Pénétration auto-cohérente du champ magnétique dans les plasmas

On étudie la dynamique du champ magnétique dominée par l’effet d’Hall. L’évolution de B dans le problème qui suit est essentiellement influencée par des fluctuations de la densité du plasma créées par  ∇B² . Deux problèmes sont considérés : l’onde auto-similaire non-linéaire de pénétration du champ magnétique et la fuite d’une petite onde–précurseur de l’onde convective.

Les problèmes correspondants sont habituellement traités en considérant une distribution d’ions immobiles  ni ( r ) . Toutefois le phénomène en lui-même est extrêmement sensible au profil de variation de densité du plasma parce que c’est ce  profil qui détermine le mécanisme principal d’EMHD – la valeur du champ électrique d’Hall (deuxième terme de l’équation (1)). Cette dépendance forte est aussi à l’origine de toute une classe d’instabilités « rapides » des plasmas U.A. Igitkhanov et al, O.M. Drozdova et al., A.V. Gordeev et al. [4, 5, 6]. La distribution extrêmement inhomogène du courant dans les plasmas de densité variable mène à la croissance des perturbations initiales de la densité à cause de l’intensité de la force magnétique j×B qui est proportionnelle au champ EHall .

Les deux remarques que nous venons de faire nous signalent qu’il est très important de prendre une approche auto-cohérente du problème, où le champ magnétique évolue et pénètre dans le plasma sur fond de perturbations de la densité créées par ce champ lui-même (donc non-stationnaires).

Afin d’éviter les malentendus il faut noter que l’on étudie l’influence de la diffusion auto-cohérente sur l’instabilité, contrairement au travail de N.F. Roderick et al. [10] où les auteurs ont examiné l’effet de la viscosité magnétique. La valeur de la diffusion auto-cohérente dans notre cas dépend principalement du niveau de perturbation de densité, c’est cette même dépendance qui en constitue la contribution-clef.

L’analyse détaillée du problème est facilitée du fait de la grande valeur du paramètre d’Hall β (le plasma est fortement magnétisé). La grande valeur β permet à la rétroaction sus-citée d’être importante malgré la petitesse de l’amplitude des fluctuations de la densité : δ n /n << 1. C’est pourquoi on peut se contenter de rester dans l’approximation où les équations hydrodynamiques (3), (4) sont linéarisables.

Ainsi qu’habituellement dans le cadre de l’EMHD, la non-linéarité du champ magnétique ne complique pas excessivement l’analyse.

Onde convective auto-cohérente 

Dans cette section on va examiner le problème avec gradient de densité de plasma. Cela se traduit par le fait que les électrons transportant le courant se resserrent au cours du mouvement ( j ⋅∇ > n 0 ). Il est bien connu K.V. Chukbar et al., A.V. Gordeev et al., A.Fruchtman [1,2,3] que dans le cadre d’EMHD se forme alors une onde convective de pénétration du champ magnétique (Fig.8). Cette onde se propage dans un plasma avec une vitesse constante qui dépend de la valeur du gradient. En géométrie cylindrique ( B , 0 B e = ∂∂ ≡ ϕ ϕ ) les crochets de Poisson (2) contiennent 2 nr au lieu de n et donc cet effet a lieu même si n = const .

Cela signifie que dans ce cas précis, contrairement au paragraphe précédent, c’est non pas le problème principal, mais le problème aux limites (dans le sens mathématique du terme) qui passe au premier plan. C’est le problème de la translation du champ magnétique B0 dans un milieu depuis la frontière.

Dans cette situation, l’instabilité rapide de petite échelle ne doit pas avoir le temps d’influencer le profil lisse n y( ). Elle provoque seulement l’augmentation du coefficient de la diffusion de la composante lisse du champ magnétique. Elle ne doit par conséquent pas modifier la vitesse de l’onde de pénétration, mais agir sur la forme et la largeur du front de l’onde seulement. Les études analytiques présentées dans cette section confirment cette conclusion dans ses grands traits, mais découvrent à la fois des particularités non négligeables liées à la rapide croissance du coefficient de diffusion Deff ∝ B n δ sur le front. Cette croissance est le résultat de l’évolution autocohérente de l’instabilité.

Conclusion 

Le résultat principal de ce chapitre est la démonstration de la possibilité de résoudre les problèmes auto-cohérents EMHD en présence d’inhomogénéités créées par l’évolution du système lui-même. Il s’agit aussi de l’influence de la dynamique autocohérente sur l’instabilité de type Rayleigh-Taylor. Notamment, la prise en compte du fait que le problème est auto-cohérent entraîne la stabilisation de cette instabilité. L’utilisation de paramètres faibles appropriés (les inégalités (25) – (29)) nous permet d’avancer dans la description analytique de situations pratiques, suffisamment pour décrire des phénomènes non-triviaux tels que l’onde non-linéaire autosimilaire ou la fuite d’un précurseur à faible amplitude à partir de l’onde principale.

Nous pouvons essayer de comparer nos résultats directement aux données expérimentales sur les commutateurs à ouverture de plasmas (COP) ou «plasma opening switches» (S. Alexiou et al., A. Chuvatin et al. [14, 15]). Dans ces expériences les limites de validité d’EMHD sont déjà bien connues, néanmoins nous ne disposons que d’une description imprécise des phénomènes. Le problème est l’absence de données, très importantes pour la théorie des propriétés des plasmas. Par exemple, le paramètre d’Hall β n’est jamais connu de manière précise parce que l’on ne peut maîtriser les effets anormaux dans la résistance de plasma (c’est-à-dire dans e τ ). De même pour les mesures des fluctuations de la densité, surtout celles de petite échelle. Le rôle vague du chauffage des électrons dans la dynamique EMHD auto-cohérente du champ magnétique, contribue à aggraver encore les incertitudes mentionnées ci-dessus. Formellement, la dissipation d’énergie électromagnétique 2 j /σ doit être accompagnée par la transformation de cette l’énergie dissipée en énergie thermique de chauffage des électrons. En conséquence, la pression s’écrit 2 p nT B = e ~ , ce qui à son tour requiert la prise en compte des termes supplémentaires dans l’équation (1). Cependant ces termes ne sont généralement pas inclus dans le système d’équation EMHD car les températures ne sont pas aussi élevées dans les expériences de COPS, Alexiou et al., A. Chuvatin et al. [14, 15]. On explique habituellement ce désaccord par un refroidissement par rayonnement des électrons et par la fuite des électrons le long de l’axe B. D’ailleurs, une analyse plus profonde A.S. Kingsep et al. [16] montre que même s’il n’y a pas de refroidissement, la valeur de p ne dépasse pas 1/3 de 2 B /8π. Par conséquent, l’image EMHD du phénomène est très peu modifiée alors que l’avantage qu’on a à travailler avec l’ensemble des équations simplifiées est considérable.

Malgré les difficultés rencontrées, l’image du phénomène (bien que simplifiée) obtenue dans ce chapitre promet d’être très intéressante. Par exemple, nous avons une indication de croissance forte du coefficient de la diffusion (la première inégalité dans (18)) du champ magnétique même dans les plasmas avec perturbation initiale δn petite. Mais les résultats les plus intéressants sont ceux liés à l’onde convective. Cette onde est bien observée dans les expériences de COP. La formation du précurseur d’une petite amplitude (si le niveau initial des perturbations de la densité de petite échelle est suffisant) peut influencer l’évolution du déclenchement de plasma dans un COP. En fait, ce processus peut même expliquer l’absence de chauffage fort mentionné cidessus : l’énergie électromagnétique transportée à travers le milieu est très inférieure à l’énergie initiale 2 0 B /(8 ) π .

Table des matières

Introduction
Motivation de la thèse
Phénoménologie de l’IRT
Equations de base de l’IRT classique
L’IRT dans les plasmas avec champ magnétique
Organisation de la thèse
Références
Chapitre 1. Pénétration auto-cohérente du champ magnétique dans les plasmas
Introduction
Modèle théorique
Solutions auto-similaires
Onde convective auto-cohérente
Conclusion
Références
Chapitre 2. Stabilisation Dynamique de l’IRT dans un fluide visqueux
Introduction, phénomène, analogies
Modélisation mathématique, cas du fluide visqueux
Solutions approximatives de l’équation de dispersion
Solution exacte de l’équation de dispersion
Cas du fluide idéal
Conclusion
Références
Chapitre 3. Influence de modulation de la surface sur l’IRT dans les plasmas magnétisés
Introduction
Etat d’équilibre
Perturbations initiales de l’instabilité
Système d’équations
Solution
Résultats
Conclusion
Appendice A
Références
Chapitre 4. Onde de raréfaction dans les plasmas magnétisés de type Hall
Introduction
Géométrie du problème, équations de base
Solution du problème
Analyse de solutions, exemples de distribution initiale
Limites de la solution ( 0 ν c ≠ )
Solutions exactes avec collisions ( 0 ν c ≠ )
Conclusion
Références
Conclusion

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