Notions fondamentales sur les systèmes linéaires avec retard à temps continu

Notions fondamentales sur les systèmes linéaires avec retard à temps continu

Modélisation d’un système 

Définition

La modélisation est la représentation d’un système par un autre, plus facile à appréhender. Il peut s’agir d’un système mathématique ou physique. Le modèle sera alors analogique ou numérique. La modélisation analogique consiste à construire un système physique qui reproduit plus ou moins un phénomène que l’on souhaite étudier. L’observation du comportement du modèle permet de tirer des enseignements sur son intérêt. Tandis que la modélisation numérique consiste à construire un ensemble de fonctions mathématiques décrivant un phénomène. En modifiant les variables de départ, on peut ainsi prédire les comportements dans le temps d’un système physique.

Les systèmes

Définition

Un système est une modélisation d’un procédé, possédant une ou plusieurs entrées, et une ou plusieurs sorties. Les entrées du système rassemblent les perturbations et les variables manipulées, commandes ou grandeurs de réglage. Elles sont reliées au procédé en tant que tel par un actionneur. Les sorties du système sont appelées variables contrôlées, mesures ou grandeurs réglées. Le procédé est relié à la sortie du système par un capteur.

Définition

Le mot système fait référence étymologiquement à un ensemble organisé. En Automatique, on désigne par système un procédé de nature quelconque qui évolue sous l’action de son entrée ? et dont l’évolution est caractérisée par sa sortie ?. Si ces deux grandeurs sont des fonctions d’une variable continue ?, on parle de système à temps continu, d’entrée ?(?) et de sortie ?(?). Dans le cas d’un système échantillonné, les entrées et sorties sont à temps discret, mais le système en lui même demeure à temps continu. Le système inclut donc un convertisseur numérique-analogique en entrée, un convertisseur analogique-numérique en sortie et une horloge permettant de fixer la fréquence d’échantillonnage. Il existe une infinité d’exemples de systèmes : les systèmes mécaniques, les systèmes électriques ou les systèmes de procédés chimiques, les systèmes de télécommunications. La représentation du système ne pourra alors se faire qu’avec de bonnes connaissances dans le domaine physique correspondant.

Différents types de systèmes

Les systèmes peuvent être classés en plusieurs catégories.

Propriété

❖ Système à temps continus : on parle d’automatique. Il s’agit d’asservir, de commander des grandeurs physiques de façon précise. Ce sont des systèmes qui existent naturellement. Pour ces systèmes, le temps ? décrit la droite réelle.
❖ Systèmes à temps discret : ce sont des systèmes pour lequel le temps ? est une variable discrète (on se ramène généralement au cas où ? décrit l’ensemble des nombres entiers). Ces systèmes n’existent pas à l’état naturel (la majorité des systèmes physiques naturels sont à temps continu), mais étant donné que la plupart des contrôleurs utilisés en automatique sont calculés par des processeurs numériques, il est parfois aussi intéressant de modéliser le système commandé comme un système à temps discret.
❖ Systèmes à événements discrets : On parle d’automatisme (séquence d’actions dans le temps), systèmes dont le fonctionnement peut être modélisé par des événements discrets. Généralement, ces systèmes sont modélisés par des réseaux de Pétri, des grafcet (qui en sont des cas particuliers très répandus, notamment dans l’industrie). Exemple : chaîne de montage, les distributeurs automatiques, les ascenseurs, les automates dans le milieu industriel, les feux de croisement, les passages à niveaux.
❖ Systèmes hybrides : systèmes dont la modélisation nécessite l’utilisation des techniques liées aux systèmes continus et aux systèmes à évènements discrets, par exemple : une boîte de vitesse électronique d’une voiture.
❖ Système invariant (ou stationnaire) : Ce sont des systèmes dont les paramètres du modèle mathématique ne varient pas au cours du temps.
❖ Systèmes linéaires ou non linéaires : on dit qu’un système est linéaire s’il est régi par un système d’équations différentielles linéaires. En pratique, aucun système n’est linéaire, ne serait-ce que par les saturations. Toutefois, un système non linéaire peut être considéré comme linéaire dans une certaine plage d’utilisation.

Équation différentielle et fonction de transfert

Un système physique se décrit généralement avec des équations différentielles (par exemple le principe fondamental de la dynamique, caractéristique d’un condensateur ou d’une bobine…). La transformation de Laplace permet alors de passer de l’équation différentielle temporelle à une fonction de transfert, l’inverse n’étant exact que sous certaines hypothèses, car l’obtention d’une fonction de transfert suppose qu’on travaille à conditions initiales nulles. Pour un système à temps discret on utilise la transformation en ?. Ces transformations permettent d’étudier le comportement entrée-sortie du système, mais risquent de faire apparaître des modes cachés, du fait de l’impasse faite sur les conditions initiales. Ces différentes notions sont essentielles pour l’étude d’un système, et qui sera utile pour l’élaboration d’un développement de telles descriptions mathématiques ainsi que leurs applications sur les systèmes à retard de temps continu dans la section suivante.

Retard de temps

Définition

Le retard de temps est la propriété d’un système physique par laquelle la réponse à une action appliquée est retardée dans son effet [23], c’est-à-dire, on définit ainsi qu’un retard est le fait d’arriver, de se produire plus tard que prévu. Toutes fois le matériel, l’information ou l’énergie est physiquement transmis d’un endroit à l’autre, il y a un retard lié à la transmission.

On a la définition générale du retard selon l’équation

?(?) = ?(?)?(? − ?) (1-1)

Tandis que celui du système sans retard est défini

?(?) = ?(?)?(?) (1-2)

Modélisation et représentation des systèmes à retard

Un modèle est donc un outil essentiel pour l’idéalisation d’un système physique. Il est employé pour organiser et/ou réduire l’effort de calcul nécessaire à l’analyse et à la conception des systèmes qui exigent la capacité de déterminer quelles sont les variables physiques ou les relations qui sont cruciales pour la précision du modèle et celles qui peuvent être négligées. Ceci implique que d’après l’infinité de la représentation d’état, un système physique peut alors avoir différents modèles selon les questions d’intérêt à son sujet. Dans notre cas, les descriptions mathématiques des systèmes linéaires à retard, ses comportements et ses applications, ainsi que ses stabilités vont être le sujet essentiel de cette initiation à la recherche.

L’état d’un système est une collecte d’informations qui contient l’histoire du système (son passé, ses comportements et la prédiction de son comportement à l’avenir) ; c’est-à-dire que la connaissance de l’état et les entrées d’un système seront suffisants pour calculer ses sorties.

Table des matières

INTRODUCTION
Chapitre 1. MODELISATIONS ET REPRESENTATION D’ETAT DES SYSTEMES LINEAIRES AVEC RETARD A TEMPS CONTINU
1.1. Introduction
1.2. Notions fondamentales sur les systèmes linéaires avec retard à temps continu
1.2.1. Modélisation d’un système
1.2.2. Les systèmes
1.2.3. Différents types de systèmes
1.2.4. Équation différentielle et fonction de transfert
1.2.5. Retard de temps
1.3. Modélisation et représentation des systèmes à retard
1.3.1. Définition et représentation dans le domaine de l’espace d’état
1.3.2. Représentation par la fonction de transfert
1.3.3. Système linéaire à retard du premier ordre
1.3.4. Système linéaire à retard du second ordre
1.3.5. Système linéaire à retard d’ordre 3 ou d’ordre supérieur
1.4. Les différents types de systèmes à retard
1.4.1. Equation différentielles fonctionnelles pour la représentation des systèmes à retard
1.4.2. Équations différentielles fonctionnelles
1.4.3. Équation avec des coefficients dans un anneau d’opérateurs
1.4.4. Représentation abstraite au-dessus d’un espace linéaire de dimension infini
1.5. La solution, la méthode d’étape, la matrice fondamentale des systèmes linéaires à retard
1.5.1. Solution de l’équation différentielle du 1er ordre
1.5.2. Matrice de transfert des systèmes à retard
1.5.3. La formule de variation de constantes des systèmes linéaires à retard
1.6. Conclusion
Chapitre 2. LES OUTILS MATHEMATIQUES FONDAMENTAUX POUR LES SYSTEMES A RETARD
2.1 Introduction
2.2 Equations caractéristiques, fonction de transfert et transformations des systèmes à retard
2.2.1 Fonctions de transfert et détermination des racines caractéristiques
2.2.2 Les équations différentielles fonctionnelles à retard mixte et détermination de ses racines caractéristiques
2.3 Retard de transport d’eau chaude et réglage d’état pour une personne désirant une certaine température ??(?) dans une douche
2.3.1 Fonction de transfert et localisation des racines de l’équation caractéristique du modèle
2.3.2 Comportement de la réponse de la commande ??(?)
2.4 Modèle mathématique et utilisation d’un système à retard pour le remplissage d’un réservoir à sciure de bois à partir d’une vis sans fin
2.4.1 Modélisation mathématique du système
2.4.2 Equation caractéristique et fonction de transfert du modèle
2.5 Conclusion
Chapitre 3. ANALYSE DES SYSTEMES LINEAIRES A RETARD
3.1 Introduction
3.2 Commandabilité et observabilité d’un système à retard
3.2.1 Système commandable
3.2.2 Commandabilité spectrale
3.2.3 Observabilité du système à retard
3.3 Stabilité du système à retard
3.3.1 Stabilité via l’équation caractéristique
3.3.2 Tests de stabilité et quelques normes
3.3.3 La méthode directe de Lyapunov
3.3.4 La méthode de Razumikhin
3.3.5 Essais de stabilité indépendante des retards
3.3.6 Essai de stabilité dépendante du retard
3.3.7 Essais de stabilité du système à retard selon la théorie de Lyapunov-Razumikhin
3.3.8 Essai de stabilité du système à retard par les méthodes de Lyapunov-Krasovskii
3.4 Exemple fondamentale
3.5 Conclusion
Chapitre 4. APPLICATIONS DE LA SYNTHESE DES SYSTEMES MULTIVARIABLES A RETARD SUR LE RETARD DE DEMARRAGE D’UN MOTEUR A COURANT CONTINU
4.1 Introduction
4.2 Modélisation et fonction de transfert du moteur à courant continu non retardé et sans charge
4.2.1 Modèle sans charge
4.2.2 Commande par la variation de la tension d’induite
4.2.3 Commande par la variation du flux inducteur ou commande par l’inducteur
4.3 Modélisation et fonction de transfert du moteur à courant continu sans retard en charge
4.3.1 Commande de la vitesse de la machine par la variation de la tension d’induite
4.3.2 Calcul de la fonction de transfert du moteur à courant continu
4.4 Analyse temporelle du comportement d’un moteur à courant continu
4.4.1 Réponse impulsionnelle du premier ordre
4.4.2 Réponse indicielle du premier ordre
4.4.3 Applications numériques
4.5 Modèle de connaissance d’un système de second ordre
4.5.1 Etude de la réponse indicielle
4.5.2 Etude harmonique
4.5.3 Commande de la vitesse de la machine par la variation de la tension d’induite avec considération de l’inductance
4.5.4 Réponse du modèle pour la commande de la vitesse et de la position angulaire de rotor du moteur
4.5.5 Applications numériques
4.6 Analyse d’état du moteur sans retard
4.6.1 Représentation d’état du système sans retard
4.6.2 Commandabilité du modèle sans retard
4.6.3 Observabilité du système sans retard
4.6.4 Applications numériques
4.7 Analyse et représentation d’état du moteur à courant continu avec retard de démarrage
4.7.1 Représentation par la fonction de transfert du modèle avec retard sous forme de premier ordre
4.7.2 Applications numériques pour la commande de vitesse
4.7.3 Fonction de transfert du moteur à courant continu avec retard sous forme de second ordre
4.7.4 Applications numériques
4.7.5 Représentation sous forme d’espace d’état
4.7.6 Commandabilité spectrale du modèle avec retard
4.7.7 Observabilité du système avec retard
4.7.8 Stabilité
4.8 Conclusions
CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES
ANNEXES

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