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Formalisme d’un cahier des charges générique pour un problème de commande
Que ce soit pour une résolution globale d’un problème de commande ou pour une retouche de correcteur, l’utilisation de l’optimisation non linéaire pour un problème de commande est pleinement justifiée quand il s’agit de prendre en compte des cahiers des charges génériques : multicritère, complexe, temporel et fréquentiel…. La formulation d’un problème générique nécessite donc d’avoir une bonne vue d’ensemble des formulations des cahiers des charges.
La théorie de la contre-réaction
L’idée de la “structure bouclée” est ancienne et remonte aux travaux de Black dans les années 1930 [Bla34]. Elle représente aujourd’hui le noyau commun pour tout outil et technique de commande et de diagnostic des systèmes [May70]. Cette idée de contre-réaction aboutit à des implications d’une grande portée [Kwa91].
La contre-réaction peut produire d’autres effets favorables que la robustesse, parmi lesquels l’amélioration de la bande passante, et l’atténuation des perturbations [Ous94]. L’amélioration de la bande passante est aussi une conséquence de la propriété de grand gain. Si le compensateur de retour est un gain unité, la relation E/S du système à contre-réaction est proche de l’unité pour les pulsations où le gain de boucle est important. Ceci augmente la bande passante du système bouclé.
Malgré tous les atouts exposés, l’utilisation d’une structure à contre-réaction nécessite quelques précautions car si on augmente naïvement le gain du système, on risque d’obtenir un système à contreréaction instable. Et même si le système est stable, un grand gain risque d’aboutir à des entrées trop importantes, que le système à commander ne peut pas tolérer. Il en résultera une réduction du gain et une baisse de performance correspondante. D’autre part, la contre-réaction implique que l’on mesure la sortie au moyen d’un capteur. Les erreurs de mesure et bruits de mesure qui y sont associés risquent d’en diminuer la précision. Dans la suite de ce chapitre, ces points seront repris, avec plus de détails.
Vie d’un cahier des charges
Le formalisme d’un cahier des charges en Automatique est fortement lié à l’évolution du problème de commande, son élaboration représente une des étapes récurrentes d’un processus dynamique compliqué où le but est de synthétiser une loi de commande qui permet de satisfaire toutes les exigences. Dans le cadre des applications et de la conception globale de systèmes, un cahier des charges n’est jamais définitivement fixé et peut évoluer au cours des évolutions du système ou des performances désirées. Par exemple, dans le but d’améliorer la conduite d’un système, l’ingénieur automaticien a souvent recours à augmenter la structure du système à commander par l’ajout de capteurs, contrôleurs et actionneurs.
Les étapes d’un problème de commande
La synthèse d’une loi de commande est rarement une opération directe : plusieurs étapes sont nécessaires pour obtenir un résultat satisfaisant. Voici un résumé ordonné de ces étapes :
Etape 1. Modélisation et identification : Pour agir sur un système, il est nécessaire de connaître son comportement et ses interactions avec le milieu extérieur c’est-à-dire le lien entre les différents signaux d’entrée (commande, perturbations, bruits) et les différents signaux de sortie (sortie à commander, mesure). Cette connaissance prend la forme d’un modèle mathématique quantitatif, Etape 1. Modélisation et identification : Pour agir sur un système, il est nécessaire de connaître son comportement et ses interactions avec le milieu extérieur c’est-à-dire le lien entre les différents signaux d’entrée (commande, perturbations, bruits) et les différents signaux de sortie (sortie à commander, mesure). Cette connaissance prend la forme d’un modèle mathématique quantitatif,
Etape 2. Etablissement d’un cahier des charges : Le cahier des charges doit contenir la définition de l’ensemble des spécifications du système. Ces spécifications traduisent les performances désirées (objectifs) ainsi que toutes les contraintes liées à la configuration de la boucle fermée, fixée au préalable par le concepteur en fonction des performances (signaux désirés). Rien ne garantit a priori qu’avec le choix initial des objectifs de performance, des actionneurs et des capteurs une solution existe. Dans le but d’étudier l’existence, de faire la synthèse ou la retouche d’une loi de commande, le cahier des charges est traduit sous la forme de critères mathématiques.
Etape 3. Synthèse ou retouche de la loi de commande : Dans cette étape le but est de rechercher la loi de commande qui satisfait les critères traduisant le cahier des charges pour le modèle représentant le système réel. Cette recherche est généralement réalisée via une technique de commande choisie et exécutée par la suite par un calculateur (simulation). L’objectif majeur étant de valider le cahier des charges pour le système réel et pas simplement pour le modèle manipulé, le concepteur doit alors assurer une bonne conduite du correcteur en essayant d’obtenir le plus de garanties a priori sur le bon fonctionnement du correcteur appliqué sur le système réel (robustesse).
Etape 4. Implémentation et validation de la commande : Après avoir synthétisé la loi de commande, le concepteur doit garantir sa mise en pratique sur le système réel. Une première étape de validation est tout d’abord effectuée en simulation afin de limiter les éventuels échecs. Sur les systèmes complexes, la validation met souvent à jour des imperfections et nécessite des retouches du processus de conception. Les différentes étapes précédentes sont alors revues et affinées.
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Table des matières
Chapitre 0 Introduction
Motivations
Contexte et problématique
Organisation du manuscrit
Chapitre 1 Formalisme d’un cahier des charges générique pour un problème de commande
1.1. La théorie de la contre-réaction
1.2. Vie d’un cahier des charges
1.3. Les étapes d’un problème de commande
1.4. Le problème fondamental de la commande
1.5. Les spécifications d’un cahier des charges
1.5.1. La stabilité
1.5.1.1. Stabilité entrée/sortie (stabilité externe)
1.5.1.2. Stabilité externe des systèmes linéaires
1.5.1.3. La stabilité au sens de Lyapunov (stabilité interne)
1.5.1.4. La passivité
1.5.1.5. Stabilité interne des systèmes linéaires continus invariants
1.5.1.6. Critères de stabilité des systèmes linéaires
1.5.2. Les spécifications en performances
1.5.2.1. Suivi de trajectoire de référence (consigne)
1.5.2.2. Rejet/atténuation de signaux de perturbation.
1.5.2.3. Atténuation des bruits de mesure.
1.5.2.4. Commande modérée
1.5.2.5. Dépendance des spécifications et limite de performances
1.5.2.6. Performances des systèmes linéaires multivariables
1.5.3. Les spécifications en robustesse
1.5.3.1. La robustesse en stabilité
1.5.3.2. La robustesse en performance
1.5.4. Les spécifications de la loi de commande
1.6. Classification des méthodes de synthèse
1.6.1. Méthodes de synthèse synthétiques
1.6.2. Méthodes de synthèse analytiques
1.6.3. Méthodes de synthèse par optimisation
1.6.3.1. Classification (convexité et dimension du problème)
1.7. Vers une approche d’optimisation non linéaire
1.8. Conclusion
Chapitre 2 Formulation et analyse de cahier des charges par optimisation
2.1. Concepts fondamentaux pour une approche générique
2.2. Cahiers des charges et critères mathématiques
2.3. Traduction du cahier des charges
2.3.1. Expression des contraintes temporelles E/S du système
2.3.1.1. Formulation directe des spécifications temporelles
2.3.1.2. Formulation des spécifications temporelles sous forme de gabarits
2.3.2. Faisabilité des cahiers des charges temporels
2.3.2.1. Etude de la faisabilité des spécifications temporelles par une approche E/S
2.3.2.2. Etude de la faisabilité des spécifications temporelles par une approche paramétrique générale 2
2.3.3. Expression des contraintes fréquentielles du système
2.3.3.1. Formulation des spécifications fréquentielles à base d’indicateurs de robustesse
2.3.3.2. Formulation des spécifications fréquentielles sous forme de gabarits
2.3.3.3. Formulation des spécifications fréquentielles modales
2.3.4. Faisabilité des cahiers des charges fréquentiels
2.3.4.1. Etude de la faisabilité des spécifications fréquentielles par une approche par opérateurs
2.3.4.2. Etude de la faisabilité des spécifications fréquentielles par une approche paramétrique
2.4. Bilan et approche paramétrique générale pour l’analyse de cahiers des charges
2.4.1. Formulation du problème d’optimisation global de l’approche paramétrique générale
2.4.2. Transformation en un problème d’optimisation non linéaire sans contraintes
2.5. Sensibilité des critères et contraintes d’une approche paramétrique générale
2.6. Conclusions
Chapitre 3 Techniques d’optimisation non linéaire
3.1. Contexte du travail
3.2. Principes généraux
3.2.1. Problème d’optimisation
3.2.2. Conditions d’optimalité
3.2.2.1. Conditions d’optimalité en l’absence de contraintes
3.2.2.2. Conditions d’optimalité en optimisation avec contraintes
3.3. Prise en compte des contraintes par pénalisation
3.3.1. Types de pénalisations
3.3.1.1. Pénalisations extérieures
3.3.1.2. Pénalisations intérieures
3.3.1.3. Pénalisations exactes
3.4. Méthodes globales versus méthodes locales
3.5. Méthodes d’optimisation sans contraintes
3.5.1. Les méthodes stochastiques
3.5.1.1. Métaheuristiques
3.5.1.2. Principe
3.5.1.3. Classification
3.5.1.4. Exemples de métaheuristiques
3.5.2. Les méthodes de descente
3.5.2.1. Calcul de la direction de descente
3.5.2.2. Calcul de la longueur de descente (recherche linéaire)
3.5.3. Les méthodes mixtes
3.5.4. Les méthodes de recherche directe
3.5.4.1. Méthodes de recherches par motifs généralisés
3.5.4.2. Directions conjuguées (algorithme de Powell)
3.6. Conclusions
Chapitre 4 Algorithmes d’optimisation développés
Chapitre 5 Analyse du ε-sous différentiel et calcul du gradient
Chapitre 6 Analyse et validation de cahiers des charges pour des problèmes de commande
Chapitre 7 Conclusion
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