Soutenance mémoire
La littérature fournit de nombreux exemples de formulations de la commande robuste. Partant de cette constatation, les travaux proposés dans ce mémoire se sont orientés vers la commande robuste sous formalisme d’état, permettant d’avoir une vue d’ensemble intéressante sur les techniques ensemblistes sous une formulation LMI appliquées aux systèmes linéaires LTI, LPV, en commutation affectés par de perturbations bornées. Dans ce cadre, on envisage uniquement le cas des systèmes représentés par des modèles à temps discret.
De nombreux auteurs proposent la synthèse de lois de commande en ligne par des techniques ensemblistes pour des systèmes lents avec contraintes et avec une description polytopique [13, 61, 107] (c.à-d. la synthèse d’une loi de commande fournissant l’ensemble invariant maximal (ou minimal) en présence des contraintes et des perturbations). L’objectif est ici l’utilisation des techniques ensemblistes pour définir une méthodologie hors ligne de synthèse de lois de commande robustes ou de robustification de lois de commande existantes, vis-à-vis de perturbations bornées et en présence de contraintes, de façon à pouvoir piloter des systèmes rapides. En présence de contraintes et de perturbations, on verra dans une première partie d’analyse que le volume de l’ensemble minimal ou maximal nous offre une mesure de la robustesse du système. En se basant sur cette information, l’approche abordée dans ce mémoire consiste à rechercher une loi de commande qui maximise (minimise) l’espace ellipsoïdal de l’état pour lequel les contraintes sont satisfaites malgré la présence de perturbations bornées.
Si des perturbations permanentes agissent sur le système, on ne peut plus parler de stabilité asymptotique car l’état ne convergera pas vers l’origine mais vers un ensemble invariant. La notion de stabilité au sens entrée-état (ISS – input to state stability) est alors nécessaire pour désigner la convergence de l’état vers un ensemble invariant dans lequel il restera une fois entrée. Cet ensemble représente en fait l’ensemble invariant minimal et son volume dépend de l’amplitude de la perturbation.
Si l’on se place maintenant dans l’optique de la synthèse d’une loi de commande par retour d’état, dans la pratique, il y a des situations où le vecteur d’état ou une partie des variables d’état ne sont pas toujours disponibles à la mesure ou des situations où l’on souhaite réduire le nombre de capteurs pour diminuer les coûts. Dans ces conditions, un observateur d’état est généralement nécessaire pour reconstruire les variables d’état non mesurables. Pour la synthèse d’une commande par retour d’état et observateur stabilisants, plusieurs méthodes ont été proposées dans la littérature [2, 13, 22, 40, 62] sans qu’aucune d’entre elles ne considère la prise en compte de perturbations, même bornées. Nous proposerons alors une méthode exprimée sous forme d’inégalités matricielles afin d’obtenir un retour d’état et un gain d’observateur (de type LTI, LPV ou en commutation) garantissant un degré de performance satisfaisant vis-à-vis de perturbations permanentes bornées présentes dans le processus.
Enfin, diverses méthodes conduisant à des ensembles invariants maximaux plus grands ont été proposées [16, 28, 53, 60, 61] qui se résument à introduire des degrés de liberté dans la boucle fermée. Nous considérons ici un paramètre de Youla qui introduit à la fois des degrés de liberté dans la boucle fermée et qui, si incorporé d’une manière particulière, améliore la robustesse de la boucle fermée vis-à-vis d’incertitudes ou de perturbations grâce à l’utilisation d’un régulateur à deux degrés de liberté (le suivi de trajectoire et le contrôle en boucle fermée sont ajustés séparément). Il en résultera une projection sur le sous-espace initial de l’ensemble invariant satisfaisant les contraintes plus grande (garantissant de cette manière une robustesse visiblement améliorée).
Des techniques LMI de placement de pôles dans une certaine région ou des méthodes basées sur la vitesse de décroissance de la fonction de Lyapunov seront employées pour atteindre un compromis entre la robustesse et la performance.
Outils théoriques
Incertitudes
Dans la pratique, tous les systèmes présentent un certain degré d’incertitude, par l’intermédiaire de perturbations ou par le biais de paramètres incertains [89]. Pour un système à temps discret, ces deux types d’incertitudes sont représentés de la façon suivante :
• Incertitude issue de perturbations (incertitude additive) :
x(k +1) = Ψx(k) +w(k), (2.1)
où w(k) est inconnu mais peut être borné. Dans la suite, le terme « perturbation » (ou « bruit ») sera employé pour cet type d’incertitudes.
• Incertitude paramétrique (incertitude multiplicative) :
x(k +1) = [Ψ+∆Ψ]x(k). (2.2)
Dans la suite, le terme « incertitude paramétrique » sera employé pour ce type d’incertitudes. Notons que les incertitudes de modèle (paramétriques) peuvent se représenter de façon équivalente par une perturbation appropriée.
Contraintes
Les limitations physiques, technologiques ou de sécurité, qui se modélisent par des contraintes d’amplitude sur les actionneurs et les capteurs, sont inhérentes à presque tout système physique or ne pas prendre en compte des contraintes sur la commande, comme par exemple des saturations lors de la synthèse de lois de commande, peut conduire le système dans un mode de fonctionnement non souhaité avec le risque de ne pas pouvoir revenir à son mode de fonctionnement normal. Par ailleurs, des limitations liées à la sécurité ou à la performance peuvent imposer un fonctionnement sujet à certaines contraintes au niveau de la sortie ou au niveau des variables internes du système .
Contraintes sur l’entrée
Une classe de contraintes couramment imposées tout au long de cette thèse sont les contraintes sur l’entrée considérées afin d’éviter la saturation.
• Contraintes sur la norme Euclidienne de la commande :
|| u(k) ||2≤ umax (2.3)
où u(k) ∈ Rm est la commande du système.
• Contraintes sur chaque élément du vecteur de la commande :
|ui(k) |≤ uimax, i = 1,m. (2.4)
Dans ce mémoire on va souvent prendre en compte de contraintes sur la commande.
Ensembles invariants
Depuis que la théorie de Lyapunov a été introduite dans le cadre des systèmes régis par des équations différentielles ordinaires, la notion d’ensemble invariant a été utilisée dans de nombreux problèmes concernant l’analyse et le contrôle des systèmes dynamiques. Une motivation importante ayant conduit à introduire les ensembles invariants a été le besoin d’analyser l’influence des incertitudes sur le système [9]. Pour commencer nous allons définir la classe des systèmes considérés dans la suite de cette thèse et la notion d’ensemble invariant avec les variantes proposées par [9].
Nous considérons, des systèmes dynamiques à temps discret, invariants, incertains, de la forme :
x(k +1) = f(x(k),u(k),w(k)),
y(k) = g(x(k)),
où x(k) ∈ Rnx est l’état du système, u(k) ∈ Rm est la commande du système, y(k) ∈ Rp , est la sortie du système, w(k) ∈ W ⊂ R nw est une entrée externe et W est un ensemble compact. On suppose que le système admet une solution x(k) unique, définie sur R+ pour tout x(0) ∈ Rnx , w et u [9].
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Table des matières
1 Introduction
1.1 Contexte du problème. Motivations de la thèse
1.2 Objectifs de la thèse .
1.3 Organisation de la thèse
2 Outils théoriques
2.1 Incertitudes
2.2 Contraintes
2.2.1 Contraintes sur l’entrée
2.2.2 Contraintes sur la sortie
2.2.3 Contraintes sur l’état
2.3 Fonction de Lyapunov
2.4 Ensembles invariants
2.4.1 Théorème de Nagumo
2.4.2 Ensemble invariant minimal et maximal
2.4.3 Approximation des ensembles invariants. Ellipsoïdes
2.4.3.1 Ellipsoïde invariant maximal et minimal
2.4.3.2 Intersection ellipsoïdale. Projection ellipsoïdale
2.5 Input to state stability (ISS-stabilité entrée-état) vis-à-vis d’une perturbation bornée
2.6 Le paramètre de Youla-Kucera
2.7 Inégalité matricielle linéaire (LMI)
2.7.1 Inégalité matricielle bilinéaire (BMI)
2.7.2 Inégalité matricielle polynomiale (PMI)
2.8 La S-procédure
3 Outils ensemblistes pour l’analyse de la stabilité et de la robustesse
3.1 Systèmes LTI discrets sous contraintes et affectés par des perturbations bornées
3.1.1 Système linéaire à temps invariant
3.1.1.1 ISS vis-à-vis d’une perturbation bornée
3.1.1.2 Ellipsoïde invariant minimal
3.1.1.3 Ellipsoïde invariant maximal
3.1.2 Système LTI et observateur
3.1.2.1 ISS vis-à-vis d’une perturbation bornée
3.1.2.2 Intersection ellipsoïdale minimale
3.1.2.3 Projection ellipsoïdale maximale
3.1.3 Système LTI avec observateur et paramètre de Youla
3.1.3.1 ISS vis-à-vis d’une perturbation bornée
3.1.3.2 Motivation pour introduire la paramétrisation de Youla
3.1.3.3 Intersection ellipsoïdale minimale
3.1.3.4 Projection ellipsoïdale maximale
3.1.4 Mise en oeuvre en simulation
3.1.5 Conclusion
3.2 Systèmes LPV à temps discret, sous contraintes et affectés par une perturbation bornée
3.2.1 Systèmes LPV à temps discret
3.2.1.1 ISS vis-à-vis d’une perturbation bornée
3.2.1.2 Motivation pour l’introduction des matrices supplémentaires
3.2.1.3 Ellipsoïde minimal
3.2.1.4 Ellipsoïde maximal
3.2.2 Système LPV avec observateur
3.2.2.1 ISS vis-à-vis d’une perturbation bornée
3.2.2.2 Intersection ellipsoïdale minimale
3.2.2.3 Projection ellipsoïdale maximale
3.2.3 Systèmes LPV avec observateur et paramètre de Youla
3.2.3.1 ISS vis-à-vis d’une perturbation bornée
3.2.3.2 Intersection ellipsoïdale minimale
3.2.3.3 Projection ellipsoïdale maximale
3.2.4 Mise en oeuvre sur un exemple
3.2.5 Conclusion
3.3 Systèmes en commutation à temps discret, sous contraintes et affectés par une perturbation bornée
3.3.1 Systèmes en commutation à temps discret
3.3.1.1 ISS vis-à-vis d’une perturbation bornée
3.3.1.2 Ellipsoïde minimal
3.3.1.3 Ellipsoïde maximal
3.3.2 Systèmes en commutation et observateur
3.3.2.1 ISS vis-à-vis d’une perturbation bornée. Intersection ellipsoïdale minimale. Projection ellipsoïdale maximale
3.3.3 Système en commutation avec observateur et paramètre de Youla
3.3.3.1 ISS vis-à-vis d’une perturbation bornée. Intersection ellipsoïdale minimale. Projection ellipsoïdale maximale
3.3.4 Mise en oeuvre sur un exemple
3.3.5 Conclusion
3.4 Ellipsoïdes tronqués
3.4.1 Outils théoriques
3.4.2 Mise en oeuvre sur un exemple
3.4.3 Conclusion
3.5 Conclusions
4 Outils ensemblistes pour la synthèse d’une loi de commande robuste
4.1 Cas des systèmes linéaires invariants
4.1.1 Synthèse d’une loi de commande par retour d’état
4.1.1.1 Synthèse par retour d’état. Ellipsoïde minimal
4.1.1.2 Mise en oeuvre sur un exemple
4.1.2 Synthèse d’une loi de commande par retour d’état et observateur
4.1.2.1 Synthèse de la commande
4.1.2.2 Techniques de placement de pôles
4.1.2.3 Mise en oeuvre sur un exemple
4.1.3 La paramétrisation de Youla-Kucera
4.1.3.1 Synthèse d’un paramètre de Youla-Kucera
4.1.3.2 Compromis entre la robustesse et la performance
4.1.3.3 Mise en oeuvre en simulation
4.1.4 Conclusion
4.2 Systèmes LPV à temps discret
4.2.1 Synthèse d’une loi de commande par retour d’état
4.2.1.1 Mise en oeuvre sur un exemple
4.2.2 Synthèse d’une loi de commande par retour d’état et observateur
4.2.3 La paramétrisation de Youla-Kucera
4.2.3.1 Synthèse du paramètre de Youla-Kucera
4.2.3.2 Compromis entre la robustesse et la performance
4.2.4 Mise en oeuvre en simulation
4.2.5 Conclusion
4.3 Systèmes en commutation à temps discret
4.3.1 Synthèse d’une loi de commande par retour d’état
4.3.2 Synthèse d’une loi de commande par retour d’état et observateur
4.3.3 La paramétrisation de Youla-Kucera
4.3.3.1 Synthèse du paramètre de Youla-Kucera
4.3.3.2 Compromis entre la robustesse et la performance
4.3.4 Mise en oeuvre en simulation
4.3.5 Conclusion
4.4 Conclusions
5 Mise en oeuvre sur un convertisseur Buck DC-DC
6 Conclusion
