Soutenance mémoire
Problemes a echelles multiples et distance exponentiellement petite entre les deux branches d’une orbite homocline perturbee
Dans certains probl`emes o`u des ´echelles multiples en le param` etre ε coexistent (par exemple une orbite homocline de taille 1 coupl´ee avec une rotation `a vitesse O( 1 ε ), ou encore un for¸cage periodique de frequence O( 1ε )), la fonction de Melnikov ou/et la distance entre la variete stable et le plan de sym´etrie sont des quantit´es exponentiellement petites en le param`etre ε, donnees par des int´egrales oscillantes. Dans un tel cas, l’existence ou la non existence de l’intersection entre les vari´et´es stable et instable qui correspond `a l’annulation ou non de la fonction de Melnikov est difficile `a ´etablir.
Cadre Hamiltonien
Sanders [61] a le premier soulign´e l’apparition de ce genre de probl`emes dans le cadre Hamiltonien : quand on applique la m´ethode de Melnikov `a un syst`eme apr`es l’avoir mis sous forme normale de Birkhoff, on obtient une fonction de Melnikov qui d´epend de la taille ε de la perturbation (entre la forme normale et le syst`eme complet), mais qui d´epend aussi de la vitesse `a laquelle varie la variable angle (la fr´equence) le long de l’orbite homocline de la forme normale. Cette fonction de Melnikov prend alors la forme d’une int´egrale oscillante, de taille exponentiellement petite en ε si la fr´equence est en O( 1 ε ). Lazutkin [43] a eu l’id´ee de chercher des estimations plus pr´ecises des int´egrales oscillantes dans le cadre analytique en prolongeant le probl`eme dans le plan complexe et en utilisant des r´esultats du type du th´eor`eme des r´esidus. De nombreux r´esultats de majorations de la fonction de Melnikov ont ´et´e obtenus ensuite sur des probl` emes mod`eles `a un ou deux degr´es de libert´e avec for¸cage p´eriodique rapide [56, 19, 30, 20], puis sur des cas plus g´en´eraux de for¸cage quasip´eriodique, faisant intervenir des probl`emes fins de petits diviseurs [63, 62].
M´ethode formelle ”asymptotics beyond all orders” et m´ethode rigoureuse dans le cadre r´eversible
Un probl`eme similaire apparait dans un mod`ele physique de croissance de cristaux ´etudi´e par Dashen et al. [15] : l’existence d’une orbite h´et´erocline est soumise au calcul d’une int´egrale oscillante. Ce probl`eme a ´et´e ´etudi´e tout d’abord de mani`ere rigoureuse par Hammersley et Mazzarino [28], Amick et McLeod [1], mais avec des arguments sp´ecifiques `a ce mod`ele. De mˆeme, l’´etude de l’existence d’ondes solitaires hydrodynamiques pour l’´equation de KdV m`ene au calcul d’une int´egrale oscillante ; ce probl`eme a ´et´e r´esolu par Amick et McLeod [2], mais en utilisant fortement la sp´ecificit´e de l’´equation.
Kruskal et Segur [42] ont propos´e une approche formelle (non rigoureuse) pour le mod`ele de croissance des cristaux bas´ee sur des d´eveloppements asymptotiques ; cette approcheest souvent appel´ee ”asymptotics beyond all orders”, et s’adapte `a de nombreux autres probl`emes faisant intervenir des termes exponentiellement petits. Elle a par exemple ´et´e utilis´ee par Hakim [26] pour le mod`ele de digitation visqueuse de Saffman-Taylor ainsi que pour le probl`eme des orbites homoclines pour un syst`eme Hamiltonien avec for¸cage rapide [27]. Cette m´ethode a aussi inspir´e des travaux en hydrodynamique [21, 65]. S’inspirant des ces approches formelles, une ´erie de travaux rigoureux, initi´ee par Hunter et Scheurle [31], a ensuite port´e sur l’existence d’ondes solitaires g´en´eralis´ees (i.e. d’orbites homoclines `a des petites orbites p´eriodiques voisines du point d’´equilibre) ; l’estimation des int´egrales oscillantes permet dans ce cas de connaitre la taille minimale `a partir de laquelle les orbites p´eriodiques admettent une orbite homocline. Des raffinements successifs permettant de montrer l’existence d’orbites homoclines `a des orbites p´eriodiques de plus en plus petites ont ensuite ´et´e calcul´es : Amick et Toland [3] pour KdV ; Sun et Shen [64] puis
Lombardi [46] pour l’´equation d’Euler. Lombardi [47] a ensuite g´en´eralis´e et formalis´e ces travaux en terme g´en´eral de bifurcations de syst`emes r´eversibles. Ses r´esultats ont permis ensuite entre autres de mener des travaux similaires dans le cas d’une chaine d’oscillateurs coupl´es [7, 34].
Forme normale avec reste exponentiellement petit
Pour traiter des probl`emes tels que ceux d´ecrits ci-dessus en 3.1, il ´etait alors naturel de chercher `a am´eliorer les r´esultats de formes normales jusqu’`a un degr´e n, pour lesquels le reste (et donc la perturbation `a rajouter `a l’´etape 2 d´ecrite dans la partie 1.1) est de taille O(|x| n ). En s’autorisant `a choisir le degr´e n auquel on applique le th´eor`eme de forme normale, Iooss et Lombardi [37] ont obtenu, sous certaines hypoth`eses dont l’analyticit´e du champ de vecteur, que par un choix optimal nopt du degr´e on obtient un reste Rnopt de taille exponentiellement petite ([35] explique comment ces r´esultats s’appliquent dans le cadre de la partie 3.1). Les mˆemes auteurs [36] ont ensuite transpos´e leur m´ethode de d´emonstration qui s’adapte `a la construction de quasi-vari´et´es invariantes `a un exponentiellement petit pr`es.
La question de la taille du reste dans la forme normale peut aussi apparaitre naturellement en reformulant la question de la convergence pos´ee dans la partie 1.3 : dans les cas o`u on n’arrive pas `a montrer que la s´erie des formes normales converge (et donc que cette s´erie est une fonction analytique), on peut affaiblir le r´esultat en cherchant si la s´erie v´erifie des estimations Gevrey. C’est en effet en d´emontrant que la s´erie des formes normales successives v´erifie des estimations Gevrey que le r´esultat de reste exponentiellement petit est d´emontr´e dans [37].
Travail realise dans cette these
L’objet de cette these est de creuser certains aspects des probl` emes li´es aux ph´enom`enes exponentiellement petits.
Dans le premier chapitre, on d´emontre un th´eor`eme de forme normale avec reste exponentiellement petit, dans la lign´ee de celui d´emontr´e par Iooss et Lombardi [37].
On s’int´eresse dans ce premier chapitre `a un champ de vecteurs analytique non autonome p´eriodique en temps. Elphick et al. [17] ont d´emontr´e un r´esultat de forme normale non autonome au degr´e n pour les champs de vecteurs non autonomes p´eriodiques.
Il ´etait donc naturel de chercher `a savoir si, comme dans le cadre autonome trait´e par Iooss et Lombardi [37], on pouvait obtenir une estimation Gevrey de la s´erie des formes normales, ainsi qu’une majoration exponentiellement petite du reste pour un choix optimal du deg ´e n. On obtient bien un tel r´esultat. La principale difficult´e ´etant que le raisonnement amenant `a la d´emonstration des estimations Gevrey passe d’un probl`eme en dimension finie (pour le cas autonome) `a un probl`eme en dimension infinie d´enombrable : on travaille ici dans l’espace des fonctions p´eriodiques. De plus, le produit scalaire utilise par Elphick et al. [17] pour le choix de l’espace suppl´ementaire auquel appartiennent les monomes resonants (voir partie 1.2) est sensiblement modifi´e pour bien arriver au resultat escompte.
Chapitre 2
Dans le deuxi`eme chapitre, on s’int´eresse `a l’existence d’orbites homoclines au voisinage d’un point d’´equilibre d’une famille de champs de vecteurs Hamiltoniens passant par une r´esonance 0 2 iω. La mˆeme question a ´et´e ´etudi´ee par Lombardi [47] pour des champs de vecteurs r´eversibles et non Hamiltoniens. Dans les deux cas, on montre tout d’abord qu’il existe au voisinage de l’´equilibre une famille d’orbites p´eriodiques (th´eor`eme de Lyapunov-Moser pour le cadre Hamiltonien, th´eor`eme de Lyapunov-Devaney pour le cadre r´eversible). Dans son cas, une normalisation par le th´eor`eme de forme normale de Elphick et al. [18] fait apparaitreune forme normale admettant des orbites homoclines `a chacune des orbites p´eriodiques.
Il utilise ensuite la m´ethode de perturbation d´ecrite dans la partie 2.2.b pour ´etudier la persistence de ces orbites homoclines pour le syst`eme complet. Or, la bifurcation 0 2 iω est un cas de figure tel que d´ecrit dans la partie 3.1, et la distance entre l’espace de sym´etrie et la vari´et´e stable `a l’´equilibre ou `a une orbite p´eriodique s’exprime comme une int´egrale oscillante, exponentiellement petite, au voisinage de la r´esonance 0 2 iω. Il obtient alors l’existence d’orbites homoclines aux orbites p´eriodiques de taille sup´erieure `a une fonction exponentiellement petite κ 1 en le param`etre de bifurcation ; il montre mˆeme de plus qu’il existe une deuxi`eme fonction exponentiellement petite κ 2< κ1 telle que les orbites p´eriodiques de taille inf´erieure `a κ2 n’admettent pas d’orbites homoclines `a une boucle.
Dans le cas Hamiltonien ´etudi´e dans ce deuxi`eme chapitre, on obtient l’existence d’orbites homoclines `a toutes les orbites p´eriodiques aussi proches de l’´equilibre que l’on veut.
Cependant, la question de l’existence d’une orbite homocline `a l’´equilibre reste ouverte.
On d´emontre tout d’abord un th´eor`eme de forme normale canonique (i.e. pr´eservant la structure Hamiltonienne). On s’inspire pour cela de la m´ethode bas´ee sur la construction d’un produit scalaire de Elphick et al. [18], en l’adaptant au cadre Hamiltonien. L’esprit de ce theoreme est donc diff´erent de celui formes normales de Birkhoff. Le syst`eme Hamiltonien sous forme normale admet des orbites homoclines `a l’´equilibre et aux orbites p´eriodiques voisines. On utilise ensuite la m´ethode de perturbation de Conley d´ecrite dans la partie 2.2.c. Pour cela, on utilise le r´esultat de normalisation locale de Moser [52], qu’on affine avec des estimations en fonction du param`etre de bifurcation. Ensuite, en construisant une courbe invariante pour l’application de Poincar´e avec un th´eor`eme KAM, on obtient un confinement des it´erations de l’application de premier retour. On conclut alors par un argument de conservation de l’aire par le flot Hamiltonien.
Les travaux sur les orbites homoclines au voisinage d’une r´esonance 02iω sont motiv´es par l’apparition d’une telle r´esonance en hydrodynamique, pour des ´equations `a la fois r´eversibles et Hamiltoniennes. Avec ce point de vue, le r´esultat obtenu dans ce chapitre est une mani`ere de contourner, par des m´ethodes particuli`eres aux syst`emes Hamiltoniens, le probl`eme li´e `a la distance exponentiellement petite entre les branches des orbites homoclines rencontr´e dans le cadre r´eversible. Malheureusement, pour obtenir ce r´esultat on fait une hypoth`ese suppl´ementaire sur la partie quadratique du Hamiltonien qui n’est pas v´erifi´ee dans les ´equations hydrodynamiques, et est essentielle pour l’obtention du r´esultat.
On s’attend `a obtenir un comportement chaotique au voisinage de l’origine dans le cas o`u cette hypoth`ese n’est pas v´erifi´ee, mais cette question reste ouverte, tout comme la question de la dynamique obtenue dans le cas o`u le champ de vecteur est seulement C k et pas analytique.
Orbites homoclines `a plusieurs boucles pres d’un point d’equilibre a resonance 02 iω pour des systemes
Hamiltoniens
Introduction
Resonance 0 2 iω pour les champs de vecteurs Hamiltoniens
Dans ce chapitre, on s’int´eresse `a des familles `a un param`etre de champs de vecteurs Hamiltoniens analytiques r´eels `a 2 degr´es de libert´e. Soit Hε une famille de Hamiltoniens analytiques, et Ω une forme symplectique sur R 4 ; on ´etudie alors la famille de champs devecteurs VHε := Ω∇Hε.
On suppose que ces champs de vecteurs admettent un point d’´equilibre plac´e `a l’origine.
On ´etudie la dynamique du champs de vecteurs au voisinage de ce point d’´equilibre.
On dit que le point d’´equilibre 0 est non d´eg´en´er´e si la partie lin´eaire en 0 du champ de vecteur est inversible, ou encore de mani`ere ´equivalente si la partie quadratique du Hamiltonien est non d´eg´en´er´ee. Pour les champs de vecteurs Hamiltoniens de R 4, on distingue trois types de points d’´equilibre non d´eg´en´er´es, selon le nombre de valeurs propres imaginaires pures de la partie lin´eaire. On rappelle que comme le champ de vecteurs est r´eel, les valeurs propres complexes de la partie lin´eaire sont n´ecessairement conjugu´ees deux `a deux, et que comme on est dans un cadre Hamiltonien, les valeurs propres sont n´ecessairement des paires d’oppos´es. Il y a donc trois cas de figure possibles :
– si la partie lin´eaire a 4 valeurs propres imaginaires pures (deux paires de valeurs propres conjugu´ees), on dit que le point d’´equilibre est Elliptique ;
– s’il y a 2 valeurs propres imaginaires pures (conjugu´ees entre elles) et 2 valeurs propres r´eelles oppos´ees, on dit qu’on a un point d’´equilibre de type Centre-Selle ;
– s’il n’y a pas de valeurs propres imaginaires pures, le spectre du lin´earis´e est constitu´e de deux paires de r´eels oppos´es, et on parle de point d’´equilibre Hyperbolique.
On va s’int´eresser dans ce chapitre `a une famille de Hamiltoniens Hε pour laquelle le point d’´equilibre 0 passe pour ε = 0 du type Elliptique (quand ε < 0, pour fixer les id´ees) au type Centre-Selle (pour ε > 0). En ε = 0, Hε traverse donc l’ensemble des singularit´es d´eg´en´er´ees pour lesquelles le spectre de la partie lin´eaire est constitu´e d’une paire de valeurs propres imaginaires pures conjugu´ees et de 0 comme valeur propre double (voir Figure 2.1). La situation g´en´erique dans cet ensemble est celle o` u la valeur propre double 0 n’est pas semi-simple, i.e. le cas o`u le noyau du lin´earis´e en 0 est de dimension exactement un (et pas deux). Dans ce cas, on dit que la famille de champs de vecteurs VHε a une singularit´e 0 2 iω en 0.
R´esonance 0 2 iω dans le cadre r´eversible
Des r´esultats ont ´et´e ´etablis surtout pour la r´esonance r´eversible 0 2+ iω : c’est la r´esonance 0 2 iω r´eversible avec une hypoth`ese suppl´ementaire sur l’action de la sym´etrie de r´eversibilit´e sur les vecteurs propres du lin´earis´e du champ de vecteurs. Le cas des ´equations de la m´ecanique des fluides ci-dessus est un cas de r´esonances 0 2+ iω.
Cette r´esonance a ´et´e ´etudi´ee par Iooss et Kirchg¨assner [33], puis en d´etails par Lombardi [47] ainsi que par Iooss et Lombardi [35]. Les r´esultats obtenus concernent toujours la ”demi-bifurcation” pour laquelle le point d’´equilibre est de type Centre-Selle (ε > 0 sur la Figure 2.1). Pour ε suffisamment proche de 0, le point d’´equilibre Centre-Selle 0 est entour´e d’une famille d’orbites p´eriodiques, et Lombardi [47] a d´emontr´e qu’il existe des orbites homoclines `a certaines des orbites p´eriodiques proches de l’origine, mais pas d’orbite homocline `a 0. Plus pr´ecis´ement, il existe deux fonctions positives κ 1 (ε) > κ2(ε) exponentiellement petites, i.e. de la forme.
Orbites homoclines `a plusieurs boucles dans le cadre Hamiltonien
Dans ce chapitre on s’int´eresse `a la dynamique d’une famille de syst`emes Hamiltoniens au voisinage d’un point d’´equilibre Centre-Selle, pr`es d’une singularit´e de type 0 2 iω. Sous certaines hypoth`eses, on va d´emontrer qu’ici aussi il existe une famille d’orbites ´eriodiques entourant le point d’´equilibre, puis que les orbites p´eriodiques aussi proches de l’´equilibre que l’on veut (`a l’exclusion du point fixe lui-mˆeme) admettent chacune une orbite homocline, ´eventuellement `a plusieurs boucles.
Ce r´esultat am´eliore celui trouv´e dans le cadre r´eversible, puisqu’on ne trouve pas de taille critique pour les orbites p´eriodiques admettant des orbites homoclines. Dans le cadre des r´esultats pour les syst`emes Hamiltoniens, il est `a noter qu’on prouve l’existence d’orbites homoclines pour ce cas de r´esonance 0 2 iω sans faire d’hypoth`ese pr´ealable d’existence d’orbite homocline `a 0.
Malheureusement, dans la d´emonstration on utilise une hypoth`ese (l’hypoth`ese (H6) dans la partie 2 de ce chapitre) qui assure que la partie quadratique du Hamiltonien soit d´efinie positive pour l’´equilibre Elliptique au voisinage de la r´esonance 0 2 iω. Or cette hypoth`ese n’est pas v´erifi´ee dans le cadre hydrodynamique (d´ecrit ci-dessus dans la partie 1.2 de cette introduction) qui avait motiv´e les travaux sur la r´esonance 0 2iω.
La d´emonstration s’inspire d’une part de la m´ethode bas´ee sur les formes normales utilis´ee dans les pr´ec´edents travaux sur la r´esonance 0 2+ iω, et d’autre part de la m´ethode d´ecrite ci-dessus initi´ee par Conley dans [13] utilis´ee dans les pr´ec´edents travaux sur les ´equilibres centre-selle Hamiltoniens. En effet, on commence par d´emontrer un th´eor`eme de forme normale (Th´eor`eme 2.3 ci-dessous) qui pr´eserve la structure Hamiltonienne. Lorsqu’on tronque le reste de la forme normale dans le nouveau syst`eme Hamiltonien, on obtient un syst`eme pour lequel il existe une orbite homocline `a 0 explicite. On peut ensuite utiliser une m´ethode du type de celle de Conley ([13], description ci-dessus) en voyant le syst`emeHamiltonien comme une perturbation de la forme normale.
L’´equilibre centre-selle au voisinage de la r´esonance 02 iω admet une paire de valeurs propres hyperboliques dont la partie r´eelle tend vers 0, et une paire de valeurs propres imaginaires pures de taille 1 (voir Figure 2.1). Il y a donc coexistence de deux ´echelles, qui correspondent pour la forme normale `a des orbites homoclines de taille ε coupl´ees avec une rotation `a une fr´equence d’ordre 1. C’est la comp´etition entre ces deux ´echelles qui fait apparaitre les ph´enom`enes exponentiellement petits ´etudi´es dans le cas r´eversible par Lombardi [47].
Le fait que l’orbite homocline varie complique l’approche perturbative : c’est pourquoi on fait ensuite une changement d’´echelle, en espace et en temps, qui permet de fixer la taille de l’orbite homocline du syst`eme tronqu´e `a l’ordre 1 quand ε tend vers 0. Le probl`eme est alors d´eplac´e : on doit maintenant tenir compte du couplage de l’orbite homocline avec une rotation rapide (en pratique : des termes en 1 ε ). Ce qui impose des estimations tr`es pr´ecises sur la taille des voisinages de validit´e des objets construits, et notamment de rentrer dans les d´etails du changement de coordonn´ees local utilis´e par Conley, d´emontr´e par Moser [52], pour v´erifier le rˆole jou´e par les param`etres (voir Annexe C).
La coexistence de ces deux ´echelles est donc `a la fois ce qui fait marcher le raisonnement : la th´eorie des formes normales ´etant une th´eorie locale, elle n’est applicable que parce que les orbites homoclines sont de petite taille ; mais c’est aussi ce qui pose ensuite toutes les difficult´es techniques pour adapter les raisonnements utilis´es dans les travaux pr´ec´edents sur les ´equilibres centre-selle Hamiltoniens.
Plan du chapitre
Dans la partie 2 ci-dessous, on donne un ´enonc´e pr´ecis des r´esultats d´emontr´es dans ce chapitre : le r´esultat d’existence d’orbites homoclines (Th´eor`eme 2.2), ainsi que le th´eor`eme de forme normale (Th´eor`eme 2.3) utilis´e dans la d´emonstration. Dans la partie 3 se trouve la d´emonstration du Th´eor`eme 2.2, dont les parties plus techniques sont ´enonc´ees sous forme de propositions d´emontr´ees dans les parties suivantes 4, 5, 6 et 7. La d´emonstration du Th´eor`eme 2.3 se trouve en Annexe A, les raffinements du r´esultat de Moser [52] en
Annexe C, avec en Annexe B des r´esultats techniques concernant la relation d’ordre ≺ utilis´ee dans l’Annexe C.
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Table des matières
Introduction
1 Theorie des formes normales au voisinage d’un point d’equilibre
1.1 Aspects ´elementaires, motivations
1.2 Normalisation jusqu’a un degren
1.3 Des cas de formes normales convergentes
2 Orbites homoclines
2.1 Motivations physiques
2.2 Construction d’orbites homoclines par perturbation
3 Ph´enom`enes exponentiellement petits
3.1 Problemes a echelles multiples et distance exponentiellement petite entre les deux branches d’une orbite homocline perturbee
3.2 Forme normale avec reste exponentiellement petit
4 Travail realise dans cette these
1 Normalisations avec restes exponentiellement petits pour des champs de vecteurs analytiques non autonomes p´eriodiques
1 Introduction
2 Notations and main results
2.1 A few notations
2.2 Uncoupling subsets of coordinates
2.3 Normal form
3 Proof of theorem 2.7
3.1 Strategy of proof
3.2 Norms on Pp (E0 , H j (R/T Z, R m ))
3.3 Step A : construction of Φ
3.4 A few properties of norms
3.5 Step B : Choice of p = popt , upper bound for the remainder
3.6 Step C : Upper bound for V1
4 Proof of theorem 2.14
4.1 Notations, strategy of construction for Φ and N
4.2 Affine equation on H n (R m , H ℓ (R/T Z, R m))
4.3 End of the proof (sketch)
2 Orbites homoclines `a plusieurs boucles pr`es d’un point d’´equilibre `a r´esonance 02iω pour des syst`emes Hamiltoniens
1 Introduction
1.1 R´esonance 02iω pour les champs de vecteurs Hamiltoniens
1.2 R´esonance 02iω et hydrodynamique
1.3 R´esonance 2iω dans le cadre r´eversible
1.4 Orbites homoclines `a un point centre-selle dans le cadre Hamiltonien
1.5 Orbites homoclines `a plusieurs boucles dans le cadre Hamiltonien
Enonc´e des principaux r´esultats
3 Structure de la d´emonstration du Th´eor`eme 2.2
3.1 Normalisation et changement d’echelle, etude des formes normales de degre 3 et n
3.2 Construction de l’application de premier retour `a la section
3.3 Construction d’une courbe invariante pour l’application de premier retour par un th´eor`eme KAM
3.4 D´emonstration du Th´eor`eme 2.2
4 Forme normale et changement d’´echelle : d´emonstration de la Proposition 3.1
5 Existence de l’application de premier retour `a Σ 1 : d´emonstration des Propositions 3.3 et 3.4
5.1 Ecriture de Σ1 sous forme de graphe dans les coordonn´ees locales (ξ 1 , η 1 , ξ 2 , η 2)
5.2 R´egularit´e du flot `a la rotation pr`es
5.3 D´emonstration de la proposition 3.3 : existence de l’application globale de Σ
2 `a Σ1
5.4 Demonstration de la proposition 3.4 : existence et r´egularit´e de l’application compl`ete de retour `a Σ1
Ecriture des restrictions de l’application de premier retour comme des diff´eomorphismes d’un anneau de R 2: d´emonstration de la Proposition 3.5
6.1 D´emonstration du (i) de la proposition 3.5 : dans Σ, ´ecriture de la vari´et´e centre-stable W cs (0) comme un graphe
6.2 Deux lemmes pour la d´emonstration du (ii) de la proposition 3.5 : g´eom´etrie des W s (P a ) sur le graphe de W cs (0)
6.3 D´emonstration du (ii) de la Proposition 3.5 : dans la section Σ 1 ,ecriture du niveau d’´energie de P a sous forme de graphe ; positions relatives de ce graphe et de celui de W cs (0)
6.4 D´emonstration du (iii) de la Proposition 3.5 : existence d’une restriction de Ψ dans le domaine o`u le niveau d’´energie de P a s’ecrit comme un graphe
7 Construction d’une courbe invariante pour les restrictions de l’application de premier retour par un th´eor`eme KAM : d´emonstration de la Proposition 3.8
7.1 Estimations pour l’application de premier retour pour la forme normale du syst`eme, Ψ a (ε,ε 2 ,0)
7.2 Majoration C k de Ψ a (ε,ε 2 ,µ) − Ψ a (ε,ε 2 ,0)
7.3 Changement de coordonn´ees, d´emonstration de (ii),(iii) et (iv ) de la Proposition 3.8
7.4 Les applications ˆ Ψ a sont exactes
A Annexe. D´emonstration du Th´eor`eme 2.3
B Annexe. Lemmes techniques en lien avec la relation d’ordre ≺
C Annexe. Construction d’un changement de coordonnees local canonique : démonstration de la Proposition 3.2
C.1 Diagonalisation / passage en complexes
C.2 Premi`ere famille de changements de coordonnees, Fε, pas encore canoniques
C.3 Construction de la famille de changements de coordonn´ees canoniques F∗ε
C.4 Majoration de F ∗ ε − F ∗ 0
C.5 Retour dans R 4, d´emonstration de la Proposition C.1
Bibliographie
Table des figures
Table des symboles
Resume / Abstract
