Organisation mathématique de référence relative aux équations du premier degré 

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Autres cadres théoriques : complémentarité et articulation avec la TAD

La Théorie des Situations Didactiques pour décrire et analyser des dynamiques à un niveau plus local dans les interactions entre l’élève, le savoir et l’enseignant.
La TAD pose la question des types de tâches à proposer aux élèves pour faire évoluer leur rapport personnel à un objet de savoir vers un rapport idoine (autrement dit, pour qu’ils apprennent). Bien qu’elle mette à notre disposition les moments de l’étude pour décrire l’organisation didactique à travers laquelle ces types de tâches seront travaillés, nous pensons que certains outils de la Théorie des Situations Di-dactiques de Brousseau (abrégée TSD), présentés ci-après, permettent de rendre davantage compte des « dynamiques » qui peuvent surgir au sein d’une séance lorsqu’un élève est confronté à l’étude d’un type de tâches, notamment pour la première fois : comment l’enseignant présente-t-il ce type de tâches à l’élève (dévolution) ? Par quelles « étapes » peut-il passer pour amener ce dernier à élaborer une technique nouvelle ?
Par ailleurs, même si la TAD nous fournit quelques outils pour aborder la question de l’autonomie inhérente à l’étude personnelle, elle ne précise pas les différentes formes que cette autonomie peut prendre, en lien avec ce qui a été fait ou non sous la direction de l’enseignant. La TSD propose avec le modèle de structuration des milieux ((Margolinas, 2002) ; (Castela, 2007a)) une manière de préciser des niveaux d’autonomie de l’élève dans son étude personnelle, en fonction des gestes d’étude qu’il a à sa charge d’accomplir et ceux qui ont été explicitement travaillés avec ou demandés par l’enseignant.
Dans toutes les sous-sections ci-dessous relatives à la TSD, nous faisons référence à la conférence donnée par Brousseau à Montréal 5.
Situation fondamentale : un outil pour tenter de provoquer de manière optimale les apprentissages
La notion de situation est au cœur de la TSD :
Une situation est l’ensemble des circonstances dans lesquelles une personne se trouve, et des relations qui l’unissent à son milieu. » (p.2)
Une situation comprend l’environnement de l’élève, et cet environnement est conçu et manipulé comme un outil par l’enseignant. Une situation s’apparente à un jeu dans lequel l’élève joue des coups et cherche à déterminer une stratégie gagnante. Un enseignant met en œuvre une situation afin de faire construire à l’élève une connaissance 6 ; l’élève n’est généralement pas au courant de cette intention didactique de la part de l’enseignant. Une situation concentrant avec la plus grande économie possible les processus « fondamentaux » pour faire acquérir à l’élève une nouvelle connaissance (au sens de Brousseau) est une situation fondamentale. Dans le cadre de notre thèse, la conception de situations fondamentales nous sert à provoquer les apprentissages 7 relatifs aux équations.
Des milieux riches pour favoriser les rétroactions, les moyens de contrôle et habituer l’élève à une forme d’autonomie
Le milieu désigne ce avec quoi l’élève interagit. Il comporte des éléments matériels et symboliques, mais ne comprend ni l’enseignant, ni les éventuels autres élèves, ni les connaissances (au sens de Brousseau) de l’élève. Le milieu offre à l’élève des rétroactions, ou feed-backs : quand l’élève agit sur le milieu, ce dernier renvoie à l’élève des informations (les rétroactions) qui influencent son action. Les différentes actions de l’élève sur le milieu peuvent le conduire à un apprentissage .

Retour sur le contexte de la recherche

La présentation des principaux cadres et outils théoriques sur lesquels nous nous appuierons par la suite nous permettent désormais de situer plus précisément notre travail de thèse par rapport à différents travaux et projets déjà évoqués dans le chapitre un.

Les travaux de Grugeon (1997)

Les travaux de Grugeon (Grugeon, 1997) sont à l’origine des différents travaux et projets que nous allons présenter.
Partant d’un problème de recherche portant sur les raisons de l’échec d’élèves de lycée professionnel dans leur transition en lycée d’enseignement général en algèbre, Grugeon (1997) a émis l’hypothèse que cet échec était issu de décalages entre les différentes institutions. Elle a alors construit ce qu’elle appelle une grille d’analyse multidimensionnelle de la compétence algébrique, indépendante des institutions. En référence à la théorie anthropologique du didactique (Chevallard, 1998), cette grille sert à mettre en relation les rapports personnels des élèves aux objets de savoir en algèbre avec les rapports institutionnels, et à identifier à la fois leurs difficultés mais également des leviers potentiels sur lesquels agir pour favoriser les apprentissages. Grugeon définit la compétence algébrique suivant deux dimensions (Douady, 1986) : la dimension outil (utiliser l’algèbre pour prouver, généraliser, résoudre des pro-blèmes de modélisation) et la dimension objet (l’algèbre comprend plusieurs objets comme les expressions, les équations, les fonctions, qui ont des propriétés propres). De plus, elle prend en compte le fait que le passage entre l’arithmétique et l’al-gèbre nécessite des ruptures épistémologiques (Vergnaud, 1989), et que la capacité utiliser l’algèbre efficacement implique une habilité à articuler syntaxe, séman-tique, conceptions procédurale et structurale (Sfard, 1991), technique et sémiotique (Duval, 1993).
L’analyse de cette compétence algébrique est structurée selon six composantes, qui sont (i) le traitement algébrique, (ii) le rapport arithmétique/algèbre, (iii) la gestion dans le registre des écritures algébriques, (iv) l’articulation entre registre des écritures algébriques et les autres registres, (v) la fonction de l’algèbre et (vi) la rationalité algébrique. À chaque composante sont associés plusieurs critères : par exemple, la composante rapport arithmétique/algèbre possède quatre critères qui sont la démarche utilisée, le statut du signe =, le statut des lettres et le statut des objets, chaque critère possédant une valeur. Cette grille a permis de réaliser des analyses fines des réponses des élèves à un test diagnostic en codant leurs réponses pour établir leur profil cognitif en algèbre, profil cognitif qui est déterminé à partir de trois descripteurs : un descripteur quantitatif exprimé en termes de taux de réussite et de traitements algébriques maîtrisés, un descripteur qualitatif mettant en avant des cohérences de fonctionnement selon l’usage des objets, le calcul algébrique, la traduction, le type de justification, et un descripteur de l’articulation entre registres et cadres. Nous renvoyons le lecteur à (Grugeon, 1997) pour une présentation plus complète et détaillée de ses travaux.
Malgré son efficacité pour, entre autres, analyser les manuels, les programmes et pointer les décalages entre institutions, la complexité et la lourdeur de ce modèle le rendent difficilement utilisable tel quel dans les classes et par les enseignants au quotidien. C’est pourquoi la création de logiciels automatiques pour permettre une utilisation pratique de cet outil a été envisagée.

Les projets Pépite, Lingot, PépiMep et NeoPraeval et les travaux de Pilet

Présentation et historique
Notre travail de thèse s’inscrit dans la continuité de plusieurs projets de re-cherche, dont nous faisons ici un bref historique.
Après la thèse de Grugeon en 1995, les projets Pépite et Lingot se développent de 1996 à 2008 (voir Jean (Jean, 2000), Delozanne, Prévit, Grugeon & Chenevo-tot (Delozanne et al., 2008), (Delozanne et al., 2010), Grugeon (Grugeon, 2009), Chenevotot & Grugeon (Chenevotot & Grugeon, 2009), Darwesh (Darwesh, 2010)). Ces projets ont pour objectifs de concevoir des Environnements Informatiques pour l’Apprentissage Humain et de réguler les apprentissages des élèves en algèbre de manière différenciée. C’est au sein de ses projets que le test baptisé Pépite naît et que plusieurs versions de ce test se succèdent. Pépite est un test diagnostique, in-formatisé et automatisé, que des élèves peuvent passer sur ordinateur et à l’issue duquel un « profil cognitif » en algèbre est déterminé. Le fonctionnement du test, que nous détaillons au chapitre neuf, s’appuie sur les travaux de Grugeon (1997), notamment sur la grille d’analyse multidimensionnelle précédemment mentionnée.
De 2009 à 2012 prend place le projet PepiMep. Il s’agit d’un projet pluridiscipli-naire rassemblant des chercheurs en didactique des mathématiques, des chercheurs en informatique et des membres d’une association enseignante de ressources ma-thématiques en ligne, Sesamath 8. La conception et le développement de ressources mathématiques à partir de résultats de recherche ont été au cœur de ce projet.
De 2009 à 2012, Pilet (2012) travaille au sein du projet PepiMep. Sa thèse porte sur la conception de parcours d’enseignement différenciés sur les expressions algé-briques en classes de troisième et de seconde générale. Pilet s’interroge sur les besoins d’apprentissage des élèves relatifs aux expressions algébriques en fin de collège. Elle élabore une OM de référence épistémologique relative aux expressions, traque les enjeux d’apprentissages non explicitement pris en charge par les programmes et les manuels, et conçoit ses parcours dont la différenciation s’appuie sur le test Pépite.
Enfin, le projet NeoPraeval 9 débuté en 2014 et étalé sur une durée de trois ans, dans lequel notre travail de thèse s’insère pleinement, vise en particulier à outiller les enseignants dans le but de gérer l’hétérogénéité des apprentissages par le dévelop-pement et la mise à disposition, sur une plateforme en ligne largement utilisée par les enseignants (WIMS), de dispositifs d’évaluations diagnostiques, automatiques, utilisables dans les classes (test Pépite), ainsi que des ressources adaptées à des besoins identifiés des élèves. Ces dispositifs se veulent dotés d’une meilleure portée diagnostique que ceux déjà existants et ne fournissent que des indicateurs généraux sur des connaissances, des compétences ou de la culture mathématique à l’échelle nationale ou internationale (PISA, évaluations de la DEPP, du MEN, etc.).
Au-delà de leur conception, ces dispositifs sont testés dans des classes réelles afin d’assurer leur viabilité auprès des élèves et des enseignants. Cette viabilité s’appuie sur des travaux de recherche déjà engagés, en particulier sur les résultats autour de l’évaluation diagnostique automatique Pépite présenté précédemment et sur les pratiques enseignantes (Robert et Rogalski 2002, Roditi 2011).
Il s’agit d’un projet articulant plusieurs domaines de recherche (évaluation, di-dactique des mathématiques, psychologie cognitive, informatique, édumétrie), impli-quant un public diversifié (enseignants, élèves, formateurs, chercheurs), et portant sur l’arithmétique en fin de cycle 3 au primaire et sur l’algèbre élémentaire en collège.
Les retombées pour la recherche, pour l’enseignement et la formation des ensei-gnants se veulent être des enjeux majeurs du projet : publication d’articles scienti-fiques, engagement des enseignants dans de nouvelles pratiques d’évaluation, exploi-tation des résultats, contribution aux formations, etc.
Le projet s’organise autour de trois grandes tâches (voir figure 2.4 ci-après) : le développement d’une expertise pour étudier la validité des outils d’évalua-tion et concevoir des dispositifs d’évaluation .

Méthodologie générale de la thèse

Dans les paragraphes précédents, nous avons progressivement reformulé nos in-terrogations naïves du chapitre un en questions de recherche à l’aide de cadres et d’outils théoriques que nous avons motivés et explicités. Ce faisant, nous avons donné des premiers éléments méthodologiques pour répondre à ces questions de recherche. Nous complétons ces éléments en exposant ici la méthodologie générale.
Nous avons montré que la question de l’étude personnelle soulevait un certain nombre de points problématiques. Entre autres, quelle définition en donner ? Comment l’organiser et l’articuler avec l’étude en classe pour que se construisent les apprentissages ? Nous cherchons des éléments de réponse à ces questions en passant en revue plusieurs travaux de recherche en didactique des sciences sur le sujet, mais également en sciences de l’éducation (chapitre trois). Ceci nous permet de repérer des obstacles et des leviers dans l’organisation de l’étude personnelle et de préciser des outils théoriques pour modéliser et analyser cette étude.
Nous réalisons ensuite (chapitre quatre) une première étude exploratoire auprès de collégiens en train d’accomplir leur étude personnelle, pour recueillir des données et comparer nos observations avec les résultats de recherche obtenus dans les travaux étudiés au chapitre trois. Cette phase d’observation, dans laquelle nous ne sommes pas activement intervenu du point de vue enseignement, nous sert également de té-moin. En effet, dans le chapitre dix, nous comparerons les gestes d’étude personnelle de quelques collégiens observés dans cette première expérimentation avec ceux qu’ils accomplissent à l’issue d’une seconde expérimentation, pour y repérer une évolution.
Deux points problématiques sont soulevés à l’issue du chapitre quatre. Le premier est le manque de prise en compte de notre part des pratiques de l’enseignant et de leur impact sur les gestes d’étude des élèves. Le second est le manque de prise en compte des spécificités des contenus mathématiques étudiés et là encore de leur influence sur la manière dont les élèves accomplissent leur étude personnelle.
Compte tenu des limites rencontrées, nous proposons une modélisation de l’étude personnelle (chapitre cinq). Ce modèle théorique est un résultat majeur de notre travail de thèse. Grâce à lui, nous sommes à même de mettre en relation les gestes d’aide à l’étude des enseignants et les gestes d’étude de leurs élèves en fonction des organisations mathématiques travaillées.
Pour prendre en compte les spécificités de ces OM, nous élaborons une référence épistémologique relative aux équations (chapitre six). Nous déterminons les prin-cipaux éléments épistémologiques relatifs aux équations en réalisant une synthèse de travaux de référence en recherche en didactique sur le sujet. Nous apportons également des compléments en adoptant des points de vue logique et historique.
La référence établie nous sert de point d’appui pour obtenir un autre résultat majeur de notre thèse : la construction d’une OM régionale de référence épistémo-logique relative aux équations (chapitre sept). Cette OM nous sert dans un premier temps à compléter les outils théoriques développés dans le chapitre cinq (prise en compte des spécificités des OM relatives aux équations dans l’accomplissement des gestes d’aide à l’étude et des gestes d’étude sur ce thème).
Ensuite, parce que nous l’avons rendue opérationnelle pour cela, l’OM de référence nous permet d’analyser les OM à enseigner dans les programmes et les manuels afin de traquer les besoins d’apprentissages non explicitement organisés par l’insti-tution et pourtant nécessaires à la construction d’un rapport personnel idoine aux équations d’après la référence épistémologique (chapitre huit).
Nous concevons un Parcours d’Etude et de Recherche (PER) sur les équations (chapitre neuf). C’est encore l’OM de référence épistémologique qui fonde ce PER, ainsi que les résultats obtenus aux chapitres quatre et huit : compte tenu des impli-cites autour de l’organisation de l’étude personnelle et des besoins d’apprentissages peu ou non pris en compte par les programmes et les manuels, nous proposons des situations didactiques et des ensembles de types de tâches, ainsi qu’une organisation didactique pour les mettre en œuvre.
Ce PER a été testé dans une classe de collège. Nous exposons l’analyse a pos-teriori de cette expérimentation dans le chapitre dix. Nous y décrivons la mise en scène du PER par l’enseignant, les adaptations que ce dernier a apportées au PER, et nous analysons les effets sur les apprentissages des élèves et la manière dont ils organisent leur étude personnelle.
La présentation de la méthodologie générale explique la structure du plan de thèse présentée en introduction.

Mise en relation de gestes (ou d’absence de gestes) d’aide à l’étude des enseignants avec les gestes d’étude hors la classe de leurs élèves

Dans cette section, nous mettons en relation certains gestes d’étude observés chez les élèves hors la classe durant leur étude personnelle avec certaines pratiques de leurs enseignants. Les analyses seront affinées dans le chapitre dix, lorsque les outils théoriques du chapitre cinq auront été présentés.
Nous nous appuyons sur les entretiens 10 réalisés auprès des enseignants H1 et M2 pour déterminer des éléments de pratiques enseignantes en lien avec l’étude personnelle hors la classe des élèves. Les questions posées aux enseignants ont été présentées à la section 4.2.4.
H1 et M2 se sont appuyés sur une séquence sur les opérations sur les nombres relatifs pour répondre à nos questions.

Eléments sur les représentations des enseignants de l’étude personnelle de leurs élèves

Définition de l’étude personnelle
Pour l’enseignante H1, les élèves accomplissent un travail personnel en mathé-matiques seulement s’ils sont seuls et s’ils ne peuvent solliciter aucune aide. Selon elle, les moments où les élèves peuvent accomplir un tel travail ont lieu uniquement durant les évaluations écrites sur table, en classe. Le reste du temps, H1 estime que les élèves peuvent la solliciter en classe ou peuvent demander hors la classe de l’aide leurs familles ou à leurs amis et ne sont donc pas en situation d’étude personnelle. H1 précise que pour elle, travail personnel et travail autonome coïncident. Pour l’enseignant M2, le travail personnel consiste à écouter le professeur, faire les exercices, être attentif en classe et travailler à la maison. En appui sur la séquence sur les opérations sur les nombres relatifs, M2 explique que selon lui, le travail personnel sur cette séquence consiste à apprendre les règles opératoires : comment additionner, soustraire, multiplier des nombres relatifs. Contrairement à H1, M2 distingue travail personnel et travail en autonomie : selon lui, les élèves sont en autonomie lorsqu’ils ne peuvent pas le solliciter, ce qui n’arrive presque jamais en classe. Ce que les enseignants attendent de leurs élèves hors la classe en mathématiques
Les leçons
L’enseignante H1 attend de ses élèves qu’ils apprennent leur cours lorsqu’ils étu-dient hors la classe. Pour la séquence sur les nombres relatifs, elle explique qu’il s’agit de mémoriser les règles et d’être capable de donner des exemples où ces règles s’appliquent. H1 a interrogé par écrit ses élèves sur ce cours. Pour cette interroga-tion, elle leur a explicitement demandé d’apprendre par cœur la règle des signes ; les élèves devaient réciter cette règle et donner un exemple où cette règle s’applique. En amont, H1 a rappelé aux élèves ce sur quoi ils seraient interrogés. Elle explique qu’avant chaque évaluation, elle explicite clairement en classe les points de cours sur lesquels les élèves seront interrogés.
De son côté, M2 attend de ses élèves hors la classe qu’ils relisent le cours et l’apprennent. Pour lui, apprendre le cours ne signifie pas l’apprendre par cœur, mais le « comprendre ». Selon lui, faire les exercices d’application en lien avec la leçon et ensuite relire cette leçon permettent cette compréhension. À la différence de H1, M2 ne fait pas d’interrogation sur ce cours, et réitère moins régulièrement ses exigences autour de l’étude hors la classe au cours de l’année ; il dit le faire en début d’année, puis environ une fois par trimestre, à l’occasion de bilans suivant les conseils de classe.
Les exercices
Entre deux séances, H1 et M2 donnent tous deux des exercices d’application résoudre hors la classe. Au retour en classe des élèves, ils disent vérifier que les exercices ont bien été résolus. Ces exercices sont corrigés ; cependant, M2 ne vérifie pas si ses élèves prennent effectivement la correction, contrairement à H1.
La préparation d’une évaluation écrite sommative
Avant une évaluation sommative 11, H1 explique qu’elle précise toujours le contenu de cette évaluation. Sur la séquence sur les nombres relatifs par exemple, elle dit avoir détaillé oralement à ses élèves en classe une liste de types de tâches qui ont été demandés pendant l’évaluation : « je leur ai dit que je les interrogerai sur les pro-duits, et que tel exercice qu’on a fait s’y référait ; sur la division, et que tel exercice qu’on a fait s’y référait […] il y aura des calculs de ce type, donc référez-vous à tel exercice ». Elle dit également leur avoir donné des conseils oraux sur la manière de revoir les exercices : « On cache [la correction], on refait seul, on ne regarde pas la correction, ensuite on compare ».
M2, lui, dit donner aussi des conseils à ses élèves pour les aider à préparer une évaluation : « révisez bien les additions et les soustractions, révisez bien les multi-plications, révisez bien les divisions […] révisez bien comment est-ce qu’on prouve qu’un triangle est rectangle, révisez bien comment est-ce qu’on trouve une mesure dans un triangle rectangle ». Cependant, il reconnaît ne pas donner plus de préci-sions quant à la signification du verbe « réviser » : « Pour être honnête, dans la plupart des cas, quand je leur dis « révisez, révisez », je n’explicite pas ».
M2 dit ne donner que des types de tâches traités en classe dans ses évaluations. H1, elle, dit insérer dans les siennes un ou deux exercices d’une complexité plus élevée que ceux réalisés en classe.
Ni H1 ni M2 ne donnent de documents spécifiques pour aider les élèves à préparer leur évaluation durant leur étude personnelle hors la classe.
Nous ne parlons pas des interrogations courtes de leçons comme celles que H1 fait régulière-ment, mais d’interrogations d’une heure dans lesquelles plusieurs exercices sont à résoudre par les élèves.

Mise en relation de gestes d’étude d’élèves avec certaines pratiques de leurs enseignants

Dans les paragraphes précédents, nous avons donné quelques éléments sur les pratiques des enseignants H1 et M2. Le choix de présenter ces éléments n’est pas anodin : nous mettons à présent en relation ces pratiques avec certains gestes d’étude observés chez les élèves interrogés et cherchons à faire ressortir les implicites autour du contrat relatif à l’étude personnelle hors la classe qui nous semblent pouvoir être relié à certains gestes d’étude accomplis – ou au contraire non accomplis – par les élèves.
Concernant l’apprentissage des leçons, nous avons constaté que les élèves de H1 accordaient davantage d’importance à la mémorisation par cœur du cours, contrai-rement aux élèves de M2 pour qui une ou plusieurs relectures semblaient suffire. Ceci peut être mis en lien avec le fait que H1 demande explicitement à ses élèves de mémoriser leur cours et les interroge par écrit sur ce cours, tandis que M2 demande explicitement à ne pas apprendre par cœur les leçons et ne réalise pas d’interroga-tions écrites sur ces leçons.
L’implicite demeure dans le verbe « apprendre » : apprendre quoi, apprendre comment ? Nous supposons que ceci explique que les gestes des élèves sont très variés dans l’apprentissage de cette leçon : certains lisent, relisent, mémorisent, s’attardent sur les exemples, récitent les définitions, font des allers et retours avec le cahier d’exercices, etc.
H1 et M2 demandent aux élèves de « refaire » ou « réviser » les exercices, sans apporter là non plus beaucoup de précisions, comme cela a été expliqué dans les paragraphes précédents. H1 et M2 donnent oralement une liste de quelques types de tâches qu’il y aura dans l’évaluation. Cependant, nous supposons encore que le manque de précision sur la manière de « revoir » les exercices, ou le fait que certaines recommandations sont uniquement orales, se traduit par une grande variété de gestes chez les élèves : lecture, relecture des corrigés (ou au contraire, ces corrigés sont ignorés, jugés inutiles), exercices faits au hasard dans le manuel, etc.
Les corrections ne sont pas beaucoup utilisées par les élèves de M2 ; elles semblent l’être davantage par les élèves de H1 qui est un peu plus regardante sur la prise de notes de ses élèves, même dans le cahier d’exercices.
H1 propose parfois, dans ses évaluations, un ou deux exercices dont les types n’ont pas été traités en classe ou l’ont peu été. Nous faisons l’hypothèse que cela accentue chez les élèves en difficulté l’idée d’« aléatoire » dans l’évaluation, ce qui peut générer du stress.
Enfin, H1 et M2 donnent peu voire ne donnent pas de document spécifique pour la préparation d’une évaluation. L’effort de synthèse, les liens à refaire, l’identifi-cation des types de tâches, le sens de la leçon à reconstruire, etc., semblent être essentiellement à la charge des élèves.

Conclusion

Huit élèves ont été interrogés sur la manière de conduire leur étude personnelle hors la classe en mathématiques, et dans des conditions particulières. La juxtaposi-tion des extraits d’entretiens, l’identification de gestes récurrents (ou l’absence ré-currente de gestes pour certains élèves), la tentative de mise en relation des éléments de discours des élèves avec leur profil, avec les gestes réalisés par leurs enseignants en classe et avec des hypothèses issues de la synthèse de travaux de recherche sur l’étude personnelle, semblent dessiner certaines tendances et indiquer des cohérences dans les pratiques d’élèves autour de la préparation d’une évaluation sommative.

Des gestes d’étude qui semblent liés au « profil »

Les analyses précédentes semblent corroborer l’hypothèse selon laquelle les « bons » élèves réalisent des gestes communs et qui ne sont pas ceux des élèves « moins bons ». En particulier, un geste dont nous supposons qu’il joue un rôle crucial dans la réus-site scolaire de ces « bons » élèves est l’identification des types de tâches.
Un élément central : l’identification des types de tâches
Les « bons » élèves semblent en effet davantage identifier les différents types de tâches d’un thème d’étude que les élèves « moins bons ». Nous faisons l’hypothèse que cette identification des types de tâches les amène à réaliser d’autres gestes d’étude que n’accomplissent pas les élèves « moins bons ». Elle leur permet entre autres :
de disposer d’une confiance en eux vis-à-vis de l’évaluation ;
de trouver un intérêt modéré aux révisions, voire de ne pas réviser du tout ; d’établir un diagnostic pertinent de l’état de leurs apprentissages ;
de cibler rapidement les types d’exercices à travailler parmi la liste des types exigibles dans l’évaluation, de sélectionner des exercices en lien avec leurs difficultés et ainsi construire un milieu pertinent pour la préparation de l’éva-luation ; de décontextualiser les exemples de la leçon, de faire les liens entre les pro-priétés et ces exemples, entre les propriétés et les exercices faits en classe (attitude de secondarisation) ;
de ne pas être surpris par ce qui est demandé en évaluation et d’y retrouver tous les types de tâches travaillés en classe.
l’inverse, les élèves « moins bons » ne vont pas aussi bien identifier les types de tâches, et par conséquent :
considèrent l’évaluation comme contenant une part d’aléatoire, parce qu’ils n’y retrouvent pas – puisqu’ils ne les ont pas tous identifiés – les types d’exer-cices qu’ils croient avoir traité en classe ;
fournissent d’importants efforts durant leurs révisions, en se lançant dans une entreprise de mémorisation intense des exercices et/ou de leurs corrigés, ou bien en s’entraînant longuement sur des exercices, en en résolvant une grande quantité, alors que ces exercices n’auront pas été choisis de manière pertinente (parce qu’ils ne recouvrent pas l’ensemble des types d’exercices qui pourront être demandés en évaluation ou parce qu’un même type d’exercice sera travaillé plus de fois que nécessaire) ;
utilisent des discriminants d’arrêt des révisions en termes de temps passé à travailler ou en nombre d’exercices résolus à la place de critères portant sur les savoirs à acquérir ;
ne décontextualisent pas suffisamment les exemples de la leçon et ne font pas autant de liens entre propriétés et exercices que les « bons » élèves.
Ici, nous retrouvons des tendances communes à d’autres travaux, entre autres : Milhaud ((1998)) et Esmenjaud-Genestoux ((2005)) pour l’identification des types de tâches, Castela ((2000), (2007a)) et Farah ((2015)) pour les gestes spécifiques des élèves en réussite même si nous nous situons au collège et que ces travaux portent sur le lycée et le supérieur.
Rapport stratégique VS rapport tactique (Castela, 2000)
Les discours tenus et les gestes réalisés par les « bons » élèves semblent conforter l’idée selon laquelle ces élèves entretiennent un rapport stratégique vis-à-vis des mathématiques : le cours et les exercices résolus constituent pour eux un capital dans lequel ils pourront puiser afin d’affronter le futur, le nouveau et/ou le similaire.
Que je m’exerce […] que j’essaie de comprendre. Que je comprenne, pour que je sois motivé pour le prochain cours et que je comprenne vite. » (Ryan, B, M2)
Comprendre la leçon pour comprendre les erreurs qu’on fait lors-qu’on a des exercices. » (Tamara, B, H1)
j’écoute surtout les définitions et comment calculer, pour mieux enregis-trer ça et après, je fais aussi les exercices, je me concentre dessus pour réussir et que pour la prochaine fois, je continue » (Marianne, B, M2)
l’inverse, les élèves « moins bons » paraissent avoir un rapport plutôt tactique aux mathématiques, avec une vision de la réussite comme relevant d’un entraînement sportif. Ces élèves semblent miser sur une proximité forte entre ce qui a été traité en classe et ce qui sera demandé à l’évaluation, ce qui les amène probablement à fournir de gros efforts de mémorisation dans l’espoir de parvenir à une adaptation locale, faible, lors de l’évaluation.
Nos résultats rejoignent ici Castela (2000) sur le rapport tactique / rapport stratégique et la vision de la réussite, même si les travaux de Castela portent sur le supérieur. Nous constatons donc que dès le collège semblent s’installer – ou semblent déjà être installées – des visions de la manière de réussir une évaluation sommative.

Des gestes d’étude qui semblent liés aux pratiques enseignantes

plusieurs reprises, nous avons constaté des différences entre les élèves de H1 et de M2. Les premiers semblent davantage accorder de l’importance à la mémori-sation – par cœur – de la leçon que les seconds. Ceci peut être mis en relation avec les attentes explicites des enseignants H1 et M2. Contrairement à M2, H1 semble avoir tendance à exiger de ses élèves cet apprentissage par cœur des propriétés et des définitions. Ses évaluations comprennent par ailleurs toujours une ou plusieurs questions de cours. Les élèves paraissent être assez sensibles à cette part du contrat didactique relatif à l’évaluation.
D’autre part, les élèves de H1 semblent avoir trouvé plus de différences entre ce qui est traité en classe et ce qui est demandé à l’évaluation que les élèves de M2. Ceci provient peut-être du fait que nous n’avons pas pu interroger des élèves
en difficulté » pour M2 (le « profil » joue possiblement un rôle dans la sensation de ressemblance ou non), mais nous faisons l’hypothèse que cela est peut-être dû aussi au fait que H1 propose souvent un ou deux types d’exercices en évaluation qui n’ont pas été traités en classe, ou peu traités, ou qui portent sur d’anciens chapitres, créant ainsi ce sentiment de dissemblance, voire d’aléatoire chez les élèves les plus
en difficulté ». Nous qualifions ceci de « trahison » relative au contrat passé avec les élèves vis-à-vis de l’évaluation, car H1 explicite les savoirs et savoir-faire qui seront principalement exigés lors de l’évaluation lorsqu’elle prévient ses élèves que cette évaluation va avoir lieu ; le fait de rajouter des exercices de complexité différente de ceux traités en classe ou des types d’exercices relevant d’anciens chapitres constitue un écart par rapport à ce contrat.
Nous rapprochons en partie nos observations de celles obtenues dans Felix et Jo-shua ((2002)) sur les différences entre évaluation et ce qui est fait en classe, et l’hypo-thèse selon laquelle un contrat d’étude personnelle réaliste (Esmenjaud-Genestoux, (2005)) favorise la réussite scolaire nous paraît tout à fait envisageable.

Table des matières

1 Enjeux, questions initiales et contexte de la thèse 
1.1 Objectifs du chapitre
1.2 Enjeux de la thèse
1.2.1 La question du travail personnel
1.2.2 La question de l’algèbre élémentaire au collège
1.3 Une première présentation du contexte de la recherche
1.4 Conclusion
2 Cadres théoriques, problématique et méthodologie générale 
2.1 Objectifs du chapitre
2.2 Présentation et motivation de l’usage de cadres théoriques, premiers éléments méthodologiques
2.2.1 L’apport d’une approche anthropologique
2.2.2 La théorie anthropologique du didactique
2.2.3 Autres cadres théoriques : complémentarité et articulation avec la TAD
2.3 Hypothèses et problématique de recherche
2.4 Retour sur le contexte de la recherche
2.4.1 Les travaux de Grugeon (1997)
2.4.2 Les projets Pépite, Lingot, PépiMep et NeoPraeval et les travaux de Pilet
2.5 Méthodologie générale de la thèse
2.6 Conclusion
3 Une synthèse de travaux de recherche sur le thème de l’étude personnelle
3.1 Objectifs du chapitre
3.2 Définitions et fonctions attribuées à l’étude personnelle
3.2.1 Etude hors classe, autonome, personnelle : de quoi parle-t-on ?
3.2.2 Développement sur l’autonomie : le modèle de structuration du milieu
3.2.3 Fonctions attribuées à l’étude personnelle
3.2.4 Premières conclusions et interprétation en termes de recherche en didactique
3.3 L’étude personnelle : entre nécessité et controverse
3.3.1 Une nécessité pour les programmes officiels, les enseignants et les élèves
3.3.2 Le débat sur les inégalités scolaires et sociales, et l’influence de l’étude personnelle sur ces inégalités
3.3.3 Conclusion sur l’influence de l’étude personnelle sur la réussite scolaire
3.4 Organiser l’étude personnelle : quelles difficultés et quels leviers ?
3.4.1 Le paradoxe de l’élève en difficulté vis-à-vis de l’étude personnelle
3.4.2 Impliquer les parents dans l’accomplissement de l’étude personnelle hors la classe : une illusion ?
3.4.3 L’Aide au Travail Personnel
3.4.4 L’utilisation du cahier de cours
3.4.5 Sur la piste de leviers pour l’organisation de l’étude personnelle
3.4.6 Quels leviers existe-t-il pour les enseignants afin d’organiser l’étude personnelle des élèves ?
3.5 Conclusion
4 Une première étude exploratoire avec des collégiens en REP 
4.1 Objectifs du chapitre
4.2 Les entretiens
4.2.1 Présentation du déroulement des entretiens
4.2.2 Justification de la manière dont nous avons menée les entretiens109
4.2.3 Questions posées aux élèves
4.2.4 Questions posées aux enseignants
4.3 Analyse des entretiens
4.3.1 L’étude personnelle entre deux cours de mathématiques
4.3.2 Avant une évaluation sommative
4.3.3 Conclusion
4.4 Mise en relation de gestes (ou d’absence de gestes) d’aide à l’étude des enseignants avec les gestes d’étude hors la classe de leurs élèves
4.4.1 Eléments sur les représentations des enseignants de l’étude personnelle de leurs élèves
4.4.2 Mise en relation de gestes d’étude d’élèves avec certaines pratiques de leurs enseignants
4.5 Conclusion
4.5.1 Des gestes d’étude qui semblent liés au « profil »
4.5.2 Des gestes d’étude qui semblent liés aux pratiques enseignantes
4.5.3 Une première étude exploratoire qui débouche sur de nouvelles questions
5 Modélisation de l’étude personnelle 
5.1 Objectifs du chapitre
5.2 Les principaux éléments dont le modèle doit pouvoir rendre compte
5.3 Praxéologies d’étude supposées permettre de construire de manière idoine des praxéologies mathématiques
5.3.1 Présentation
5.3.2 Des praxéologies d’étude ne dépassant pas le niveau pédagogique
5.3.3 Les praxéologies d’étude supposées permettre la construction idoine de praxéologies mathématiques
5.3.4 Identifier un type de tâches mathématique, une technique mathématique, une technologie mathématique
5.3.5 Mettre en relation type de tâches avec une technique et technologie mathématiques
5.3.6 Situer et articuler des OM entre elles
5.3.7 Diagnostiquer l’état de ses apprentissages mathématiques et réguler ses besoins d’apprentissages
5.3.8 À propos du glissement métacognitif
5.4 Opérationnalisation du modèle pour analyser les pratiques enseignantes relatives à l’organisation de l’étude personnelle des élèves
5.4.1 Un schéma pour une vue d’ensemble
5.4.2 L’étude en classe et l’étude hors classe respectivement considérées à l’intérieur d’un SDP et d’un SDA
5.4.3 Premier niveau d’analyse à partir du modèle : les praxéologies mathématiques travaillées en classe et effectivement mobilisées par les élèves
5.4.4 Second niveau d’analyse à partir du modèle : les praxéologies d’étude travaillées en classe et effectivement mobilisées par les élèves
5.4.5 L’interprétation de l’autonomie dans laquelle l’élève est placé lors de son étude personnelle hors la classe
5.4.6 Les conditions sur la gestion et l’organisation didactique en classe rendant possibles l’accomplissement d’une étude personnelle idoine hors la classe
5.5 Conclusion
6 Eléments historiques et mathématiques sur les équations algébriques ; construction d’une référence épistémologique relative aux équations du premier degré à une inconnue 
6.1 Objectifs du chapitre
6.2 Eléments sur l’histoire des équations algébriques
6.2.1 Présentation
6.2.2 Les équations chez les Babyloniens, Euclide et Diophante
6.2.3 Les équations dans les travaux d’al-Khwârizmî et d’al-Khayyâm
6.2.4 Les équations aux XVIème, XVIIème et XVIIIème siècles
6.2.5 La résolution algébrique des équations algébriques au XIXème siècle : les réponses d’Abel et de Galois
6.2.6 Conclusion sur les éléments historiques
6.3 Eléments mathématiques et logiques
6.3.1 Point de vue mathématique pour définir une équation algébrique
6.3.2 Point de vue logique
6.4 Construction de la référence épistémologique relative aux équations
6.4.1 Approche anthropologique
6.5 Approche cognitive
6.5.1 Présentation
6.5.2 L’étude des équations : ruptures et fausses continuités avec l’arithmétique
6.5.3 Les équations au sein des différentes sources de signification (meanings) de l’algèbre
6.5.4 Les équations au sein du modèle GTG de Kieran
6.5.5 Conclusion sur l’approche cognitive : d’autres éléments épistémologiques relatifs aux équations
6.6 Conclusion sur la référence épistémologique relative aux équations
7 Organisation mathématique de référence relative aux équations du premier degré 
7.1 Présentation
7.2 L’OM de référence relative aux expressions algébriques (Pilet, 2012)
7.3 Découpage de l’OM régionale relative aux équations
7.4 Présentation des OM locales
7.5 OML1eq : génération des équations
7.5.1 Présentation
7.5.2 Principaux genres de tâches
7.5.3 Principaux types de tâches
7.5.4 Technique
7.5.5 Eléments technologico-théoriques
7.5.6 Quelques exemples de tâches relevant de types de tâches de OML1eq
7.6 OML2eq : résolution
7.6.1 Présentation
7.6.2 Principaux genres de tâches
7.6.3 Principaux types de tâches
7.6.4 Techniques
7.6.5 Eléments technologico-théoriques
7.6.6 Eléments théoriques
7.7 OML3eq : structure des équations
7.7.1 Présentation
7.7.2 Principaux genres de tâches
7.7.3 Principaux types de tâches
7.7.4 Techniques
7.7.5 Eléments technologico-théoriques
7.7.6 Elément théorique
7.8 Techniques et technologies non algébriques relatives à la résolution des équations
7.9 Convocations entre OM
7.10 Conclusion sur l’OM de référence relative aux équations algébriques
8 Analyse des OM et des praxéologies d’étude présentes dans les programmes officiels et les manuels scolaires 
8.1 Objectifs du chapitre
8.2 Analyse de l’OM à enseigner présente dans les programmes officiels et les documents d’accompagnement
8.2.1 Analyse praxéologique des programmes de 2008
8.2.2 Analyse des documents d’accompagnement
8.2.3 Analyse des manuels
8.2.4 Conclusion sur l’OM à enseigner relative aux équations présente dans les documents officiels et les manuels
8.3 Analyse des praxéologies d’étude présentes dans les programmes et les manuels
8.3.1 Les praxéologies d’étude présentes dans les programmes
8.3.2 L’aide à l’organisation de l’étude personnelle dans les manuels
8.3.3 Conclusion sur l’analyse des manuels
9 Elaboration d’un Parcours d’Etude et de Recherche sur les équations
9.1 Objectifs du chapitre
9.2 Vision générale et fondements théoriques du PER
9.2.1 Outils théoriques pour construire le PER
9.2.2 Schémas récapitulatifs : vision générale du PER
9.2.3 L’appui sur le test Pépite pour construire une partie du PER
9.2.4 Les trois étapes du PER et leurs fondements théoriques
9.2.5 Les moments de l’étude au sein du PER
9.2.6 Des praxéologies d’étude travaillées à chaque étape
9.2.7 Les différentes phases de mise en oeuvre des situations didactiques
9.2.8 Les types de tâches mathématiques donnés à travailler en autonomie en appui sur des milieux riches et favorisant le développement de praxéologies d’étude
9.3 Etape 1 du PER : introduction et motivation des équations
9.3.1 Enoncé de la situation d’introduction
9.3.2 Analyse a priori de la situation didactique
9.3.3 Analyse a priori des tâches préparatoires
9.3.4 Déroulement proposé et analyse a priori de ce déroulement
9.3.5 Types de tâches mathématiques donnés à faire en autonomie et travail des praxéologies d’étude en autonomie ; analyse a priori
9.4 Etape 2 : résolution algébrique d’équations
9.4.1 Enoncé de la situation
9.4.2 Analyse a priori de la situation didactique
9.4.3 Analyse a priori des tâches préparatoires
9.4.4 Déroulement proposé et analyse a priori de ce déroulement
9.4.5 Déroulements alternatifs
9.4.6 Types de tâches mathématiques donnés à faire en autonomie et travail des praxéologies d’étude en autonomie ; analyse a priori
9.5 Etape 3 : résolution algébrique de problèmes conduisant à une équation
9.5.1 Enoncé de la situation
9.5.2 Analyse a priori de la situation didactique
9.5.3 OM que doivent avoir construites les élèves au préalable
9.5.4 Tâche préparatoire
9.5.5 Déroulement proposé et analyse a priori de ce déroulement
9.5.6 Types de tâches mathématiques donnés à faire en autonomie
9.5.7 Des types de tâches « méta-mathématiques » finalement non inclus dans le PER (risque de glissement méta-cognitif)
9.6 Conclusion
10 Analyse a posteriori de la mise en oeuvre du PER sur les équations par un enseignant de collège 
10.1 Objectifs du chapitre
10.2 Mise en oeuvre du PER
10.2.1 Pratiques de l’enseignant sur le chapitre des équations l’année précédant la mise en oeuvre du PER chercheur
10.2.2 Brève description de la mise en oeuvre du PER professeur
10.2.3 Echanges entre chercheur et enseignant pour la mise en oeuvre du PER
10.2.4 Des documents d’aide à la préparation de l’évaluation
10.3 Analyse a posteriori de la mise en oeuvre du PER relatif aux équations : côté enseignant
10.3.1 Eléments méthodologiques
10.3.2 Analyse détaillée de la séance 1 du PER professeur
10.3.3 Analyse synthétique de l’ensemble des séances du PER professeur
10.3.4 Conclusion sur l’analyse a posteriori de la mise en oeuvre du PER professeur
10.4 Analyse a posteriori de la mise en oevre du PER relatif aux équations : côté élèves
10.4.1 Présentation : analyse des OM apprises à partir des productions d’élèves sur une évaluation sommative relative aux équations
10.4.2 Présentation générale de l’évaluation
10.4.3 Méthodologie pour les analyses
10.4.4 Analyse des erreurs à l’exercice 2 : résolution algébrique d’équations
10.4.5 Analyse des erreurs à l’exercice 3 : tester si un nombre est solution d’une équation
10.4.6 Analyse des erreurs à l’exercice 4 : programmes de calcul à égaliser
10.4.7 Commentaires sur l’exercice 1 : vocabulaire sur les équations
10.4.8 Commentaires sur l’exercice 5 : périmètres de figures dynamiques à égaliser
10.4.9 Conclusion sur l’analyse des effets de la mise en oeuvre du PER professeur sur l’étude personnelle hors la classe des élèves
10.5 Analyse a posteriori du PER relatif aux équations : mise en relation des gestes de l’enseignant avec ceux des élèves
10.5.1 Mise en relation des OM enseignées avec celles qui semblent apprises
10.5.2 Mise en relation des praxéologies d’étude travaillées en classe avec celles qui semblent mobilisées hors la classe ; comparaison avec celles mobilisées lors de l’étude exploratoire
10.5.3 Conclusion sur la mise en relation des gestes de l’enseignant avec ceux mobilisés par les élèves hors la classe
10.6 Conclusion du chapitre
11 Conclusion sur le rôle de l’enseignant dans l’organisation de l’étude personnelle des élèves relative aux équations du premier degré à une inconnue 
11.1 Objectifs du chapitre
11.2 Rappel des objectifs de la thèse, de la problématique de recherche et des principaux éléments méthodologiques
11.3 Principaux résultats de la thèse
11.3.1 L’étude personnelle de collégiens hors la classe en algèbre
11.3.2 Un modèle de l’étude personnelle opérationnalisé pour analyser les pratiques enseignantes et les mettre en relation avec les gestes d’étude des élèves
11.3.3 Une OM épistémologique de référence sur les équations opérationnalisée pour analyser les OM à enseigner et enseignées et les OM construites par les élèves
11.3.4 Un PER sur les équations avec des effets positifs sur les apprentissages des élèves
11.4 Perspectives de recherche
11.4.1 Des analyses à étendre sur des échantillons plus vastes et sur un temps plus long
11.4.2 Des OM épistémologiques de référence en algèbre à construire en appui sur celles relatives aux expressions algébriques et aux équations
11.4.3 Un modèle de l’étude personnelle à adapter mais potentiellement transférable à d’autres domaines, d’autres niveaux et d’autres disciplines
11.4.4 Des éléments du PER sur les équations pour l’étude hors la classe à informatiser
11.4.5 Des résultats de recherche potentiellement utilisables pour renforcer les dispositifs d’aide à l’étude existants
11.5 Des perspectives pour nos propres pratiques enseignantes
Références 

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