Optimisation topologique des transferts de masse et de chaleur

Résolution des équations aux dérivées partielles

Quelle que soit la méthode d’optimisation envisagée, son pré-requis repose sur la résolution d’une ou plusieurs équations aux dérivées partielles régissant le ou les phénomènes physiques considérés : équation de la chaleur, équation de Navier-Stokes, équation de l’énergie. Etant donné que les géométries sujettes au processus d’optimisation ne sont pas triviales, ce qui exclut leur résolution analytique, il convient d’envisager une méthode numérique s’appuyant sur une discrétisation des structures. Parmi les différents outils présents dans la littérature, trois méthodes se distinguent particulièrement : les différences finies , les volumes finis ou les éléments finis. La méthode des différences finies utilise une approximation des dérivées partielles, tandis que les volumes et éléments finis se fondent à l’inverse sur une approximation des intégrales, notamment grâce au théorème de GreenOstrogradski dans le cas des volumes finis. La différence entre les schémas en volumes finis et en éléments finis peut également être vue en terme de formulation forte ou de formulation faible, cette dernière étant également connue sous le nom de formulation variationnelle.
La méthode choisie dans le cadre de la thèse est celle des volumes finis pour deux raisons en particulier. En premier lieu, la finalité des travaux de recherche est d’établir une méthodologie capable d’aborder l’optimisation de transferts de masse et de chaleur, impliquant nécessairement la résolution d’un écoulement fluide. Dans ce contexte, les bases académiques de la méthode des volumes finis sont déjà bien posées et tirent avantage de sa propriété intrinsèque de conservation des flux . Il faut noter que l’avantage de la formulation variationnelle propre aux éléments finis est de disposer des résultats théoriques de l’analyse fonctionnelle, permettant de prouver l’optimalité des convergences.
L’objet du présent travail de recherche ne visant pas à établir ce type de preuve, la méthode des volumes finis semble mieux adaptée, notamment parce qu’elle permet une compréhension physique plus poussée du traitement mathématique du couplage pression-vitesse.
Le second point préconisant l’utilisation de la méthode des volumes finis est d’ordre plus pragmatique. Un des buts également poursuivi par cette thèse vise au développement d’un outil numérique permettant l’optimisation topologique de configurations industrielles. Or, le monde de l’industrie est rompu à l’utilisation des volumes finis, notamment par les nombreux codes de calculs commerciaux s’appuyant sur cette méthode. Concevoir un outil d’optimisation topologique dans le contexte de la mécanique des fluides numérique semble inévitablement devoir s’appuyer sur les volumes finis, afin d’assurer une certaine forme de continuité avec l’existant.

Evolution structurelle par attraction locale

L’idée de mouvoir la matière en se basant sur un critère local pour qualifier la pertinence, ou non, de sa présence dans un champ thermique a été initialement développée par Xia et al. en 2002 et Cheng et al. en 2003. En s’inspirant de l’idée de la croissance et de la décroissance dans la nature, ils arguent que les parties des organismes biologiques se développant sont ceux qui sont sollicités, et inversement. En se basant sur le gradient de température comme critère de sollicitation, ils développent une méthode dite d’optimisation bionique de régénérescence et dégénérescence des structures. Cependant, très peu d’indications sont fournies à la fois sur la structuration exacte de l’algorithme et sur les paramètres physiques exploitant le critère de sollicitation. Xu et al. comparent les résultats de l’optimisation bionique à ceux provenant de la théorie constructale et d’algorithmes métaheuristiques, cette dernière méthode surclassant les deux premières selon les critères de performance établis par les auteurs. Song et Guo ont également comparé ces trois méthodes, mais en cherchant à qualifier la robustesse des structures, c’est-à-dire à caractériser la perte de performances induite par la détérioration des cellules les constituant. En 2007, Mathieu-Potvin et Gosselin ont proposé une méthode novatrice, basée sur deux critères locaux permutant successivement leur rôle dans le processus de décision : le flux de chaleur et la température. Leur approche permet ainsi d’aborder à la fois la répartition de deux matériaux de conductivités thermiques différentes, mais aussi l’agencement total du domaine de calcul. Ces travaux ont été suivis par ceux de Boichot et al. , qui complètent le principe de l’approche bionique en introduisant un critère de convergence structurel. Celui-ci permet de contrôler la vitesse de convergence de l’algorithme en maîtrisant au fil des itérations la quantité de matière concernée par le processus d’optimisation.

Méthodes d’homogénéisation

Les approches par homogénéisation, ou pénalisation selon les cas, reposent toutes sur une méthode d’optimisation numérique qui exploite la sensibilité de la fonction objectif pour établir une solution plus performante, chacune d’entre elles constituant une étape d’un processus itératif global.
L’implémentation qui en est faite ici repose sur les travaux de Svanberg , mais n’utilise pas de variables intermédiaires qui permettent notamment d’initialiser les structures en dehors de leur zone de contrainte. Comme souligné par Borrvall et Petersson dans le cas de l’optimisation d’écoulements fluides, une convergence plus rapide est obtenue si le domaine est initialisé uniquement avec du fluide, mettant ainsi en exergue les gradients de vitesse responsables de la puissance dissipée. Pour ce faire, la structure doit violer la contrainte portant sur la porosité maximale autorisée par le domaine et l’algorithme de la méthode des asymptotes mobiles doit pouvoir gérer une tel choix.
Pour pallier ce problème, il est envisagé d’implémenter une version plus complète de la méthode MMA, appelée Globally Convergent Method of Moving Asymptotes (GCMMA) , en s’appuyant sur des variables intermédiaires qui permettront d’initialiser la structure en dehors de sa zone de contraintes. De plus, cette approche réinitialise les asymptotes mobiles qui définissent la taille de l’intervalle sur lequel l’approximation convexe du sous-problème est réalisée, lorsque certains critères estiment que l’algorithme tend vers un optimum local. La méthode a été utilisée avec succès par Kreissl et al., dans le cadre de l’optimisation d’écoulements fluides instationnaires.

Optimisation des transferts de chaleur par conduction

Le problème académique dit «volume-to-point» (VP) introduit par Bejan dans le cadre de l’approche constructale  a été largement abordé dans la première partie de la thèse, puisqu’il a servi de référence pour comparer les performances des algorithmes entre eux. Dans le cadre d’une problématique purement conductive, le problème VP est plus intéressant à traiter qu’un problème aux frontières qui est généralement résolu en liant les conditions limites non-adiabatiques les unes aux autres . L’inclusion d’un taux de génération de chaleur volumique au sein du domaine oblige le réseau de matériau hautement conducteur à tenter de relier le puits de chaleur à chacun des éléments la produisant. Cependant, il apparaît possible de reformuler la problématique initiale de Bejan pour obtenir une version plus complète du problème VP : Considérons deux matériaux en quantité finie et dont les frontières sont adiabatiques, quelles que soient leur topologie. Le premier matériau est sujet à un taux de génération de chaleur constant, tandis que le second est constitué de matière hautement conductrice.
Une faible portion de l’espace est à température constante (puits de chaleur). Quelle est la meilleure distribution des deux matériaux minimisant la moyenne de température de l’ensemble du système ? En d’autres termes, un degré de liberté supplémentaire est ajouté au problème initial, considérant qu’au-delà de l’optimisation de la structure hautement conductrice, la topologie même du matériau générant de la chaleur est à reconsidérer. De plus, la notion de résistance thermique totale est requalifiée en moyenne de température, afin de conserver l’idée de minimiser la résistance au flux entre chaque point du domaine et le puits de chaleur. Ce problème s’avère complexe à résoudre algorithmiquement, puisqu’il requiert l’examen des connexions possibles entre trois domaines ayant des caractéristiques différentes : le matériau générant de la chaleur, le matériau hautement conducteur et un matériau dont la conductivité thermique tend vers zéro, permettant de simuler la condition d’adiabaticité le long des frontières.
La seconde perspective mise en lumière par l’optimisation topologique de structures conductives, et notamment avec la possibilité d’aborder des thématiques multi-objectifs au moyen de la méthode SIMP, est l’optimisation de structures assurant le stockage de l’énergie. En se basant sur le même paramétrage, mais en intégrant le terme instationnaire de l’équation de la chaleur, il semble possible de déterminer la forme d’un insert hautement conducteur assurant la répartition optimale du flux de chaleur au sein d’un matériau solide assurant son stockage. Un modèle, prenant en compte un matériau à changement de phase pourrait être également envisagé, afin de déterminer la topologie permettant de tirer parti des possibilités supplémentaires offertes par la chaleur latente de fusion.
Par ailleurs, en liant la problématique énoncée au paragraphe précédent au stockage d’énergie, et moyennant des ressources calculatoires assez conséquentes, il semble possible d’envisager la conception d’un organe stockant de la chaleur dont chaque élément aura été le sujet d’une optimisation spécifique à son rôle : transport ou stockage.

Optimisation des transferts de masse et de chaleur

Dans le cadre de l’optimisation du seul transfert de masse à travers un domaine, la méthode développée est restreinte par les conditions limites imposées sur les entrées et les sorties fluides. En effet, pour l’instant, seuls des flux de matière entrant et sortant de façon normale au domaine peuvent être considérés, puisque la fonction objectif traduisant la puissance dissipée par le fluide prend uniquement en compte la différence de pression totale dans l’écoulement. Dans l’optique d’aborder des configurations plus réalistes, des conditions limites supplémentaires doivent être implémentées, représentant une pression constante ou une sortie fluide quelconque. Dès lors, la fonction objectif doit aussi prendre en compte l’énergie consacrée à la déformation des particules fluides en sortie, puisque rien ne garantit plus que l’écoulement quitte orthogonalement le domaine. La fonction objectif doit donc se baser également sur le tenseur des taux des déformations et il est nécessaire d’évaluer la dérivée de ce dernier pour établir le membre de droite du solveur adjoint. Enfin,  le développement et la dérivation de schémas numériques plus précis, amont ou QUICK par exemple, semblent indispensables pour examiner la variation structurelle des optima engendrés par la variation du régime d’écoulement. Cet examen pourra être conduit dans le cas laminaire dans un premier temps, puis être porté dans le cas d’un régime turbulent en implémentant, et en dérivant, les modèles de fermeture adéquats .

Table des matières

1 Introduction générale 
1.1 Contexte et enjeux 
1.2 Introduction aux problématiques de l’optimisation 
1.2.1 Paramétrage des structures
1.2.2 Classification des algorithmes
1.2.3 Revue bibliographique
1.3 Méthodologie 
1.3.1 Résolution des équations aux dérivées partielles
1.3.2 Optimisation des transferts de masse et de chaleur
1.3.3 Remarques
I Optimisation topologique des échanges de chaleur en conduction 
2 Théorie constructale 
2.1 Abstract 
2.2 Introduction 
2.3 A comparative review of two constructal methodologies
2.3.1 Optimization of the elemental volume
2.3.2 Optimization of the first order construct
2.3.3 Optimization of the higher order constructs
2.4 Analytical perspectives 
2.4.1 High-conductivity material and heat generation
2.4.2 Fraction of high-conductivity material
2.5 Comparison of constructal designs
2.5.1 Presentation of the problem
2.5.2 Equivalence between φ and n1
2.5.3 Recurrence relations of the constructal problem
2.5.3.1 Recurrence relation of the square constructal problem [83]
2.5.3.2 Recurrence relation of the rectangular constructal problem [102]
2.5.4 Solver and mesh
2.5.5 Results
2.6 Conclusion 
2.7 Building algorithm
2.8 Conclusion à propos de l’approche constructale 
3 Automates cellulaires 
3.1 Evolution structurelle par attraction locale
3.1.1 Introduction
3.1.2 Principes de fonctionnement
3.1.2.1 Algorithme
3.1.2.2 Pseudo-fonctions objectif
3.1.3 Résultats
3.1.3.1 Analyse de la convergence
3.1.3.2 Influence des paramètres numériques et physiques
3.1.4 Limitations
3.1.4.1 Discontinuité du domaine hautement conducteur
3.1.4.2 Dissociation des automates cellulaires et des volumes finis
3.1.5 Comparaison avec la théorie constructale
3.1.6 Conclusion
3.2 Evolutionary Structural Optimization by extension 
3.2.1 Introduction
3.2.2 Evolutionary Structural Optimization by extension
3.2.2.1 Problem introduction
3.2.2.2 Setting up algorithm
3.2.3 Results and discussion
3.2.3.1 Shape of cooling networks
3.2.3.2 History of construction
3.2.4 Comparison between ESO and constructal methods
3.2.5 Conclusion
3.3 Conclusion à propos des automates cellulaires 
4 Solid Isotropic Material with Penalization 
4.1 Abstract 
4.2 Introduction 
4.3 SIMP presentation
4.3.1 Introduction to SIMP
4.3.1.1 Penalization process
4.3.1.2 Checkerboard problems
4.3.2 Finite Volume Method
4.3.3 Sensitivity analysis
4.3.3.1 Average temperature
4.3.3.2 Variance temperature
4.3.3.3 Additional comments on sensitivity analysis
4.3.4 Sensitivity filter
4.3.5 Method of Moving Asymptotes (MMA)
4.4 Multi-objective optimization 
4.5 Results 
4.5.1 Convergence process
4.5.2 Influence of numerical parameters
4.5.2.1 Mesh independence analysis
4.5.2.2 Numerical filter analysis
4.5.2.3 Sensitivity filter analysis
4.5.2.4 Influence of heat generation rate
4.5.3 Multi-objective results
4.6 Conclusion 
4.7 Remarques complémentaires 
4.7.1 Conditions limites du filtre numérique
4.7.2 Influence de la porosité φ
4.7.3 Conditions limites thermiques complémentaires
4.8 Comparaison entre les différentes approches 
4.9 Conclusion à propos de l’approche SIMP 
II Optimisation topologique des échanges de chaleur conducto-convectifs
5 Optimisation topologique des transferts de masse et de chaleur : régime laminaire 
5.1 Abstract 
5.2 Introduction 
5.3 Topology optimization for heat and mass transfer 
5.3.1 Topology optimization analysis
5.3.1.1 Problem formulation
5.3.1.2 Algorithmic scheme
5.3.2 Finite Volume Method
5.3.2.1 Modified FVM formulation
5.3.2.2 Shear force correction for solid domain
5.3.3 Sensitivity analysis
5.3.3.1 General formulation
5.3.3.2 Objective functions
5.3.3.3 Multi-objective optimization
5.3.4 Method of Moving Asymptotes
5.4 Results 
5.4.1 Diffuser
5.4.2 Bend pipe
5.4.3 Double pipe
5.4.4 Single pipe with constant wall temperature
5.5 Conclusion and perspectives 
5.6 Limitations de l’approche par homogénéisation 
5.7 Conclusion à propos de l’optimisation des transferts de masse et de chaleur
6 Conclusion et perspectives 
6.1 Conclusion 
6.2 Perspectives 
6.2.1 Automates cellulaires
6.2.2 Méthodes d’homogénéisation
6.2.2.1 Optimisation des transferts de chaleur par conduction
6.2.2.2 Optimisation des transferts de masse et de chaleur

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