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Principes de base de l’optique non linéaire
L’interaction entre la lumière et la matière se manifeste par des phénomènes optiques perceptibles dans notre vie quotidienne. Le domaine de l’optique linéaire regroupe les interactions ordinaires comme la réfraction, la réflexion et la diffusion où l’intensité lumineuse transmise est proportionnelle à celle incidente. Tandis que l’intensité lumineuse transmise dans le domaine de l’optique non linéaire ne suit pas la même loi précédente du fait que les propriétés optiques varient en fonction de l’intensité de l’onde incidente de façon carré ou cubique. L’exemple le plus répondu est les sources lasers.
Origine de la non linéarité optique
Pour décrire clairement l’origine de la non linéarité optique, nous allons considérer un matériau diélectrique parfait excité par un champ électrique, donc les charges positives du matériau diélectrique sont transportées dans la direction du champ par contre les charges négatives sont transportées dans la direction opposée générant ainsi des dipôles induits. De ce fait, le matériau diélectrique devient polarisé de façon uniforme. Il est possible d’envisager pour les hautes fréquences et selon l’approximation de Born-Oppenheimer que seuls les électrons sont entraînés par un mouvement en raison de la grande masse du noyau. De même par action d’une onde électromagnétique de faible intensité, le dipôle induit oscille autour de sa position d’équilibre à la même fréquence que celle du champ électrique de l’onde. L’effet du champ magnétique de l’onde électromagnétique est beaucoup plus faible et peut être négligé.
Polarisation non linéaire
Lorsqu’un milieu diélectrique est excité par un champ électromagnétique incident, ce dernier provoque un déplacement des charges et donc crée une polarisation dans le matériau. Pour le cas de faibles amplitudes, la réponse induite est proportionnelle au champ incident qui est donc linéaire d’où une polarisation induite dans le matériau avec une même fréquence et une amplitude proportionnelle au champ externe . Par contre pour des amplitudes élevées du champ électrique, la réponse induite n’est plus proportionnelle au champ incident et la réponse du milieu est donc une fonction non linéaire.
Auto focalisation
L’auto focalisation du faisceau est considérée comme étant une autre conséquence de l’effet Kerr optique, elle est due à la variation de l’indice de réfraction en fonction de la variation de l’intensité spatiale [15]. La dépendance de l’indice de réfraction effectif n en fonction de la variation de l’intensité I(t,z) est la cause d’une part aux perturbations spectrales qui sont l’origine de l’auto-modulation de phase et d’autre part aux perturbations spatiales qui sont la cause de l’auto-focalisation de l’onde. Dans un matériau d’indice non linéaire positif, si une onde présente une distribution d’intensité transverse non uniforme, ce milieu agit comme une lentille convergente appelée lentille de Kerr . Lorsque l’intensité est très importante ou bien le milieu non linéaire est long, le faisceau se focalise dans le matériau en un point appelé d’effondrement, qui présente une source de dommages . Nous soulignons que l’auto focalisation de l’onde est à l’origine de l’autoguidage des impulsions par filamentation [15], et qu’elle intervient toujours si la puissance de l’impulsion est supérieure à une certaine valeur, appelée puissance critique (Pcr) indépendante du diamètre du faisceau.
Diffusion stimulée
Les effets non linéaires élastiques cités précédemment sont dans le sens où il n’y a pas d’échange d’énergie entre le champ électrique et le milieu diélectrique. Dans ce qui suit, nous considérons le cas où le champ optique transfère une partie de son énergie vers le milieu non linéaire, donc les effets sont inélastiques en référence à la non-conservation de la quantité de mouvement en mécanique. Ces effets font intervenir la partie imaginaire de la susceptibilité non linéaire d’ordre 3. Les diffusions Raman et Brillouin stimulées sont parmi ces effets qui interviennent essentiellement dans les systèmes de communication à fibres optiques. Ces diffusions correspondent à l’excitation résonnante, par l’application d’un champ optique intense, de niveaux de vibrations moléculaires de milieu de propagation (la silice): pour la diffusion Raman (les phonons optiques) et pour la diffusion Brillouin (les phonons acoustiques).
Equation de Korteweg-de Vries (KdV)
La modélisation mathématique des effets non linéaires a permis de mettre en évidence un nouveau type d’onde appelé » soliton ». Ce concept a été découvrit en 1834 par l’ingénieur Ecossais John Scott Russell et surgi actuellement dans de nombreux domaines de la physique comme par exemple la mécanique des fluides, l’optique non linéaire, la physique des plasmas, l’astrophysique, etc. Parmi les propriétés intéressantes des solitons c’est qu’ils interagissent entre eux sans modifier leur forme ni leur vitesse. L’explication de ce phénomène ne peut se faire qu’en faisant appel au concept de non linéarité. A cet objectif, deux mathématiciens hollandais Korteweg et de Vries (KdV) ont établi, en 1895, un modèle d’équation d’onde hydrodynamique non linéaire connue sous le nom d’équation KdV.
Découverte du soliton
L’observation du soliton pour la première fois a été faite en 1834 par l’ingénieur Ecossais John Scott Russell (1808-1882). Russell a dit «J‘observais le mouvement d’un bateau qui était tiré rapidement le long d’un canal étroit par une paire de chevaux quand, soudain, le bateau s’arrêta. Mais il n’en fut pas de même pour la masse d’eau qu‘il avait mise en mouvement dans le canal. Elle s’accumula autour de la proue du bateau dans un état de violente agitation; puis, soudainement, l’abandonna, roula vers l’avant à grande vitesse, prenant la forme d’une grande élévation solitaire, d’un paquet d‘eau rond, à la forme douce et bien définie, qui continua sa course dans le canal, apparemment sans changement de forme ou diminution de vitesse. Je la suivis à cheval et la dépassais alors qu’elle roulait encore à la vitesse de 8 où 9 miles à l‘heure, préservant, sa forme originale de 30 pieds de long et d’un pied et demi en hauteur. La hauteur diminua peu à peu, et après une poursuite d‘un ou deux miles, je la perdais dans les méandres du canal. Tel fut, dans le mois d’août 1834, était ma première rencontre avec ce phénomène magnifique et singulier que je l’ai appelé onde de translation» [1].
L’interprétation théorique de cette observation, cependant, a dû attendre jusqu’en 1895 avec les travaux de Korteweg et de Vries qui ont proposé une équation qui porte maintenant leurs noms ʺéquation KdVʺ. Cette équation était néanmoins implicitement présentée dans les travaux de Joseph Boussinesq (1842-1929) publiés en 1872 [1-3]. L’étude de J. S. Russell a permet de comprendre les idées de base du concept de soliton.
Ce rapport a été malheureusement très mal reçu par deux personnalités qui ont ruiné ses espoirs. Le premier est le célèbre astronome Sir G. B. Airy (1801-1892) [1] qui a vivement critiqué le travail dans un document sur les marées et les vagues libérés en 1845. Son principal argument était que la formule obtenue pour la vitesse de l’onde solitaire contredit sa propre théorie des ondes dans l’eau peu profonde. Le deuxième est G. G. Stokes (1819-1903), l’un des pères de la mécanique des fluides, bien qu’ayant étudié les travaux de J. S. Russell avec plus de précautions, il a abouti à la conclusion qu’une onde solitaire ne pouvait pas exister dans les liquides en l’absence de viscosité. Ceci signa l’arrêt des recherches de J. S. Russell. Personne ne savait à l’époque que l’autre classe de solitons, c-à-d les solitons optiques, serait considéré pour les télécommunications transatlantiques de 21 siècle! Le savant français Joseph Boussinesq Valentine (1842-1929) [1] a offert une nouvelle description des ondes en eau peu profonde, admettant des solutions similaires à celui qu’il a été découvert par J. S. Russell. Lord Rayleigh (1842-1919) qui est un ancien étudiant de G. G. Stokes, a confirmé ces résultats en 1876, et par la suite en 1885 Adhémar Jean-Claude Barré de Saint Venant a établi une théorie mathématique correcte de ces phénomènes, et donc démontré l’erreur de Sir G. B. Airy et G. G. Stokes .
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Table des matières
Introduction générale
Références
CHAPITRE I Principes de base de l’optique non linéaire
I.1. Introduction
I.2. Origine de la non linéarite optique
I.3. Polarisation non linéaire
I.4. Equation de propagation non linéaire
I.5. Effets non linéaires
I.5.1. Effets non linéaires de second ordre
I.5.1.1. Génération de la seconde harmonique
I.5.1.2. Somme de fréquences
I.5.1.3. Mélange paramétrique
I.5.1.4. Effet pockels
I.5.2. Effets non linéaires du troisième ordre
I.5.2.1. Effet Kerr optique
I.5.2.1.1. Auto-modulation de phase SPM
I.5.2.1.2. Modulation de phase croisée XPM
I.5.2.1.3. Mélange à quatre ondes
I.5.2.1.4. Auto focalisation
I.5.2.2. Diffusion stimulée
I.5.2.2.1. Diffusion Raman stimulée SRS
I.5.2.2.2. Diffusion Brillouin stimulée SBS
I.6. Conclusion
Références
CHAPITRE II Equation de Korteweg-de Vries (KdV)
II.1. Introduction
II.2. Découverte du soliton
II.3. Définition d’un soliton
II.4. Différents types des solitons
II.4.1. Solitons spatiaux
II.4.2. Solitons temporels
II.4.3. Solitons spatio-temporels (balles de lumière)
II.5. Equation de Korteweg-de Vries et soliton
II.6. Dérivation de l’équation KdV
II.7. Solutions de l’équation KdV
II.7.1. Solutions à profile constant
II.7.2. Solution soliton
II.7.3. Solution cnoïdale
II.8. Lois de conservation de l’équation KdV
II.8.1. Hamiltonien
II.9. Différentes formes de l’équation KdV
II.10. Propagation d’un soliton KdV
II.10.1. Régime purement non linéaire
II.10.2. Régime purement dispersif
II.10.3. Compromis: dispersion-non linéarité
II.11. Interaction des solitons KdV
II.12. Équations KdV d’ordre superieur
II.12.1. Équations KdV d’ordre cinq
II.12.2. Équations KdV d’ordre sept
II.13. Conclusion
Références
CHAPITRE III Techniques de résolution des modèles KdV
III.1. Introduction
III.2. Méthodes de résolution numérique des modeles KdV
III.2.1. Méthode de la transformée de fourier à pas divisé
III.2.2. Méthode de Runge-kutta d’ordre quatre
III.3. Méthodes de résolution analytiques des modeles KdV
III.3.1. Méthode (G’/G) étendue
III.3.2. Méthode de l’équation auxiliaire
III.4. Conclusion
Références
CHAPITRE VI Dynamique de propagation non linéaire des solitons modélisés par les équations KdV et Gardner à coefficients variables
VI.1. Introduction
VI.2. Equations pour soliton
VI.2.1. Milieux homogènes : Équations KdV à coefficients constants
VI.2.2. Milieux inhomogènes : Équations KdV à coefficients variables
VI.3. Impact de la variation temporelle des paramètres sur la dynamique de propagation de l’onde solitaire
VI.3.1. Impact des pertes
VI.3.2. Impact de la non linéarité
VI.4. Equations de Gardner à coefficients variables
VI.4.1. Application de la méthode de l’équation auxiliaire
VI.4.2. Application de la méthode (G’/G) étendue
VI.5. Conclusion
Références
Conclusion générale
