Soutenance mémoire
Contexte du problème. Motivations de la thèse
La littérature fournit de nombreux exemples de formulations de la commande robuste. Partant de cette constatation, les travaux proposés dans ce mémoire se sont orientés vers la commande robuste sous formalisme d’état, permettant d’avoir une vue d’ensemble intéressante sur les techniques ensemblistes sous une formulation LMI appliquées aux systèmes linéaires LTI, LPV, en commutation affectés par de perturbations bornées. Dans ce cadre, on envisage uniquement le cas des systèmes représentés par des modèles à temps discret.
De nombreux auteurs proposent la synthèse de lois de commande en ligne par des techniques ensemblistes pour des systèmes lents avec contraintes et avec une description polytopique [13, 61, 107] (c.à-d. la synthèse d’une loi de commande fournissant l’ensemble invariant maximal (ou minimal) en présence des contraintes et des perturbations). L’objectif est ici l’utilisation des techniques ensemblistes pour définir une méthodologie hors ligne de synthèse de lois de commande robustes ou de robustification de lois de commande existantes, vis-à-vis de perturbations bornées et en présence de contraintes, de façon à pouvoir piloter des systèmes rapides.
En présence de contraintes et de perturbations, on verra dans une première partie d’analyse que le volume de l’ensemble minimal ou maximal nous offre une mesure de la robustesse du système. En se basant sur cette information, l’approche abordée dans ce mémoire consiste à rechercher une loi de commande qui maximise (minimise) l’espace ellipsoïdal de l’état pour lequel les contraintes sont satisfaites malgré la présence de perturbations bornées. Si des perturbations permanentes agissent sur le système, on ne peut plus parler de stabilité asymptotique car l’état ne convergera pas vers l’origine mais vers un ensemble invariant. La notion de stabilité au sens entrée-état (ISS – input to state stability) est alors nécessaire pour désigner la convergence de l’état vers un ensemble invariant dans lequel il restera une fois entrée. Cet ensemble représente en fait l’ensemble invariant minimal et son volume dépend de l’amplitude de la perturbation.
Outils ensemblistes pour l’analyse de la stabilité et de la robustesse
L’étape d’analyse présentée dans ce troisième chapitre représente la base de nos travaux, les résultats proposés seront ensuite repris, étendus et appliqués lors des chapitres suivants.
Pour un système LTI, LPV ou en commutation à temps discret, ce chapitre énonce les conditions suffisantes garantissant l’ISS globale vis-à-vis d’une perturbation bornée. Comme le test de stabilité par rapport à une perturbation bornée est équivalent à un test d’invariance, les mêmes conditions de type LMI seront proposées afin de rechercher un ensemble ellipsoïdal invariant. En ajoutant des inégalités matricielles garantissant la satisfaction des contraintes et en considérant un critère d’optimisation adéquat, on recherche alors l’ensemble invariant ellipsoïdal maximal ou minimal satisfaisant des contraintes sur la commande malgré la présence de perturbations et pour toute transition. Cette démarche sera proposée tout d’abord pour un système avec retour d’état stabilisant et puis elle sera reprise pour les systèmes dont l’état est estimé au moyen d’un observateur ou dont une certaine robustesse est assurée par l’introduction d’un paramètre de Youla dans la boucle fermée. Dans le cas LPV et en commutation, nous serons amenés à considérer des fonctions de Lyapunov dépendantes du paramètre variant pour montrer l’ISS vis-à-vis d’une perturbation bornée.
Au travers d’exemples considérés à la fin de chaque section (moteur à induction, exemples didactiques) nous montrerons que la paramétrisation de Youla fournit des ellipsoïdes invariants ayant la projection ellipsoïdale maximale sur le sous-espace de l’état plus grande que celle obtenue pour les systèmes avec observateur seul. Le gain en robustesse se traduit par un gain en volume de l’ensemble ellipsoïdal maximal. Pour l’ensemble invariant minimal, dans le cas LTI le paramètre de Youla conduit à une intersection ellipsoïdale plus petite que celle obtenue pour le système avec observateur seul. Dans le cas LPV ou en commutation l’intersection de l’ensemble minimal n’est plus nécessairement plus petite avec le paramètre de Youla, dû aux propriétés d’invariance et à la présence des contraintes.
Outils ensemblistes pour la synthèse d’une loi de commande robuste
On propose pour commencer une technique de commande utilisant des méthodes ensemblistes afin de calculer un retour d’état stabilisant robuste qui fournit l’ensemble invariant maximal satisfaisant les contraintes sur la commande (et la sortie) malgré la présence de perturbations bornées. Pour les systèmes de type LPV ou en commutation, le retour d’état est également de type LPV ou en commutation, respectivement. Dans ces deux cas, la recherche de l’ellipsoïde invariant maximal impose l’utilisation d’une fonction de Lyapunov unique mais des matrices supplémentaires seront malgré tout introduites afin d’offrir plus de degrés de liberté lorsque les inégalités matricielles sont établies et de réduire le conservatisme.
Dans la pratique, tout l’état du système n’étant généralement pas mesurable, il est nécessaire d’utiliser un observateur en vue d’en estimer l’état. Pour les systèmes décrits ci-dessus, nous recherchons alors le retour d’état et l’observateur garantissant l’ISS vis-à-vis de perturbations bornées en imposant des contraintes sur la performance en boucle fermée. L’obtention des inégalités matricielles a été possible grâce à une augmentation de la taille du vecteur de bruit qui a permis de considérer que le système et l’observateur peuvent être affectés tous les deux par de perturbations a priori différentes.
Pour les systèmes LTI, la performance est réglée en imposant le placement de pôles de la boucle fermée dans une région de l’espace plus petite que le cercle unité. Pour le système LPV affecté par de perturbations bornées, on recherche les retours d’état et les gains d’observateur garantissant la décroissance la plus rapide pour la fonction de Lyapounov dépendante du paramètre variant, vis-à-vis de la commande et de la sortie. Dans ce cas, il est impossible de considérer la technique basée sur le placement des pôles car le placement de pôles des matrices d’état correspondant aux sommets dans la région de l’espace souhaitée n’implique pas que, pour les matrices d’état correspondant à une variation du paramètre intermédiaire (différente des sommets), ce placement de pôles sera encore satisfait. Pour le système en commutation, on impose comme critère de performance pour chaque mode le placement de pôles dans une région plus restreinte que le cercle unité. Pour ces deux derniers cas des fonctions de Lyapunov dépendantes du paramètre variant ont pu être considérées via l’introduction de matrices supplémentaires introduisant des degrés de liberté et réduisant le conservatisme. Dans tous ces cas, la construction des inégalités matricielles ne permet pas de considérer des contraintes sur la commande, d’où notre désir de synthétiser une loi de commande par retour d’état et observateur garantissant une bonne performance en boucle fermée qui sera ensuite robustifiée via la paramétrisation de Youla en ajoutant des contraintes sur la commande. La synthèse d’une loi de commande par retour d’état et observateur prenant en compte la présence des perturbations et satisfaisant des contraintes de performance représente une des nouveautés introduites par ce mémoire.
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Table des matières
Avant-propos
Liste de Figures
Acronymes
Symboles
1 Introduction
1.1 Contexte du problème. Motivations de la thèse
1.2 Objectifs de la thèse
1.3 Organisation de la thèse
2 Outils théoriques
2.1 Incertitudes
2.2 Contraintes
2.2.1 Contraintes sur l’entrée
2.2.2 Contraintes sur la sortie
2.2.3 Contraintes sur l’état
2.3 Fonction de Lyapunov
2.4 Ensembles invariants
2.4.1 Théorème de Nagumo
2.4.2 Ensemble invariant minimal et maximal
2.4.3 Approximation des ensembles invariants. Ellipsoïdes
2.4.3.1 Ellipsoïde invariant maximal et minimal
2.4.3.2 Intersection ellipsoïdale. Projection ellipsoïdale
2.5 Input to state stability (ISS-stabilité entrée-état) vis-à-vis d’une perturbation bornée
2.6 Le paramètre de Youla-Kucera
2.7 Inégalité matricielle linéaire (LMI)
2.7.1 Inégalité matricielle bilinéaire (BMI)
2.7.2 Inégalité matricielle polynomiale (PMI)
2.8 La S-procédure
3 Outils ensemblistes pour l’analyse de la stabilité et de la robustesse
3.1 Systèmes LTI discrets sous contraintes et affectés par des perturbations bornées
3.1.1 Système linéaire à temps invariant
3.1.1.1 ISS vis-à-vis d’une perturbation bornée
3.1.1.2 Ellipsoïde invariant minimal
3.1.1.3 Ellipsoïde invariant maximal
3.1.2 Système LTI et observateur
3.1.2.1 ISS vis-à-vis d’une perturbation bornée
3.1.2.2 Intersection ellipsoïdale minimale
3.1.2.3 Projection ellipsoïdale maximale
3.1.3 Système LTI avec observateur et paramètre de Youla
3.1.3.1 ISS vis-à-vis d’une perturbation bornée
3.1.3.2 Motivation pour introduire la paramétrisation de Youla
3.1.3.3 Intersection ellipsoïdale minimale
3.1.3.4 Projection ellipsoïdale maximale
3.1.4 Mise en oeuvre en simulation
3.1.5 Conclusion
3.2 Systèmes LPV à temps discret, sous contraintes et affectés par une perturbation bornée
3.2.1 Systèmes LPV à temps discret
3.2.1.1 ISS vis-à-vis d’une perturbation bornée
3.2.1.2 Motivation pour l’introduction des matrices supplémentaires
3.2.1.3 Ellipsoïde minimal
3.2.1.4 Ellipsoïde maximal
3.2.2 Système LPV avec observateur
3.2.2.1 ISS vis-à-vis d’une perturbation bornée
3.2.2.2 Intersection ellipsoïdale minimale
3.2.2.3 Projection ellipsoïdale maximale
3.2.3 Systèmes LPV avec observateur et paramètre de Youla
3.2.3.1 ISS vis-à-vis d’une perturbation bornée
3.2.3.2 Intersection ellipsoïdale minimale
3.2.3.3 Projection ellipsoïdale maximale
3.2.4 Mise en oeuvre sur un exemple
3.2.5 Conclusion
3.3 Systèmes en commutation à temps discret, sous contraintes et affectés par une perturbation bornée
3.3.1 Systèmes en commutation à temps discret
3.3.1.1 ISS vis-à-vis d’une perturbation bornée
3.3.1.2 Ellipsoïde minimal
3.3.1.3 Ellipsoïde maximal
3.3.2 Systèmes en commutation et observateur
3.3.2.1 ISS vis-à-vis d’une perturbation bornée. Intersection ellipsoïdale minimale. Projection ellipsoïdale maximale
3.3.3 Système en commutation avec observateur et paramètre de Youla
3.3.3.1 ISS vis-à-vis d’une perturbation bornée. Intersection ellipsoïdale minimale. Projection ellipsoïdale maximale
3.3.4 Mise en oeuvre sur un exemple
3.3.5 Conclusion
3.4 Ellipsoïdes tronqués
3.4.1 Outils théoriques
3.4.2 Mise en oeuvre sur un exemple
3.4.3 Conclusion
3.5 Conclusions
4 Conclusion
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