Soutenance mémoire
Analyse sur les graphes
Quelques éléments d’analyse sur les graphes
Notion de graphe
Un graphe G est la donnée d’un couple (V, E), où V est un ensemble au plus dénombrable de sommets et E est un sous-ensemble de P2(V) (l’ensemble des parties à deux éléments de V), l’ensemble des arêtes. Si l’ensemble V est fini, on dit que le graphe G est fini. Si non, G est dit infini. Lorsque deux sommets x et y sont reliés par une arête e, on dit qu’ils sont voisins ou adjacents. On note alors x ∼ y et e = {x, y}. Parfois, on aura des graphes avec des boucles : cela veut dire qu’il y a aussi des arêtes du type {x, x} que l’on peut dessiner comme une boucle au sommet x. En chimie les arêtes sont aussi munies de multiplicités qui indique le type de liaison entre atomes. Un graphe G orienté consiste à définir une partition de E : E+ ∪ E− = E
(x, y) ∈ E+ ⇔ (y, x) ∈ E−.
Dans ce cas pour e = (x, y), on définit l’origine e− = x, la terminaison e+ = y et l’arête oposée −e = (y, x). Cette orientation est nécessaire pour définir certains opérateur telles que le gradient.
Graphes pondérés
Il existe différentes définitions de graphe pondéré, pour la simple raison que le genre de graphes qu’il faut considérer dépend souvent du problème dont la solution est visée. On introduit une première définition tel que le poids sur les sommets et celui sur les arêtes sont indépendants :
Définition 2.1.1. Un graphe pondéré (G, c, r) est la donnée d’un graphe G = (V, E), un poids sur les sommets c : V →]0,∞[ et un poids sur les arêtes r : E →]0,∞[ tel que r(−e) = r(e).
Une deuxième définition tel que le poids sur les sommets définis à partir du poids sur les arêtes qu’on peut considérer comme un cas particulier de la définition précédente :
Définition 2.1.2. Un graphe pondéré normalisé est un couple (G, b), où G = (V, E) un graphe et b : V × V −→ R une fonction positive vérifiant :
• b(x, x) = 0, ∀x ∈ V.
• b(x, y) > 0, ∀(x, y) ∈ E.
• b(x, y) = b(y, x), ∀(x, y) ∈ E.
Problème de Kirchhoff sur un réseau électrique résistif infini
Maintenant nous nous intéressons à l’étude de problème de Kirchhoff pour un réseau électrique résistif infini. Le passage de fini au infini est plus compliqué et difficile qui demande plus de conditions et de travail. De plus, l’étude de ce problème à l’infini n’a pas en réalité une signification physique c’est plutôt un problème abstrait et purement mathématique. Commençons par présenter une historique des principaux résultats qui existent dans la littérature.
En 1971, le mathématicien américain Harley Flanders a publié un résultat très important [14] concernant l’unicité du flux de courant pour un réseau électrique résistif. Le problème est le suivant : soit i une source finie de courant, i.e. un élément de C0(V) et E une source finie de voltage, i.e. un élément de C0(E), existe-il un flux de courant d’énergie finie et est-il unique ?
Ainsi, il a prouvé que ce problème admet une unique solution I d’énergie finie sous la condition suivante
< i, 1 >V= 0.
De plus, I est une limite des flux des courants qui circulent dans les sous-graphes finies du graphe G, si on regarde G comme réunion croissante de parties finies.
Remarque 2.3.3. Dans notre cas i = δχe vérifie la condition de Flanders, nous avons
< i, 1 >V=< δχe, 1 >V=< χe, d1 >E= 0.
Dix ans plus tard, Zemanian [45] a réécrit le résultat de Flanders avec un langage analytique qui est plutôt analyse fonctionnelle.
Théorème de Zemanian : soient G un graphe localement fini et pondéré et V une source finie de voltage. Alors, il existe un unique courant I dans l2 (E) vérifiant les lois de Kirchhof .
Preuve
Soient LF l’espace engendré par les fonctions 1L pour tout L cycle fini et L sa fermeture pour la norme l2 (E) qui est un espace fermé de l2 (E) donc complet.
La solution cherchée I de problème Ks est reliée à la deuxième équation de ce problème, plus précisément au cycle fini ou infini (les sous-espaces de ker δ). Ainsi, nous allons avoir deux types de solutions donc le problème de Kirchhoff se transforme en un problème d’unicité est cela c’est l’intérêt de Russell Lyons et Yuval Peres [27] qui ont donné la réponse à ce problème lorsque il n’y a pas de source finie de voltage E.
Maintenant nous allons présenter le travail de R. Lyons et Y. Peres avec quelques modifications dans les notations et les preuves.
Considérons la fonction χe pour e ∈ E
χe = 1{e} − 1{−e}.
χe est un élément de l2(E) et vérifie
< χe, ϕ >r= r(e)ϕ(e).
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Table des matières
1 Introduction
2 Analyse sur les graphes
2.1 Quelques éléments d’analyse sur les graphes
2.1.1 Notion de graphe
2.1.2 Graphes pondérés
2.1.3 Notions de sous-graphes
2.1.4 Espaces fonctionnels
2.1.5 Opérateurs et propriétés
2.2 Graphe parabolique
2.2.1 Graphe parabolique
2.2.2 Graphe récurrent
2.3 Introduction au problème de Kirchhoff
2.3.1 Problème de Kirchhoff sur un réseau électrique résistif fini
2.3.2 Problème de Kirchhoff sur un réseau électrique résistif infini
3 Non-parabolicité à l’infini
3.1 Problématique
3.2 Opérateur de Gauss-Bonnet non parabolique à l’infini
3.3 Opérateur de Gauss-Bonnet Semi-Fredholm
3.3.1 Remarques
3.4 Exemples
3.4.1 Le graphe star-like
3.4.2 Arbre triadique
4 Spectres du Laplacien
4.1 Préliminaire
4.2 Le spectre du Laplacien
4.3 Le problème de zéro dans le spectre de l’opérateur Laplacien
4.4 Exemples
4.4.1 Arbre symétrique
4.4.2 Arbre triadique avec une mesure particulière
4.4.3 Arbre triadique avec une mesure minorée par une constante strictement positive
Conclusion
5 Annexe
