Organisation de la remédiation pédagogique

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La différenciation pédagogique :

Définition :
Selon Przesmycki4, « la différenciation pédagogique met en œuvre un cadre souple où les apprentissages sont suffisamment explicités et diversifiés pour que les élèves puissent travailler selon leurs propres itinéraires d’appropriation tout en restant dans une démarche collective d’enseignement des savoirs et savoir-faire communs exigés » (Forget, 2004). Ainsi la différenciation pédagogique se donne pour défi d’allier la différenciation et la maitrise du socle commun5. Il s’agit d’une forme de réponse face à l’hétérogénéité des élèves à laquelle est forcément confronté l’enseignant.
La mise en œuvre de la différenciation pédagogique :
Selon Jean-Marie Gillig, nous ne pouvons pas parler de différenciation pédagogique sans passer par ces cinq étapes : l’évaluation diagnostique, la démarche par objectifs, la diversification des itinéraires, l’évaluation formative et la régularisation.
1) L’évaluation diagnostique : Il s’agit du point de départ de toute différenciation. Elle se déroule avant toute action menant à de la différenciation. Ce type d’évaluation consiste à mesurer les acquis
3 Ministère de l’éducation nationale, de l’enseignement supérieur et de la recherche, bulletin officiel n°30 : Le référentiel de compétences des métiers du professorat et de l’éducation (25/07/13)
4 Propos repris par Alexia Forget dans la conférence de consensus du CNESCO « Quels sont les différents types de différenciation pédagogique dans la classe ? » (2004)
5 Ministère de l’éducation nationale, de l’enseignement supérieur et de la recherche, bulletin officiel n°17 : socle commun de connaissances, de compétences et de culture (23/04/2105) des élèves avant de prétendre mener une action. Gillig explique qu’elle consiste à « poser le diagnostic initial faisant l’état des savoirs à l’entrée dans le processus d’apprentissage ou de réapprentissage permettant de faire apparaitre les compétences de l’élève, ses points forts, ses points faibles, ses lacunes » (Gillig, 2001). Il est important de noter, qu’au cours de l’année, des évaluations formatives peuvent avoir une valeur « diagnostique » en raison des actions que l’enseignant souhaite mener auprès de ses élèves.

La démarche par objectifs : c’est un courant pédagogique qui a vu le jour au cours des années

70 en France. Elle s’oppose à l’enseignement traditionnel. Tout d’abord, elle nécessite une anticipation de ce que l’élève aura appris de plus suite à une action d’enseignement. Ensuite, elle consiste à définir des objectifs à atteindre en terme de comportements observables de façon à parvenir à une certaine compétence. Il est absolument indispensable de définir ces objectifs pour être en mesure de les évaluer par la suite.
3) La diversification des itinéraires : c’est le cœur de la différenciation pédagogique. Il s’agit là de proposer différents parcours aux élèves en fonction de leurs besoins. L’enseignant peut décider de viser le même objectif pour tous ses élèves, c’est ce qu’on appelle la différenciation successive. Il peut, au contraire, décider de viser des objectifs différents d’un groupe à l’autre par exemple, c’est ce qu’on appelle la différenciation simultanée.
4) L’évaluation formative : ce type d’évaluation intervient au cours de la séquence d’apprentissage. Elle permet à l’enseignant, mais aussi à l’élève, de donner une estimation du degré d’acquisition de la ou des compétence(s) visée(s). Selon Olivier Rey, il s’agit contrairement à l’évaluation sommative, de « l’évaluation pour les apprentissages ». Elle « ne sert pas à mesurer un niveau par rapport à un objectif mais où en est l’élève sur le parcours qui consiste à s’approprier des connaissances et des compétences. […] Elle sert à continuer à progresser. C’est un repère et non une phase finale. » (Canard, 2015). Elle permet aussi à l’enseignant d’orienter le plus finement possible son action. Elle induit ce qu’on appelle la régulation de son enseignement.
Selon le courant néo-behavioriste6 : Selon Scriven7 en 1967, l’évaluation formative se caractérise par une sorte de test, qui positionne l’élève de façon binaire par rapport à la compétence visée : acquise ou non acquise. Comme le but est d’amener le plus d’élèves possibles au maximum de leurs capacités, suite aux résultats de l’évaluation, le professeur propose des « activités de rattrapage/remédiation/correction » (Gillig, 2001).
Selon le courant cognitiviste8 : Le système d’évaluation est le même que pour le courant précédent. Mais l’aspect remédiation, ou démarche de réapprentissage, y est plus développé. En effet, la remédiation passe ici par une analyse, menée avec l’élève, des erreurs commises. L’évaluation formative serait donc plus qualifiée de « formatrice » puisque l’élève est intégré à l’évaluation.

La régulation : Typologie proposée par Allal9 en 1991

Interactive : l’enseignant va chercher à savoir ce que l’élève sait à travers le dialogue avec lui. Il va alors modifier son message en fonction des caractéristiques individuelles de chacun. C’est une forme de régularisation caractérisée par une évaluation dite « à chaud » intégrée à la situation d’enseignement/apprentissage et une différenciation successive.
Proactive : cette forme de régulation se définit comme un prolongement de la situation d’apprentissage suite à l’évaluation de la production de l’élève, mais de façon différée dans le temps, « sous forme d’approfondissement et de consolidation des compétences des élèves qui ont déjà atteint le seuil de maîtrise » (Gillig, 2001).
Rétroactive : également différée, cette forme de régulation peut être considérée comme l’inverse de la précédente. Cette fois-ci, elle se fait auprès d’élèves qui n’ont pas atteint le degré suffisant d’acquisition de la compétence. Il s’agit donc d’une sorte de retour en arrière où le professeur va chercher à construire les savoirs encore non acquis par des actions de remédiation individuelle ou par groupes.

La remédiation, en lien étroit avec la différenciation :

Après la définition générale de la différenciation pédagogique, on devine que la remédiation possède un lien étroit avec celle-ci. Gillig décrit le terme de remédiation comme « l’action pédagogique permettant de remédier aux lacunes détectées par l’évaluation dans les apprentissages fondamentaux » (Gillig, 2001).
Selon Rieunier10, la remédiation est un « mot qui a la même racine que remède », c’est le « synonyme d’action corrective ou mieux de régulation » (Rieunier, 2014). Il décrit que la remédiation est un principe pédagogique par lequel l’enseignant va proposer à l’apprenant de nouvelles activités d’apprentissages. Ces dernières vont lui permettre de combler des lacunes diagnostiquées lors d’une évaluation formative. Il précise qu’il est important de proposer aux apprenants d’autres méthodes (aides audiovisuelles, informatiques, petits groupes de travail…) que celles qui ont été utilisées en classe pour garantir son efficacité. Nous comprenons ainsi le lien étroit entre remédiation et pédagogie différenciée, puisque la remédiation est en réalité un temps de la différenciation pédagogique. Elle intervient dans la dernière étape décrite par Gillig. De plus, il s’agit d’une action de régulation rétroactive, selon Allal.
Pour résumer, nous pouvons différencier durant trois temps : avant, pendant et après l’enseignement. Ce qui nous intéresse, dans le cadre de ce mémoire, est la différenciation menée après l’enseignement. Suite à l’évaluation formative menée, il peut apparaitre que certains élèves aient besoin de revoir des notions. C’est là qu’intervient la remédiation. Il s’agit donc d’une stratégie pédagogique possiblement mise en place par l’enseignant suite à une action d’enseignement pour permettre aux élèves de revoir les notions et donc de les faire progresser le plus possible en tenant compte de leur rythme, particularités… Il m’a alors paru essentiel, pour les élèves que j’avais repéré en difficulté pour rapport aux notions étudiées, de mettre en place une action de remédiation. Cependant, qui dit remédiation dit difficultés. Et, les difficultés sont synonymes d’obstacles. Nous allons donc maintenant nous interroger sur la notion d’obstacle, plus particulièrement par rapport à ceux rencontrés en numération en accord avec le domaine d’étude considéré.

LES OBSTACLES EN NUMERATION :

Définition d’obstacle :

Selon Brousseau11, il s’agit de l’ensemble des difficultés présentes chez l’élève lié à sa conception d’une notion. L’auteur explique que cette conception a été construite « par une activité et une adaptation correctes, mais dans des conditions particulières, qui l’ont déformée ou qui en ont limité la portée. Les difficultés créées par cette conception sont liées par des « raisonnements » mais aussi par de nombreuses circonstances où cette conception intervient » (Brousseau, 1998).
Les obstacles peuvent être classés en trois types :
– Obstacles d’origine ontogénique : sont liés à une limitation (neurophysiologique…) du sujet à un moment de son développement ;
– Obstacles d’origine didactique : sont liés aux décisions de l’enseignant ou alors plus hautement à l’institution ;
– Obstacles d’origine épistémologique : sont liés à l’histoire même du concept visé. Il constitue un rôle dans ce dernier.
Selon cette typologie, nous nous intéresserons principalement aux obstacles épistémologiques rencontrés dans le domaine de la numération.

Le concept de nombre

Le nombre est une notion abstraite. Elle n’est pas visible et l’enfant doit donc la construire mentalement. Avant, la monnaie était un support efficace pour accéder au nombre, il devenait alors « visible ». Mais à l’ère du numérique, avec la carte bancaire ou même les Smartphones, Denis Butlen et Jean-Louis Durpaire12 disent que « toutes les transactions sont devenues opaques » (Bulten & Durpaire, 2015). Ainsi, ils expliquent par un exemple, que l’enfant qui accompagne ses parents dans un supermarché peut difficilement se faire une idée du montant des achats. De ce fait, l’école devient presque seule dans l’approche du nombre de façon concrète.
Selon Thierry Dias13, le concept de nombre est une relation qu’il qualifie de triangulaire puisque que derrière ce concept se cache un triple sens. Le nombre est à la fois :
– un symbole arithmétique (3, 58…) ;
– un mot nombre (trois, cinquante-huit…) ;
– une quantité physique ;
Il en résulte donc réciproquement trois types d’apprentissage :
– donner un sens au codage numérique, autrement dit comprendre la numération de position et donc le système des bases ;
– savoir nommer les nombres qu’on lit et qu’on écrit, il intervient donc la notion de codage et de décodage. Il s’agit d’un apprentissage langagier ;
– reconnaitre une collection et la nommer, c’est-à-dire se construire une image mentale de la cardinalité en lien avec l’apprentissage du comptage et du dénombrement.
Dans cet écrit, nous nous intéresserons principalement au premier des objectifs d’apprentissage concernant notamment la compréhension de la numération de position. Il est donc nécessaire de rappeler comment fonctionne notre système de numération.

Les principes de la numération décimale

La numération décimale est un type de numération composé de dix chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. On parle alors d’un système de numération en base dix. Avec ces dix chiffres, nous pouvons écrire une infinité de nombres à condition d’appliquer deux principes :
– le principe de position : un chiffre dans un nombre n’a pas la même valeur selon sa position ; Exemple : Dans le nombre 542, 5 est le chiffre de centaines, il représente donc le nombre 500.
– le principe de groupement : un chiffre écrit au rang n+1 vaut dix fois ce même chiffre écrit au rang n.
Exemple : 542 est égal à 5 x 100 + 4 x 10 + 2. Chaque chiffre dans le nombre représente (de droite
à gauche), un certain nombre de paquets de 1 (les unités), un certain nombre de paquets de 10 (les dizaines), un certain nombre de paquet de 100 ou de 10 x 10 (les centaines). Autrement dit, dix unités d’un ordre quelconque forment une unité d’un rang immédiatement supérieur. Ces ordres ont des noms particuliers : unités, dizaines, centaines…
Pour faciliter la compréhension de principes d’échanges, la manipulation de matériel semble essentielle. Le tableau de numération est aussi un outil intéressant puisqu’il permet de visualiser ces échanges.
La construction du nombre doit donc passer par des exercices de composition-décomposition de type canonique (ex : 542 = 5 x 100 + 4 x 10 + 2) mais aussi variés.
À partir de cette description, on peut donc déceler plusieurs obstacles épistémologiques.

Les obstacles épistémologiques en numération

Pour décrire ces obstacles, nous nous pencherons sur le travail de Baruk14. Le titre de son ouvrage est déjà évocateur de la plus grande difficulté pour un élève en numération : réussir à faire coïncider une double langue aux écritures et aux logiques différentes : la langue « numérale » lorsqu’il s’agit d’écrire des nombres en mots et la langue « numérique » lorsqu’il s’agit d’écrire des nombres en chiffres.

Les irrégularités de la langue

Dans l’acquisition du principe de numération décimale, l’apprenant se retrouve confronté à des obstacles car certains mots nombres ne rendent pas compte des chiffres qui composent le nombre.
Il est facile pour l’élève d’écrire en langue numérique un nombre à partir de sa représentation en doigts par exemple. Mais ce qui est plus compliqué (car pas régulier) c’est de le dire ou de l’écrire en langue numérale.
Onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize : Baruk les qualifie de « cachottiers ». Elle nous conseille de « désosser » ces nombres avec les élèves. Par exemple, pour 16 (seize), nous pouvons expliquer que le dix s’entend dans le « zzze », il veut donc dire « (et)-dix ». Puis dire que le 6 s’entend dans le « sss ». Nous pouvons alors montrer que les mots se sont donc mélangés pour ne former qu’un seul mot. Il s’agit alors d’un cachottier. On a donc « six-dix ». Mais contrairement à la plupart des nombres à deux chiffres, lorsqu’on les écrit en écriture numérale, on a d’abord le mot exprimant le chiffre des dizaines puis le mot exprimant le chiffre des unités. Prenons l’exemple de trente-sept : trente désigne le chiffre des dizaines : 3 et sept désigne le chiffre des unités : 7. Donc, chez les nombres cachottiers, il y a un inversement des mots. La première syllabe qui désigne le chiffre des unités, puis la deuxième « ze » signifie le nombre de dizaines. Devant les élèves, il sera donc important de l’énoncer comme « dix-six » et non pas « six-dix ». Finalement, Baruk nous explique qu’il faut se baser sur les analogies acoustiques pour retrouver ou deviner l’écriture qui se cache derrière ce mot.
Les mots-dizaines de 10 à 60 :
De 30 à 60 :
Le langage utilisé traduit notre système en base dix. Dans ce cas, il est donc important de s’appuyer sur les analogies acoustiques pour faire percevoir aux élèves que les mots rendent compte. Par exemple, le nombre 37 (trente-sept), on entend dans le « tr » de « trois » dans « trente » qui signifie 3 dizaines et le « sept », le chiffre qui « dit la vérité »15 qui signifie 7 unités. Le premier mot énoncé donne le chiffre des dizaines et le deuxième mot donne le chiffre des unités. L’ordre de l’énonciation et de l’écriture est le même. Ces analogies acoustiques se retrouvent dans les mots-dizaines de 30 à 60. Mais il s’agit de quatre nouveaux mots à assimiler. Baruk explique qu’« il apparait que chaque fois qu’on a un nouveau « dix », on a un mot nouveau, qui signifie que l’on compte une dizaine de plus. » (Baruk, 1997). Et donc, à chaque fois qu’on arrive à un dix de plus, on le compte avec les autres paquets de dix. On compte la nouvelle dizaine avec les autres à l’aide d’un mot nouveau. Pour l’apprentissage des nombres de 30 à 60, il faut cependant accorder une attention toute particulière au zéro comme étant une place vide. Stella Baruk le qualifie de « chiffre du silence ».
Car, en se basant seulement sur les analogies acoustiques, il se pourrait qu’un élève qui entend « trente », n’écrive qu’un 3 seulement et oublie le zéro.
Les cas particuliers de 10 et 20 :
Pour ces mots-dizaines, les mots ne rendent plus compte. Il n’y a plus d’analogies acoustiques. Pour 20, le mot « vingt » ne fait pas penser au deux, il n’y a pas de similitude phonologique. D’après Baruk, il s’agit d’un nombre « où la correspondance est à « deviner » entre ce qui se dit et ce qui s’écrit. » Il est « pauvre dans l’évocation sonore » car « rien ne s’entend du « deux » du « vingt ». » (Baruk, 1997).
Pour 10, c’est la même chose. Le mot « dix » est aussi « pauvre dans l’évocation sonore » car on n’entend rien du « un » de « dix ». Il y a en plus une difficulté supplémentaire, de 11 à 16, car on n’entend pas le « dix ». Il est donc préférable de commencer avec les élèves où « dix » s’entend, c’est-à-dire à partir de dix-sept.
Les dizaines cachées :
Soixante-dix :
Avec un apprentissage des dizaines commençant par 30, puis 40, 50 et 60, l’élève va acquérir une certaine logique puisqu’elles finissent toutes par –(e)ante. Mais l’arrivée de soixante-dix va détruire cette suite. L’élève a appris jusque là que « trente-dix » ou « quarante-dix » par exemple, ne se disaient pas. Et que pour chaque nouvelle dizaine, il y a un nouveau mot. Mais pour soixante-dix, il est possible de le dire. La logique devient donc différente. Dans ce cas, il s’agit de six paquets de dix et un paquet de dix de plus, et non de sept paquets de dix. Il n’y a pas de mots nouveau. Baruk parle de « paresse » de la langue. Il faut arriver à faire comprendre à l’élève que le mot « soixante » appelle un six ou un sept en fonction de ce qui le suit dans l’énonciation. D’où l’intérêt, lorsque l’enseignant lit un nombre de dire « soixante-dix » d’une seule traite pour faire comprendre à l’élève qu’il s’agit d’une seule et même entité. Il y a, de plus, une difficulté supplémentaire avec les « cachottiers » où le « dix » de « soixante-dix » ne s’entend pas : entre 71 et 76. Il est donc important de commencer avec le « soixante-dix » qui s’entend (par exemple avec 77).
Quatre-vingt :
Arrivé à 80, l’élève doit faire face à une difficulté supplémentaire dans l’acquisition des nombres. La logique en paquets de 10 est rompue. Cette fois-ci, il faut résonner en paquets de 20. C’est un vestige de notre histoire, puisque les hommes utilisaient leurs orteils lorsqu’ils n’avaient plus de doigts pour compter. Ils arrivaient donc ainsi à des groupes de 20. C’est un lourd obstacle pour l’élève qu’il s’agit de surmonter. Stella Baruk conseille de passer par le belge qui conserve le système décimal dans son écriture numérale pour faire comprendre la logique aux élèves.
Quatre-vingt-dix :
Voici encore, comme le dit Baruk, une « paresse » de la langue. Il n’a pas été inventé de nouveau mot pour une nouvelle dizaine, donc on a juxtaposé « dix ». Une fois, la logique de « quatre-vingt » acquise, l’apprentissage du « quatre-vingt-dix » suit le même principe et aussi les mêmes difficultés que « soixante-dix ». Il faut donc, pareillement, commencer par où « dix » s’entend (par exemple avec 97), puis ensuite passer à quand il ne s’entend pas avec les « cachottiers ».
Les mots « cent » et « mille » :
Lorsque le mot « cent » ou le mot « mille » sont tout seuls, cela signifie en réalité « un cent » ou « un mille ». Il s’agit donc encore d’une irrégularité de la langue qui fait naitre des difficultés pour lire, dire et écrire des nombres.

La notion de système en base dix

À partir du rang des centaines, l’élève prend conscience que pour passer au rang de numération supérieur, il faut accumuler dix fois le rang inférieur de numération. Par exemple, il faut posséder 10 dizaines pour avoir une centaine. Cela rejoint le principe de groupement évoqué précédemment.
L’élève doit donc comprendre et assimiler ce principe de conversion : lorsqu’on a dix spécimens d’un même rang de numération, on obtient un spécimen du rang de numération supérieur.

La valeur positionnelle des chiffres

Pour savoir ce que vaut un chiffre dans un nombre, il faut l’analyser dans ce dernier en fonction de sa place. Cela rejoint le principe de position évoqué précédemment. L’élève doit prendre conscience qu’en fonction de sa position dans le nombre, le chiffre à une signification différente. Par exemple, dans le nombre 222, le 2 le plus à gauche signifie « deux centaines » ou « deux cents », le 2 au milieu signifie « deux dizaines » ou « vingt » et le 2 le plus à droite signifie juste « deux ». Baruk explique aux enfants qu’il « dit la vérité ».

Les grands nombres

Il est difficile de lire un grand nombre sans organisation, par exemple : 123456789. Il est essentiel d’expliquer aux élèves que pour lire et écrire un grand nombre, il faut le séparer en tranches de 3 en partant du chiffre des unités. Ainsi, on obtient : 123 456 789. Ensuite, il convient de donner le nom de chaque tranche : « millions » « mille »… pour que la lecture se fasse simplement. Ces tranches sont ce qu’on appelle des « classes ».

Les nombres qui se vident

La véritable difficulté ne réside pas dans la lecture des grands nombres mais dans leur écriture, aussi bien avec la langue numérique et numérale. Lorsque l’élève fait face à des nombres pleins, leur écriture ne pose pas trop de problème. La difficulté apparait lorsque le nombre se vide avec l’apparition de zéros à certains rangs de numération. En effet, nous pouvons constater que dans :
 l’écriture numérale : on dit et on écrit « combien il y en a »
 l’écriture numérique : on écrit « combien il y en a » et « combien il n’y en a pas », c’est-à-dire qu’on écrit les zéros.
Par exemple, pour 602, on peut percevoir que dans son écriture numérique est écrit combien il y a de centaines, combien il y a d’unités et combien il n’y a pas de dizaines. Alors que dans son écriture numérale : « six-cent-deux », on n’écrit pas « six-cent-zéro-dizaine-deux ».
Cela représente donc une difficulté pour les élèves car il faut qu’ils écrivent en écriture numérique, ce qu’ils ne voient pas dans l’écriture numérale.

Unité, un mot aux sens multiples

Baruk nous explique qu’une unité est d’une manière générale, « ce qui compte pour un » (Baruk, 1997). Mais les unités sont, en réalité, diverses :
– les unités qui sont des nombres : dizaines, centaines… ;
– les unités qui sont les unités de mesure usuelles du système métrique : ce sont des
« nombres-de » mathématiques ;
– les unités qui sont des « nombres-de » non mathématiques (exemple : 1 orange ou 1 caisse d’oranges).
Elle n’a donc pas pour seule fin d’accompagner le mot dizaine, et l’enseignant se doit d’expliquer ses différentes significations à ses élèves.

Les mots « chiffre » et « nombre » un obstacle culturel

Un « chiffre » est un symbole. Ils sont au nombre de dix et ils permettent d’écrire n’importe quel nombre. Un nombre est un ensemble de chiffres. Faisons l’analogie avec notre alphabet. Une lettre est un symbole. Elles sont au nombre de vingt-six et elles permettent d’écrire n’importe quel mot. Un mot est un ensemble de lettres. Le problème est que le mot « chiffre » est utilisé dans notre société au sens de nombre. Prenons pour exemple le nombre 524. Nous pourrons entendre dire d’un enseignant : « dans 524, il y a 5 centaines, 2 dizaines et 4 unités. » Ce dernier pourrait demander ensuite à ses élèves « combien y a-t-il d’unités dans 524 ? » Il ne serait pas étonnant d’entendre la réponse « quatre ». Dans ce discours, les chiffres sont énoncés au sens de nombre. Il serait donc plus judicieux de dire : « Dans 524, 5 est le chiffre des centaines, 2 est le chiffre des dizaines, 4 est le chiffre des unités. » Le langage est ainsi primordial en mathématiques et l’enseignant se doit d’être le plus précis possible.
La prise en compte de ces obstacles doit inciter l’enseignant à veiller à la construction de son scénario pédagogique pour que l’élève puisse les surmonter. Il doit également veiller à son langage qui doit être le plus précis possible. Cependant, pour surmonter ces obstacles, il convient aussi de s’intéresser à comment faire des mathématiques à l’école et donc à la didactique des mathématiques.

LA DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES :

Définition :

Selon Brousseau, la didactique des mathématiques est une science qui étudie les conditions spécifiques qui amènent à la diffusion des connaissances mathématiques. Elle fait intervenir deux acteurs : l’enseignant et l’apprenant. Plus précisément, elle met en lumière les conditions dans lesquelles l’enseignant tente de modifier les connaissances d’un apprenant, lorsque celui-ci est incapable de le faire seul et n’en éprouve pas le besoin. Un projet didactique a donc pour objectif de transmettre un savoir à un apprenant.

la théorie des situations didactiques en mathématiques :

Cette théorie, développée par Brousseau, prend en considération l’étude de plusieurs objets didactiques.
Situation mathématique
Il appelle situation mathématique le système qui constitue les conditions d’une des utilisations particulières d’une connaissance mathématique. Dans ce système, que l’on peut qualifier d’institution, on retrouve un ou plusieurs protagonistes, appelés sujets : élève, professeur… qui ont un rôle à jouer et qui sont reliés par des relations réciproques. Ces protagonistes évoluent dans un
milieu constitué d’objets (physiques, culturels, sociaux, humains) avec lesquels le sujet interagit 17
dans une situation. La situation vise la transformation de ce milieu selon un projet. Le sujet subit une évolution parmi des états possibles et autorisés par le milieu vers un état terminal qu’il juge conforme à son projet. La situation permet d’analyser et de comprendre les décisions des sujets. Actant et milieu :
« Le milieu est le système antagoniste de l’actant. » (Brousseau, 1998) Le milieu est donc défini par Brousseau comme tout ce qui agit sur l’élève ou ce sur quoi l’élève agit dans une situation d’action. L’actant est ce qui agit sur le milieu tout en respectant les règles de la situation. L’actant élève agit sur ce milieu en fonction de ses connaissances.
Les situations didactiques et les situations a-didactiques :
– les situations didactiques : ont une visée d’enseignement. L’actant enseignant a l’intention de modifier ou de faire naitre des connaissances chez un autre actant, l’actant élève. Il organise alors un dispositif qui permet à l’actant élève de s’exprimer par des actions. Cette volonté de l’enseignant est explicitée à l’élève.
– les situations a-didactiques : font parties des situations didactiques. Dans ces situations, une partie du contrat didactique n’est pas révélée puisque qu’une partie des objectifs d’enseignement n’est pas révélée par le professeur à l’élève. L’évolution de l’actant élève n’est soumise à aucune intervention didactique directe.
Ainsi une situation est la modélisation des enjeux et des possibilités de décisions d’un actant élève dans un certain milieu. L’enseignant doit la choisir judicieusement pour qu’elle ne puisse être résolue qu’en employant la connaissance mathématique visée. « La détermination d’une connaissance mathématique par un problème dont cette connaissance est la solution » (Brousseau, 1998) est le concept théorisé dans cette théorie des situations didactiques en mathématiques (TSDM). Mais il peut exister plusieurs situations qui mènent à une même connaissance. La TSDM vise donc à classer ces situations selon leur structure (action, formulation, validation…) notamment celles qui déterminent des types de connaissances (modèles implicites d’actions, langages, théorèmes…).

Table des matières

Introduction
1. Constats relevés
A. Présentation rapide du contexte du stage
B. Description de ces constats
1. Les difficultés rencontrées en classe
2. Les obstacles en numération
3. La didactique des mathématiques
4. Le tableau numérique interactif
C. Conclusion de ces constats
2. Actions mises en place
A. Sélection des élèves
B. Organisation de la remédiation pédagogique
C. Outils d’analyse
3. Analyse des résultats de ces actions
A. Observations réalisées durant les séances d’APC
B. Analyse des entretiens
C. Analyse des résultats aux évaluations
D. Discussion de ces analyses
Conclusion
Bibliographie et sitographie

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