Opérateurs accrétifs d’un espace de Banach 

Opérateurs accrétifs d’un espace de Banach

OPÉRATEURS M-ACCRÉTIFS- EXEMPLES

Opérateurs m-accrétifs

Définition 2.1 Un opérateur A d’un espace de Banach est dit m-accrétif si .A est accrétif .8 >0; R(I+ A)=X
i.e si, pour tout > 0; (I + A) 1 est une contraction partout défini.
Notations : Si A,B sont des opérateurs de X, on dit que B est prolongement de A et on note A B si le graphe de A est inclus dans le graphe de B, i.e si D(A) D(B) 8x 2 D(A); 8y 2 Ax; y 2 Bx
Proposition 2.1 Un opérateur m-accrétif est maximal accrétif (i.e A B et B accrétif =) A = B).
c’est-à-dire maximal dans l’ensemble des opérateurs (multivoques) accrétifs de X ordonné par inclusion des graphes.
Preuve 2.1 A B =) I + A I + B ! (I + A) 1 (I + B) 1, comme (I + A) 1 est partout défini et (I + B) 1 univoque, ils coïncident.
Théorème 2.1 (Minty)
Si X est un espace de Hilbert (A m-accrétif )()(A maximal monotone).
Si A est m-accrétif, il est trivialement maximal accrétif. Pour démontrer la réciproque utilisons d’abord la méthode de Minty basée sur le théorème de Valentine-Kinzbram sur le prolongement des contractions dans un espace de Hilbert.
Lemme 2.1 (Théorème de Valentine-Kinzbram)
Soit T une contraction d’une partie de H dans H. Il existe un prolongement Te de T qui est contraction de H dans H.

OPÉRATEURS M-ACCRÉTIFS

Preuve 2.2 (Démonstration de théorème de Minty)
Soit A un maximal accrétif de H. Considérons T = f(x + y; x y); (x; y) 2 Ag, T est le graphe d’une contraction de H défini sur R(I+A). Utilisons le lemme 2.1, il existe T prolongement de u+T u u T u u H A
T qui est une contraction de H dans H. Considérant A = f( 2e ; 2e ); e 2 g, e est un prolongement accrétif de A ; donc T =A et T à-dire R(I+A)=H.  =T, c’est-e  Si A est maximal-accrétif, il en estede même de A pour tout  e  > 0 et donc pour tout > 0,R(I + A) = H.
Remarque
Ce résultat est faux en général pour des espaces de Banach quelconques.
Proposition 2.2 Tout opérateur m-accrétif est fermé (i.e son graphe est fermé dans X X).
Cette proposition résulte immédiatement de la proposition 2.1 et de lemme suivant.
Lemme 2.2 Si A est accrétif, sa fermeture A est aussi un opérateur accrétif.
Remarque
A nouveau la fermeture est comprise au sens des graphes dans X X.
Notations Pour un opérateur A, on note  > ;JA I+ A) 1 (résolvante de A) 8 0 = ( A  A = I J (approximation Yoshida de A).
Proposition 2.3 Soit A accrétif dans X. Alors
i) A AJ 8 > 0 T
iii) jjA jj = A + 8; >0 2
ii) A x jAxj = minfjyj; y Axg 8 > 0; 8x 2 D(A) D(J )
iv) (équation résolvante) J = J ( I + J ) 8; >0
Si de plus A est m-accrétif.
v) A est m-accrétif, s-accrétif, lipschitzien de rapport 2
vi) 8x 2 lim J x = x.
D(A) ;
Remarque
A est une régularisante naturelle de A. Nous verrons plus loin qu’elle converge vers A (en un sens à préciser) lorsque tend vers 0.
Preuve 2.3 i) Soit x 2 D(A ) et y = A x = x J x .
Si u = J x; soit u + Au 3 x, il existe z 2 Au avec u + z = x.
Ainsi y = u+ z u = z 2 AJ x: T
ii) Soit y 2 Ax où x 2 D(A) D(J ): On a x = J (x + y) et donc : jx J xj jx + y xj = jyj ,d’où ii).
iii) On remarque :
x 2 D(A ) () 2 2
y 2 A x x y D(A) et y A(x y)
Donc :
y 2 A + x () y 2 A(x y y); x
() x y 2 D(A ) et y = A (x y) et (en appliquant la remarque ci-dessus à A ) .
() 2 u
x D((A )mu) et y = (A ) x
iv) On remarque que D(J ( I + J )) D(J ). Il suffit de donc de montrer 8x 2 D(J ); x + J (x) 2 D(J )  et J x = J ( x + J x)
D’après i), (J x; x J x ) 2 A ; ceci implique :
J x + x J x 2 (I + A)(J x) ce qui est une autre forme de l’égalité cherchée.
v) Si A est m-accrétif, I J est s-acrrétif d’après l’exemple 1.1 du chapitre I. Il en est donc de même de A . Le fait que A est lipschitzien de rapport 2 est clair. La m-accrétivité de A résulte de lemme suivant.
Lemme 2.3 Soit T : X 7! X une contraction, alors (I-T) est m-accrétif
Il s’agit de montrer l’existence de X solution de  x + (x T x) = y donné dans X  =) (1 + )x T x = y () x = 1 ( T x + y)  1+
L’application (x) = 1 ( T x + y) est une contraction stricte. 1+
vi) Si x 2 D(A), d’après ii), on a :  jx J xj jAxj =) lim0 J x = x: 7!
Si x 2 D(A) , il existe xn 2 D(A) convergent vers x. Alors jx J xj jx xnj + jxn J xnj + jJ xn J xj:
On en déduit : 2jx xnj + jxn J xnj lim sup jx J xj 2jx xnj 8n; 7!0  D’où vi).

Exemples d’opérateurs m-accrétifs

Proposition 2.4 Soit A : X 7! X lipschitzien accrétif. Alors A est m-accrétif.
Preuve 2.4 Soit à résoudre en X
x + Ax = y () x = y Ax:
Si T x = y Ax et si k est la constante de Lipschitz de A, on a jT x T x^j kjx x^j:
Si k < 1, T a un point fixe, d’où la subjectivité de I + A. On termine alors à l’aide du résultat suivant.
Lemme 2.4 Soit A accrétif dans X. Alors (A m-accrétif )() (9 0 > 0; t:q R(I + 0A) = X).

SOUS-DIFFÉRENTIEL D’UNE FONCTION CONVEXE 25

Preuve 2.5 Pour > 0, on a (formellement) I+ A=I+ 0A+( 0)A=(I+( 0)AJ 0)(I+ 0A):
Comme I + 0A est surjectif, il suffit de montrer que I + ( 0)AJ 0 pour encore en utilisant
i) de la proposition 1.3, que I + ( 0)AJ 0 est surjectif. (On démontre inversement que le problème posé est exactement et non pas formellement, équivalent à celui-ci).
Soit à résoudre :
x + (0) x J 0 x = y () x  0 0 =) x = 0 J 0 x + 0 y
Si T x = 0 J 0 x + 0 y, on a : 0 0 J 0 x = y jT x T x^j j 0jjx x^j:
Si j 0j < , T est une contraction stricte et, d’après les arguments ci dessus, I + A est surjectif. Or cela se produit pour tout 2] 20 ; +1[. Il suffit maintenant de répéter l’argument en remplaçons 0 par un élément arbitraire de ] 20 ; +1[ ; on couvre ainsi ] 40 ; 1[. On continue ainsi pour obtenir ]0; 1[.
Remarque
On montrons plus loin le résultat plus général suivant : Soit A : X 7! X continu, accrétif.
Alors A est m-accrétif.

Sous-différentiel d’une fonction convexe

Soit H un espace de Hilbert. Dans ce paragraphe, on considère des fonctions ’ : H 7!] 1 ; +1] convexes : i.e.
8 2 [0; 1] ; ’( x + (1 )y) ’(x) + (1 )’(y)
s.c.i : i.e.
8xn 7! x; ’(x) lim inf ’(xn)
n7!1
() 8 2 R fx 2 H; ’(x) g est fermé
() (lorsque ’ est propre) 8 2 R fx 2 H; ’(x) g est faiblement fermé.
On dira que ’ est propre si ’ =6 +1.
Notation
D(’) = fx 2 H; ’(x) < +1g:
Définition 2.2 Soit ’ une fonction convexe s.c.i propre sur H. On définit son sous-différentiel @’ de la manière suivante :
@’ = f(x; y) 2 H H; 8 2 H; ’( ) ’(x) < y; x >g:
Remarques
D(@’) D(’) car si x 2 D(@’) et si ’( ) < +1; ’(x) ’( ) < y x > pour y 2 @’(x):
Si ’ est Fréchet-différentielle, on vérifie que @’(x) = ’0(x) 8x 2 H.
Proposition 2.5 Soit ’ est convexe, s.c.i, propre sur H. Alors @’ est maximal monotone.
Preuve 2.6 Monotonie. Soit (x,y),(^x; y^) 2 @’, alors :
’(^x) ’(x) < y; x^ x >  =) ’(x) ’(^x) < y;^ x x^ >
0 < y y;^ x^ x > :
R(I + A) = H . Soit y 2 H, il s’agit de résoudre en x0
x0 + @’(x0) 3 y
Pour cela considérons la fonctionnelle :
(x) = 1 jx yj2 + ’(x): est aussi convexe, s.c.i, propre. De plus xlim (x) = +1.
En effet, d’après le théorème de Hahn-Banach, est minoré par une fonction affine (=) 9 ; 2 R t:q ’(x) jxj + ).
On en déduit qu’il existe R assez grand tel que
inf (x) = inf (x) x2H x2H; jxj R
Mais fx 2 H; jxj R g est faiblement compacte. Comme est s.c.i pour la topologie faible, elle est minoré par BR, et atteint son minimum en un point x0. Ainsi 8 2 H; 8t 2 [0; 1] (t + (1 t)x0) (x0) =) 12 jt + (1 t)x0 yj2 + ’(t + (1 t)x0) 12 jx0 yj2 + ’(x0) =) 21 t2j +yj2 +t(1 t) < y; x0 y > +12 (t2 2t)jx0 yj2 +t(’( ) ’(x0)) 0 Divisant par t et faisant tendre t vers 0, on distinct ’( ) ’(x0)+ < 0 y; x0 > 0
Soit y 0 2 @’(x0)

 Exemples de sous-différentiels

H = R : dans ce cas, tout opérateur maximal monotone est un sous-différentiel.
Proposition 2.6 Soit R R, les assertions suivantes sont équivalents. i) est maximal monotone
ii) 9j : R 7! R convexe, s.c.i, propre t.q = @j.
Une démonstration élémentaire peut-être obtenue en considérant :
R r 0(s)ds si r 2 D( )
j(r) = 0 +1 sinon
Où 0(s) est l’élément de (s) de plus petit module.
Proposition 2.7 Soit un graphe maximal monotone avec 0 2 (0) et 2 son prolongement à L2( ). Alors 2 est maximal monotone.
De plus, si = @j avec j(0)=0 et min j(t)=j(0)=0
j(u(x))dx si j(u) 2 L1( )
J(u) = +1 sinon
Alors J est convexe, s.c.i, propre sur L2( ) et @J = 2.
Preuve 2.7 On sait déjà que 2 est monotone. Soit f 2 L2( ) puisque 2 est maximal mono-tone, p.p.x, il existe u(x) 2 R t:q u(x) + u(x) 3 f(x):
Comme u(x) = (I + ) 1:f(x), u est mesurable. De plus, d’après 0 = (I + ) 10; ju(x)j jf(x)j p.p et donc u 2 L2( ) et u + 2u 3 f.
Remarques
1)Si est de mesure borné, on peut se dispenser de l’hypothèse 0 2 0. En effet ; a = (I + ) 10 2 L2( ) et ju(x) aj jf(x)j =) ju(x)j jaj + jf(x)j.
2)On démontre de même que si 0 2 ; p est m-accrétif dans Lp( ); 1 q 1. 0 2 ( );2
La convexité de J est clair. Montrons qu’elle est s.c.i, i.e. fu 2 L J(u)g est fermé pour tout 2 R. Soit donc un avec J(un)convergent vers u dans L ( ). On peut supposer que un converge p.p vers u et donc  j u x lim inf j(u (x)) p:p  ( ( ))n7!1 n
On vérifie que j(u) est mesurable et d’après le lemme de Fatou, on a alors (remarquer que j 0) Z j ( ( x ))n7!0 Z ( n( x )) : u lim inf j u
Montrons enfin 2 @J (il en résulter 2 = @J).
Soit (u; v) 2 2, alors 8w 2 D(J)  p:p:x j w x j u x)) v(x)(w(x) u(x)):  ( ( )) ( ( 1
Ceci implique j(u) 2 L (remarquer que D(J) n’est pas vide).
Il suffit alors d’intégrer pour obtenir J(w) J(u) v(w u) soit v 2 @J(u).

Table des matières

1 Opérateurs accrétifs d’un espace de Banach 
1.1 Opérateurs monotones d’un espace de Hilbert
1.2 Exemples d’opérateurs accrétifs
2 Opérateurs m-accrétifs- Exemples 
2.1 Opérateurs m-accrétifs
2.2 Exemples d’opérateurs m-accrétifs
2.3 Sous-différentiel d’une fonction convexe
2.3.1 Exemples de sous-différentiels
3 Equation du dt + Au 3 0 dans les espaces de Hilbert 
4 Génération de semi-groupes de contractions dans les espaces de Banach quelconques
4.1 Semi-groupes linéaires : Théorème de Hille-Yoshida
5 Sur l’équation ut = ‘(u) 61
5.1 Application aux opérateurs elliptiques d’ordre 2
Bibliographie

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