Parois et ondes de surface : dissipation, effet Doppler et interactions non linéaires

La vue d’une surface d’eau en mouvement, qu’il s’agisse des légères ondulations d’un lac de montagne, des reflets sur la Seine à la tombée du jour ou encore des remous plus violents de l’océan, fait partie des spectacles les plus fascinants que la nature nous offre au quotidien. C’est le contraste entre le calme des alentours et la dynamique incessante des déformations qui est remarquable : très peu d’autres champs d’ondes sont aussi aisément observables. Comme pour tous les phénomènes ordinaires, l’opinion largement partagée est que « cela doit être bien compris ». Les mouvements atmosphériques, les frottements solides, les fractures ou encore les phénomènes électrostatiques constituent pourtant autant d’exemples réfutant le lien entre compréhension et banalité d’un effet. Cette confusion n’a rien de nouveau. À partir du milieu du XVIIIe siècle se développent en Europe les voyages d’exploration maritime, offrant des observations précieuses pour les scientifiques de l’époque. L’académie des sciences est alors régulièrement mandatée pour fournir des consignes aux membres d’équipage et l’on retrouve dans le premier de ses Comptes rendus hebdomadaires, en 1835, les Instructions concernant la physique du globe rédigées par François Arago et relatives au voyage de La Bonite. Elles abordent des points de géophysique allant du réchauffement climatique au champ magnétique terrestre, l’un d’entre eux portant sur l’océan [2] :

« Les jeunes officiers dont se compose l’état-major de la Bonite seront probablement bien surpris si nous les avertissons qu’aucun de leurs devanciers n’a résolu d’une manière complète les questions suivantes : quelle est la plus grande hauteur des vagues pendant les tempêtes ? Quelle est leur plus grande dimension transversale ? quelle est leur vitesse de propagation ? »

Arago était confiant sur la proche résolution de ces questions, le début du XIXe siècle marquant le premier tournant dans l’étude des ondes de surface [3, 4] : après un traitement par Laplace en formalisme lagrangien, l’approche eulérienne est développée par Cauchy et Poisson à l’occasion de leurs réponses au prix de l’Académie des Sciences de 1813 intitulé problème des ondes à la surface d’un liquide de profondeur indéfinie. S’y trouvent entre autres la relation de dispersion des ondes de gravité ainsi que la trajectoire des particules de fluide. Les aspects faiblement non linéaires, abordés par Stokes et indispensables pour une description correcte de la houle, suivent rapidement, tout comme la prise en compte de la tension superficielle [5]. De nombreux phénomènes sont expliqués : la diffraction des vagues à l’entrée d’une baie, leur réfraction à l’approche d’une plage, les solitons observés dans les canaux ou encore l’agencement spatial des ondes suite à la chute d’un caillou dans l’eau. Les officiers de La Bonite auraient-ils du regretter de ne pas être partis un siècle plus tard ? Manifestement non, les questions portant sur l’état de l’océan étant seulement formulées de manière plus précise. Ainsi, la présentation introductive d’une fameuse conférence d’océanographie de 1963, intitulée Known and unknown properties of the frequency spectrum of a wind-generated sea, se conclut de la manière suivante [6] :

« In many ways the problem under investigation is complex. The mechanisms that cause the waves on the open ocean are decidedly nonlinear, and they are not well understood. The fully developed sea for a given wind speed and for a long enough fetch and duration is limited by nonlinear effects, as is evidenced by the presence of whitecaps and spindrift on the open ocean.

Little agreement exists in the literature at the present time about the form of the spectrum of a fully arisen sea or about the successive stages of growth of the spectrum of a wind-generated sea. The only areas of agreement may be that the spectrum has essentially a vertical forward face and that it behaves like k/ωn, with n somewhere between 4 and 8 at the high frequencies. The effects of fetch, duration, wind speed, and air-sea temperature difference are not settled. »

L’optimisme est toujours de mise. De fait, la seconde révolution dans l’étude des ondes de surface se situe autour des années 1950 et consiste en la prise en compte des interactions non linéaires entre paquets d’ondes. Il s’agit d’un mécanisme fondamental dans la dynamique de l’océan, décrivant les échanges d’énergie entre échelles spatiales et temporelles différentes. Cela a mené à l’établissement d’une théorie très similaire à celle de Kolmogorov en turbulence, la turbulence d’ondes. Les principaux noms associés, Phillips, Hasselmann ou encore Longuet-Higgins, sont devenus des références en océanographie, et plus généralement en mécanique des fluides. Un débat a lieu en guise de conclusion à la conférence mentionnée précédemment, au cours duquel O. M. Phillips discute l’avenir de cette discipline :

« What of the future ? Let me just extrapolate on the basis of present trends. I believe that the dynamical theories will be able to predict quantities which will be observable. They may be wrong, so the theories will have to be modified. But with a continuous comparison between the predictions and the observations, such as has already taken place in the statistical description efforts, we will gain some confidence in them. We will see their limitations ; we will see where modification is required. The sort of program that has been carried forward by the NIO [National Institute of Oceanography] is immensely valuable in this respect. In my more sanguine moments I hope that in perhaps ten years we will understand enough about what causes these waves to be able to feed back enough insight and knowledge to the chap who is trying to predict the waves to allow him to make a better estimate and prediction than is being made now. »

Et de fait, peu de temps après se développent les premiers logiciels de prédiction de houle [7]. Comme espéré par Phillips, ils reposent sur une version simplifiée d’une équation bilan de turbulence d’ondes appelée équation cinétique puis sont ajustés empiriquement pour décrire les transferts d’énergie encore non compris de manière quantitative, par exemple ceux liés au vent ou aux déferlements. Grâce aux données satellite et aux puissances de calcul modernes, des prédictions précises sur plusieurs jours de l’état de la houle sont aujourd’hui disponibles en ligne (on pourra consulter le programme Wavewatch III pour une idée des résolutions et grandeurs accessibles). Le sujet est cependant loin d’être clos : pour reprendre la problématique d’Arago, on ne sait toujours pas estimer correctement la plus grande hauteur des vagues pendant les tempêtes ! La raison est que les événements rares et de grandes amplitudes, les vagues scélérates, découlent d’effets non pris en compte dans les modèles de prédictions de houle  , et sont simplement impossibles à considérer avec le jeu de données disponibles. S’ajoute à cela de nouvelles difficultés découlant du couplage des ondes de surface avec la turbulence et les ondes internes.

Table des matières

Introduction
1 Quelques effets connus des parois
1.1 Théorie potentielle des ondes de surface
1.1.1 Ondes en milieu infini
1.1.2 Ondes dans un réservoir cylindrique
1.1.3 Ondes de surface localisées
1.2 Dissipation et couche limite
1.2.1 Dissipation en volume
1.2.2 Dissipation au fond
1.2.3 Dissipation liée à la contamination de surface
1.2.4 Estimer l’amortissement en ordre de grandeur
1.2.5 Dissipation liée à la ligne triple
1.2.6 Comparaison avec les expériences
1.3 Réflexion d’onde par une structure fixe
1.3.1 Effet d’un saut de profondeur
1.3.2 Effet d’une paroi mince immergée
1.3.3 Effet d’une paroi émergée
1.4 Interaction avec une structure mobile
1.5 Récapitulatif
2 Caractérisation acoustique d’une interface
2.1 Motivations
2.1.1 Méthodes de mesure usuelles
2.1.2 Pourquoi chercher à réaliser des mesures acoustiques ?
2.2 Réflexion normale sur une surface d’eau en mouvement
2.2.1 Paroi en translation uniforme
2.2.2 Paroi oscillante
2.2.3 Paroi en mouvement harmonique
2.2.4 Effet de la non-linéarité du milieu
2.2.5 Première approche du problème réel
2.2.6 Présentation du dispositif expérimental
2.2.7 Comparaison des capteurs
2.2.8 Réponse fréquentielle
2.2.9 Conclusion
2.3 Réflexion oblique sur une surface d’eau en mouvement
2.3.1 Historique des travaux sur la diffraction d’ondes acoustiques
2.3.2 Résultats obtenus
3 Non-linéarités dissipatives
3.1 Dispositif expérimental
3.1.1 Propriétés principales d’un fluide diphasique proche du point critique
3.1.2 Montage expérimental
3.2 Capillarité proche du point critique
3.2.1 Ménisque et comportement critique
3.2.2 Dispositif expérimental et résultats
3.3 Résultats obtenus
Conclusion

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