Ondes Sismiques et Filtrages

Ondes Sismiques et Filtrages

Généralités

Ce chapitre a pour fonction d’introduire les notions nécessaires à la compréhension du manuscrit. Pour davantage de précisions, se reporter aux ouvrages classiques de sismologie [Aki and Richards, 2002, Stein and Wysession, 2003, Shearer, 2009].

L’équation d’onde

Soit un champ de déplacement u = (u1, u2, u3) traduisant de petites variations relatives de position des points constituant un volume V par rapport à la taille de ce volume.

En décomposant le champ de déplacement u en un potentiel scalaire φ et un potentiel vectoriel ψ tel que :
u = ∇.φ + ∇ × ψ (1.2)

Dans la Terre, les coefficients de Lamé étant tous deux de même ordre de grandeur, on peut parfois utiliser l’approximation α/β ≈ √3. L’onde P étant plus rapide, elle arrive en avance sur l’onde S. Ceci est bien visible sur les sismogrammes . Le comportement purement cisaillant des ondes S rend leur propagation impossible dans les fluides, contrairement aux ondes P.

Remarque : solution harmonique et onde sphérique

Puisque l’équation d’onde est linéaire, toute solution peut être ramenée à une somme de sinus et de cosinus. On parle dans ce cas de solutions de type harmonique. Elles peuvent s’écrire (dans le domaine complexe) :

F(x, t) = A(x)exp(i(ωt − k.x)) (1.10)

avec A décrivant l’amplitude de l’onde, ω = 2πf sa pulsation (fréquence angulaire) et k son vecteur d’onde (dans la direction de propagation). La fréquence f est l’inverse de la période, la durée d’une oscillation de l’onde. Le terme (ωt − k.x) désigne la phase du signal. Par abus de langage, ce terme est souvent utilisé pour désigner une onde. Dans un milieu sans perte (sans absorption) et dans le cas d’une onde plane (k = cste), l’amplitude A reste constante lors de la propagation. Pour une onde sphérique, c.-à-d. une onde se propageant dans toutes les directions à partir d’une source ponctuelle, l’amplitude décroît en 1/4πr, avec r la distance à la source (coordonnées sphériques). L’énergie libérée par la source va, en se propageant, s’étaler sur la surface d’une sphère de rayon r = c.t. On parle de décroissance (ou divergence) géométrique. Une onde plane peut être interprétée comme une onde sphérique dont la source est placée à l’infini.

Ondes de surface

Dans la nature, les solides ne sont pas infinis et leurs frontières peuvent générer d’autres types d’ondes. Dans le cas simple d’une surface libre de contrainte au sommet d’un demi-espace homogène (comme décrit précédemment), les ondes P et SV interfèrent à la surface pour générer l’onde de Rayleigh. Sa polarisation en surface est elliptique rétrograde et contenue dans le plan défini par la direction de propagation et la verticale. Sa vitesse est légèrement inférieure à celle des ondes S (∼ 0.9β). L’onde de Rayleigh est un cas particulier de l’onde de Stoneley qui apparaît toujours aux interfaces de type fluide/solide et sous des conditions particulières dans le cas solide/solide. Si le milieu est tabulaire (milieu comprenant une superposition de couches homogènes), et avec un gradient positif de vitesses (la vitesse des couches croît avec la profondeur), alors une onde SH peut être piégée (guidée) en proche-surface et interférer avec elle-même. Le résultat de cette interférence est une onde de Love. Cette onde est polarisée dans le plan de la surface, transversalement à la propagation (SH le long de la surface). Sa vitesse est proche de celle de l’onde SH.

L’amplitude de ces deux ondes décroît avec la profondeur. Elles sont généralement dispersives, c.-à-d. que leur vitesse est fonction de leur fréquence. Cette dispersion provoque une déformation de la forme de l’onde : elle s’étale dans le temps. On peut alors distinguer deux types de vitesses : la vitesse de phase, correspondant à la vitesse à une fréquence particulière, et la vitesse de groupe, correspondant à la vitesse d’un « paquet » d’ondes (gamme de fréquences). Puisque ces ondes sont confinées à la surface, leur divergence géométrique n’est pas sphérique mais cylindrique (1/ √r). C’est une des raisons pour laquelle elles dominent les sismogrammes .

Rai et front d’onde

On réécrit la solution harmonique de l’équation d’onde sous la forme :

F(x, t) = A(x)exp(iωT(x, t)) (1.11)

On définit un front d’onde comme l’ensemble des points pour lesquels T (le facteur de phase) est constant. Toujours sous l’approximation d’un milieu homogène, mais en ajoutant l’hypothèse d’une fréquence infinie .

Fonction de Green

Par définition, on appelle fonction de Green de l’équation d’onde la solution élémentaire G(x, t) telle que :

G(x, t) = δ(x)δ(t) (1.14)

avec δ la fonction Dirac. En terme de fonction de transfert, la fonction de Green est la réponse impulsionnelle spatiale et temporelle du système défini par l’équation d’onde. C’est le signal qu’enregistrerait un capteur parfait, dans n’importe quel milieu de propagation, si la source était une impulsion (δ(x)δ(t)). Puisque par définition, δ contient toutes les fréquences, G à la particularité de contenir toute l’information liée à la propagation. Connaître G, c’est connaître la structure du milieu. C’est donc l’objectif que l’on souhaite atteindre en prévision des études d’imagerie.

En sismologie, la source du signal nécessaire à l’imagerie est complexe. Qu’il s’agisse d’un séisme, d’une explosion ou de camion vibreurs, le signal enregistré au niveau des récepteurs contient toujours la signature de la source. Il devient alors difficile de déterminer quelle part du signal correspond respectivement à la source et au milieu. Seule une connaissance précise de la source (bande de fréquence, amplitude) peut permettre, par une opération de convolution, de remonter à G. Dans la nature, cette connaissance est toujours limitée et G ne peut être qu’approximée.

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Table des matières

Introduction
I Techniques de Filtrages
1 Ondes Sismiques et Filtrages
1.1 Généralités
1.1.1 L’équation d’onde
1.1.2 Différents types d’ondes
1.1.2.1 Ondes de volume
1.1.2.2 Ondes de surface
1.1.3 Rai et front d’onde
1.1.4 Fonction de Green
1.1.5 Diffraction – Diffusion
1.1.6 Différentes échelles d’applications
1.2 Traitements et filtrages classiques
1.2.1 Transformation de Fourier en temps et en espace
1.2.2 Slant stack / τ − p / Vespa
1.2.3 Analyse temps-fréquence
1.2.4 D’autres méthodes
1.2.5 Conclusion
2 Double Formation de Voies : du Laboratoire à la Géophysique
2.1 Contexte
2.1.1 Réseaux de sources
2.1.2 Double traitement d’antenne
2.2 Application en laboratoire
2.3 Double beamforming in a seismic prospecting context
2.3.1 Introduction
2.3.2 Double beamforming processing
2.3.3 Application to synthetics
2.3.4 Application to a real prospecting data set
2.3.5 Conclusion
2.4 Discussion
II Corrélation de Bruit et Traitement d’Antenne pour l’Imagerie Lithosphérique
3 Corrélation du Bruit Sismique Ambiant
3.1 Introduction
3.1.1 Contexte
3.1.2 Principe et approches théoriques
3.1.3 Applications récentes en sismologie
3.2 Origines du bruit ambiant
3.2.1 Contexte
3.2.2 Sources d’origines humaines
3.2.3 Les deux pics micro-sismiques
3.2.4 Le Hum
3.3 Discussion sur la distribution des sources
3.4 Préparation des données
3.4.1 Première étape
3.4.2 Deuxième étape
3.4.3 Comparaison des traitements
4 Imagerie Lithosphérique : Application au Réseau USArray
4.1 Contexte
4.1.1 Le réseau USArray
4.1.2 Directivité du bruit et impact sur les corrélations
4.2 Phase velocity tomography of surface waves using noise cross-correlation and array processing
4.2.1 Introduction
4.2.2 Data and pre-processing
4.2.3 Double beamforming method
4.2.4 phase shift measurement
4.2.5 Forward and inverse problem
4.2.6 Phase velocity map
4.2.7 Discussion
4.2.8 Conclusion
4.3 Discussion et perspectives
III Corrélation de Bruit et Ondes de Volume à l’Echelle Globale
5 Ondes de Volume : Observation et Exemples d’Applications
5.1 Contexte
5.1.1 Introduction
5.1.2 Objectifs et moyens
5.2 Teleseismic correlations of ambient seismic noise for deep global imaging of the Earth
5.2.1 Introduction
5.2.2 Data and cross-correlations
5.2.3 Possible applications
5.2.4 Conclusion
5.2.5 Details on data processing
5.3 Discussion
6 Ondes de Volume : Différentes Contributions
6.1 Contexte
6.2 Reverberations, coda waves and ambient noise : correlations at the global scale and retrieval of the deep phases
6.2.1 Introduction
6.2.2 Data and processing
6.2.3 Contributions to correlations
6.2.4 Long period processing
6.2.5 A specific geometry : FNET-LAPNET dataset
6.2.6 Conclusion
6.2.7 Details on dataset
Conclusions