons pour but de réaliser des expérimentations au sein de nos classes afin de répondre de manière plus rigoureuse à cette problématique. Pour cela, nous avons besoin d’analyser les séances de manière didactique mais aussi d’analyser les séances de manière historique.
Nous allons donc parler, dans cette partie, d’une méthode permettant d’analyser les tâches des élèves de manière historique : la typologie SaMaH.
Cette typologie permet d’analyser les tâches des élèves dans une séance de mathématiques à dimension historique. En effet, il est important de comprendre que les tâches des élèves diffèrent d’une séance de mathématiques ordinaire.

La typologie SAMAH

Pour comprendre cette méthode d’analyse, nous avons lu l’article de Thomas de Vittori, Les tâches des élèves en Mathématiques dans une activité mathématiques à dimension historique . Cette typologie SaMaH peut être représentée par le schéma suivant que nous allons analyser et expliquer.

Expérimentation en classe

Présentation des classes en charge

Nous avons toutes deux été mutées dans des endroits distincts et avec des niveaux différents pour cette deuxième année d’écriture commune.
Juliette Rotger exerce au lycée Henri Bergson d’Angers (Maine et Loire). Elle a en charge deux classes de seconde (la seconde 2 et la seconde 6) qu’elle voit à raison de neuf heures par semaines : huit heures de cours obligatoires et une heure d’accompagnement personnalisé alternée une semaine sur deux pour chacune des classes.
Pauline Tison exerce au collège Le Joncheray de Beaumont sur Sarthe (Sarthe). Elle a en charge une classe de sixième ainsi qu’une classe de quatrième qu’elle voit huit heures par semaine : quatre heures et demie pour les sixièmes et trois heures et demie pour les quatrièmes. À ces huit heures viendront se greffer au cours de l’année des heures d’accompagnement personnalisé en petit groupe.

Modalités et consignes de travail

Nous avons décidé de travailler de façon conjointe, c’est-à-dire de se baser sur les mêmes méthodes d’expérimentation afin de pouvoir faire un comparatif. En effet, cela nous permettra de faire le parallèle sur le type d’activité proposée mais aussi le parallèle collège/lycée. Nous aurions ainsi un plus large champs d’analyse.
La première activité que nous avons proposée est une activité où l’Histoire intervient seulement par touche, elle est là pour donner un enrobage, un contexte à ce qui est abordé. Nous n’entrons pas encore dans ce qui pourrait être qualifié d’activité « à la manière de ». Nous restons dans le type d’activité que l’on peut communément rencontrer sur Internet ou bien dans les manuels scolaires.
Nous retrouvons, dans cette première activité, une juxtaposition entre des tâches aM et des tâches aH comme on pourrait les qualifier grâce à la typologie SaMaH, décrite précédemment.
L’idée est de jauger comment les élèves réagissent à ce type d’activité, s’ils sont sensibles ou non à l’Histoire qui est apportée. C’est une sorte de mise en bouche pour ce qui va suivre. Le but est aussi de les mettre dans le bain pour ce qui va suivre tout au long de l’année, à savoir des activité s faisant référence de près ou de loin à l’Histoire et à l’origine de ces notions.
La seconde activité sur laquelle nous allons porter un regard un peu plus important sera une activité cette fois-ci où l’Histoire prend tout son sens puisque les élèves devront se mettre dans la peau des mathématiciens de l’époque, ils feront « à la manière de ». Dans cette deuxième activité, on ne considère plus seulement la juxtaposition de tâches aH et aM mais aussi les tâches S permettant de faire la jonction entre les deux.
Cela nous permettra d’évaluer l’intérêt d’une telle activité, la sensibilité des élèves et même l’intérêt de cette façon de travailler. Les élèves seront plongés dans un contexte et devront s’adapter aux méthodes, aux outils employés à cette époque. Cette activité fera l’objet d’une analyse a priori mais aussi a posteriori beaucoup plus poussées que la première activité. Elles interviendront plus ou moins tôt dans l’année. Nous ferons en sorte de travailler sur des thèmes communs entre collège et lycée.
Après mûre réflexion et en accord avec nos progressions respectives, nous avons déterminé deux grands thèmes de travail.
Notre première activité portera sur les thèmes des nombres et plus particulièrement sur les nombres décimaux que ce soit en collège ou en lycée. Nous pourrons ainsi partir d’une situation semblable pour une comparaison. Notre seconde activité aura attrait, de près ou de loin, à la géométrie.
Au lycée, Juliette travaillera sur la découverte de la valeur approchée de racine de deux à la manière des Babyloniens avec une dimension géométrique. Pauline, au collège, s’attardera sur l’introduction à la géométrie avec ses sixièmes. Son activité portera sur Euclide et son ouvrages Les éléments d’Euclide.
Notre première activité est fondée sur un document trouvé sur Internet, trouvable en annexe, donné tel quel ou bien modifié en classe. La seconde activité relève quant à elle de nos imaginations respectives. Il est en effet parfois compliqué de trouver des activités mathématiques à dimension historique qui correspondent à nos niveaux et nos envies.
Toutes nos analyses comprennent des parties semblables. En effet, dans les deux cas nous retrouvons une analyse a priori et une analyse a posteriori de nos expérimentations. Ces analyses seront faites à partir de nos prévisions de déroulement en cours, de nos souvenirs de séances mais aussi et surtout de transcriptions réalisées d’après enregistrements. Le tout sera bien entendu accompagné de traces écrites recueillies auprès de nos élèves.

Table des matières
I- Difficultés et réticences
a. Difficultés et réticences
b. Un manque de formation
II- Utilité et bénéfices
a. Théorie de Jankvist
b. Potentialité didactique
III- Comment ? 
a. Nature des éléments historiques
b. Modalités d’entrée lors d’une séance
IV- Textes officiels 
a. Programmes scolaires
b. Analyse des manuels
V- L’avis d’une historienne des Mathématiques, Evelyne Barbin
VI- Outils pour analyser une tâche 
a. La typologie SAMAH
VII- Perspective envisagée au terme de notre première année de Master 
a. Présentation d’une possible expérimentation
b. Analyse des activités proposées
VIII- Expérimentation en classe
a. Présentation des classes en charge
b. Modalités et consignes de travail
c. Cadre théorique d’analyse
1. Les étapes du processus de problématisation
2. Les étapes de notre analyse
d. Expérimentation Juliette Rotger
1. Analyse a priori
i. Analyse globale
ii. Analyse des tâches proposées aux élèves
iii. Conditions de travail des élèves
2. Méthodologie du recueil
3. Analyse a posteriori
i. Schéma des différents registres
ii. Activité des élèves à maxima et à minima
iii. Questionnaire aux élèves : bilan sur l’activité
e. Expérimentation Pauline Tison
1. Analyse des tâches proposées
2. Conditions de travail des élèves
3. Méthodologie de recueil
4. Analyse a posteriori
i. Schéma des différents registres
ii. Analyse de l’activité à maxima et à minima
iii. Questionnaire aux élèves : bilan sur l’activité
IX- Conclusions 
Bibliographie
Annexe
4e de couverture

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