Nouveaux modèles d’éléments finis de poutres enrichies

Les poutres sont certainement les modèles mathématiques les plus utilisés par les ingénieurs structures dans leurs différents projets. Ceci est principalement dû à leur simplicité d’utilisation, que ce soit pour modéliser un ouvrage de pont, une charpente métallique ou un immeuble d’habitation. Elles permettent à l’ingénieur d’avoir accès au comportement global de ce type de structure d’une manière simple, fiable et rapide. Ainsi, les ponts les plus modernes construits actuellement dans le monde ont été modélisés avec des éléments de poutres. Cette modélisation simplifiée n’empêchant pas dans une deuxième phase, de construire des modèles auxiliaires plus riches, en utilisant des éléments de coques ou volumiques, pour étudier les phénomènes locaux apparaissant dans la structure. On peut donner comme exemple le viaduc de Millau, dont le tablier large de 32m , a été étudié avec un modèle constitué principalement d’éléments finis de poutres. Mais si le modèle représentant la réalité physique de l’ouvrage est ainsi très simplifié, il doit permettre néanmoins d’effectuer plusieurs calculs, nécessaires pour une étude complète de l’ouvrage, tels que la prise en compte du phasage de construction, des non linéarités géométriques, du fluage/retrait du béton….

Cependant, si le modèle de poutre a pour principal avantage sa simplicité, il est, comme tout modèle mathématique, basé sur certaines hypothèses simplificatrices, dont il est nécessaire, pour tout ingénieur faisant usage de ces éléments, de connaître les implications, pour pouvoir préciser la pertinence et les limitations de son modèle. Après la définition des notations, on détaille dans la partie suivante quelques théories de poutres classiques, pour donner après un résumé des trois articles qui composent le présent manuscrit.

Les théories de poutres les plus courantes et leur domaine de pertinence

La théorie des poutres a aujourd’hui plusieurs siècles derrière elle. Certaines sources font remonter les premières avancées dans ce domaine à Leonard De Vinci et Galilée [2]. Dans cette partie on expose quelques-unes des théories de poutres les plus couramment utilisées, où on se limite au cas élastique linéaire, et en utilisant les approximations des petits déplacements/rotations et des petites déformations.

Poutre d’Euler-Bernoulli

La théorie d’Euler-Bernoulli est probablement une des plus anciennes théories de poutres connues. Elle est basée sur les trois hypothèses suivantes :
– Les sections droites restent perpendiculaires à la ligne moyenne après déformation.H1
– Les sections planes restent planes après déformation. H2
– Les sections sont indéformables dans leurs plans. H3

Les hypothèses ci-dessus permettront de définir la cinématique de la poutre, qui définit la forme générale du déplacement de la poutre, quel que soit le chargement auquel elle sera soumise. On analyse donc l’effet de chacune de ces hypothèses sur le comportement de la poutre, mais pour cela il est nécessaire de définir au préalable deux notions importantes qui seront utilisées/analysées dans tout ce qui suit, le gauchissement et la déformation transversale (distorsion) des sections.

Définition 1 : on appelle gauchissement d’une section droite, tout déplacement dans le sens longitudinal de la poutre (hors plan de la section), autre que les mouvements rigides longitudinaux, de déplacement uniforme et de rotation de flexion.

Définition 2 : on appelle déformation transversale d’une section droite, tout déplacement de la section dans son plan, autre que les mouvements de corps rigide (déplacement vertical/horizontal et rotation de torsion).

Les hypothèses H2 et H3 impliquent donc que la poutre ne subira ni gauchissement ni déformation transversale. Quant à l’hypothèse H1, elle implique que la rotation de flexion de la section est proportionnelle à la dérivée de la déformée de la poutre.

Détermination des modes de gauchissement d’ordre supérieur 

Dans ce qui précède, les modes de 1er ordre, pour des efforts tranchants dans les directions 1 et 2, ont été déterminé en faisant l’hypothèse que l’effort tranchant était uniforme le long de la poutre et que le gauchissement est non gêné, donc uniforme le long de la poutre. Ceci bien sûr représente rarement un cas réel où le gauchissement est généralement non uniforme (variable le long de la poutre).

Dans le cas de l’effort tranchant, on a déterminé le gauchissement de 1er ordre en équilibrant les contraintes normales dues à la flexion par des contraintes de cisaillements dues au gauchissement. Or ce mode créera à son tour des contraintes normales dans le cas d’un gauchissement non uniforme, qui seront par construction du modèle non équilibrées. D’ici vient l’idée de restaurer l’équilibre, à un ordre plus élevé, en déterminant un nouveau mode de gauchissement, dont les contraintes de cisaillements associées, équilibreront précisément ces contraintes normales non équilibrées du mode précédent. Cette procédure peut être vue comme le point de départ d’un processus itératif, permettant de déterminer des modes de gauchissement d’ordre supérieur pour représenter le gauchissement non uniforme de la poutre.

Discussion générale et analyse des résultats 

Dans les trois articles présentés ici, la construction du modèle de poutre enrichi est effectuée en deux étapes principales. La première est la détermination de la cinématique qui va régir le mouvement de la poutre. Cette étape est importante puisque quelles que soient les charges auxquelles sera soumise la poutre plus tard (forces, poids propre, fluage…), elle ne pourra se déformer que selon la cinématique adoptée initialement. Le choix de cette dernière doit se faire donc en fonction des chargements que va subir la poutre, pour qu’il soit le plus optimal possible. La deuxième étape est l’obtention et la résolution des équations d’équilibre pour construire la matrice de raideur de l’élément. Deux choix s’offrent à nous dans cette étape, le premier consiste à utiliser des fonctions d’interpolations (polynômes de Lagrange, Spline…) pour l’approximation des degrés de libertés, le deuxième consiste à résoudre les équations d’équilibre d’une manière exacte. C’est ce second choix qui a été adopté dans ce travail. Cependant la solution exacte ne peut être obtenue (du moins à notre connaissance) que pour le cas linéaire élastique avec des sections constantes, un cas plus général complique considérablement les équations d’équilibres pour qu’elles puissent encore être résolues d’une manière exacte. Dans ces cas, l’utilisation des fonctions d’interpolations s’impose. La solution exacte est relativement facile à obtenir dans l’article 1 (section infiniment rigide dans leur plan mais pouvant gauchir), mais pour le cas général de l’article 2 et 3 (section pouvant se déformer dans son plan et gauchir) elle n’est atteinte qu’après un long processus de résolution des équations d’équilibre. La solution exacte permet de s’affranchir d’un maillage trop fin et des problèmes de verrouillage numérique pouvant apparaître. Ce qui en fait, malgré sa difficulté, une approche élégante, qui doit toujours être adoptée quand elle est possible.

La méthode des développements asymptotiques (AEM) offre une approche efficace et générale pour déterminer une base réduite adaptée pour enrichir la cinématique de la poutre. Elle peut être considéré comme une approche plus simple que les méthodes de réduction de modèle, tels que la PGD (proper generalized decompostion) ou la POD (proper orthogonal decompostion), voir Ryckelynck & al [16]. Ces approches ont pour point de départ les équations d’équilibre 3D de la poutre, seulement pour la AEM seule une pré-analyse de la section est nécessaire pour déterminer les modes de déformations, au lieu d’un calcul 3D global de la poutre pour les autres approches.

La AEM suppose que la poutre est infiniment longue, et utilise une séparation de variables pour les efforts, variant longitudinalement selon une fonction infiniment dérivable. En considérant toutes ces hypothèses, la forme générale du déplacement de la structure est obtenue. Pour l’usage qu’on fait de la AEM, l’expression exacte de la fonction représentant la variation longitudinale des efforts ne nous intéresse pas, puisque la AEM nous sert seulement à déterminer des modes de déformations associés à chacune des dérivées de ladite fonction. Cependant, parmi les cas de charges usuels qui se présentent à l’ingénieur, certains sont ponctuels (fonction delta de Dirac) ou bien répartis sur une longueur réduite de la poutre (fonction porte). On serait donc en droit de supposer, que pour ces types de fonctions, il faut pousser le développement asymptotique à un ordre très élevé pour obtenir de bons résultats. Cependant dans tous les cas tests proposés dans l’article 3 où le chargement est ponctuel, on obtient de très bon résultats en comparaison avec ceux obtenus avec des modèles de référence en éléments de coques ou volumiques, et cela en s’arrêtant aux modes liés à la dérivée cinquième de la fonction de répartition longitudinale des efforts. On a donc, même pour le cas de comparaison extrême d’une force ponctuelle, de très bons résultats avec très peu de modes.

Il faut noter ici un point de différence important entre les résultats des deux premiers articles avec ceux du dernier. Dans les exemples proposés dans les deux premiers articles, la comparaison est faite sur la distribution des contraintes normales ou tangentielles au voisinage de l’encastrement des poutres, qui représente la zone de perturbation. Les résultats sont comparés à des modèles de références, et montrent une très bonne concordance. Ces résultats ne peuvent pas être reproduits en utilisant les modes provenant de la AEM, puisque une des hypothèses de la méthode est qu’on est dans une poutre infinie (et donc très loin des zones de perturbations). Malheureusement ici pas de miracle, les résultats concernant les contraintes deviennent médiocres en s’approchant des appuis.

Table des matières

Préambule
1 Introduction
2 Les théories de poutres les plus courantes et leur domaine de pertinence
2.1 Poutre d’Euler-Bernoulli
2.2 Poutre de Timoshenko
2.3 Poutre de Vlassov
2.3.1 Gauchissement uniforme
2.3.2 Modèle de Vlassov
2.4 Poutre de Benscoter
3 Résumé de l’article 1 [7]
3.1 Détermination des modes de gauchissement de 1er ordre
3.2 Détermination des modes de gauchissement d’ordre supérieur
4 Résumé de l’article 2 [8]
4.1 Equations d’équilibre
5 Résumé de l’article 3 [9]
5.1 Exemple d’introduction à la méthode des développements asymptotiques
5.2 Problème d’une poutre 3D
5.3 Solution du problème et forme du déplacement
6 Discussion générale et analyse des résultats
7 Conclusion 

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