Soutenance mémoire
Notions d’observabilité pour les systèmes non linéaires
Observabilité
Estimation d’état
Un estimateur d’état, ou observateur, est un algorithme permettant de reconstruire des variables d’état d’un système dynamique en exploitant les mesures des différentes entrées et sorties de ce dernier. Un observateur peut être vu comme un capteur logiciel, jouant un rôle similaire à celui d’un capteur physique, mais pour une grandeur non mesurée.
L’observabilité exprime la possibilité de reconstruire la trajectoire d’état du système x(t, x(t0), u(t)) telle que définie ci-dessus par la simple connaissance de la sortie y(t, t0) et de l’entrée u(t, t0) sur un intervalle de temps [t0, t0 + T[. Concrètement, l’observabilité est basée sur la possibilité de distinguer deux trajectoires distinctes pour tout couple distinct de conditions initiales (Hermann et Krener 1977).
Observabilité globale
L’observabilité pour les systèmes non linéaires, contrairement aux systèmes linéaires, n’est pas un concept universel. Il existe ainsi plusieurs définitions traitant de l’observabilité ; on parle notamment d’observabilité globale, observabilité locale, ou encore d’observabilité uniforme. La première définition ci-après est directement liée à la distinguabilité de deux trajectoires à partir de deux conditions initiales différentes (Hermann et Krener 1977).
Définition 2.2.1 (Distinguablité et indistinguabilité) Deux états initiaux x0, x1 ∈ X tels que x0 ≠ x1 sont dits distinguables dans X si ∃t ≥ 0 et ∃u : [0, t] → U une entrée admissible telle que les trajectoires des sorties issues de x0 et x1, respectivement, restent dans X sur l’intervalle [0, t], et vérifient y(t, x0, u(t)) ≠ y(t, x1, u(t)). Dans ce cas, on dit que l’entrée u distingue x0 de x1 dans X . Réciproquement, deux états initiaux x0, x1 ∈ X tels que x0 ≠ x1 sont dits indistinguables si, ∀t ≥ 0 et ∀u : [0, t] → U pour lesquels les trajectoires issues de x0 et x1 restent dans X , nous avons y(t, x0, u(t)) = y(t, x1, u(t)).
La notion d’observabilité d’un système en un point (Gauthier et Bornard 1981 ; Zemouche 2007 ; Liu 2007) découle directement de la précédente définition. Par extension, il est possible de définir l’observabilité d’un système en tout point de X .
Définition 2.2.2 (Observabilité) Le système (2.1) est dit observable en x0 ∈ X si pour tout autre état x1 6= x0, les deux états x0, x1 sont distinguables dans X . Par extension, si cette dernière propriété est vraie pour tout x0 ∈ X , alors on dit que le système est observable.
Cette dernière définition amène au théorème suivant que l’on peut retrouver dans (Kalman 1960).
U-uniforme observabilité
Dans le cas de systèmes non linéaires, l’observabilité d’un système dépend fortement de l’entrée que l’on applique au système considéré. En effet, le système peut tout à fait être observable pour certaines entrées, et être inobservables pour d’autres entrées. Dans cette optique, nous allons introduire la notion d’entrée universelle puis nous définirons l’observabilité pour toute entrée, concept clé des contributions présentées dans ce manuscrit (Sussmann 1978).
Définition 2.2.7 (Entrée universelle) Une entrée u : [0, T] → U admissible est dite universelle pour le système (2.1) sur [0, T] si, quel que soit le couple d’états initiaux distincts x0, x1, il existe au moins un instant de temps t ∈ [0, T] pour lequel les sorties résultantes de x0 et x1 sont distinctes, i.e. y(t, x0, u(t)) ≠ y(t, x1, u(t)). Une entrée non-universelle est appelée entrée singulière.
Dans le cas où toutes les entrées admissibles de U sont universelles, alors tout couple d’états initiaux est distinguable. C’est ce que l’on appelle l’observabilité pour toute entrée, ou Uuniforme observabilité (Williamson 1977).
Définition 2.2.8 (U-uniforme observabilité) Un système (2.1) dont toutes les entrées admissibles à valeurs dans U sont universelles est dit U-uniformément observable.
Dans la littérature, beaucoup de travaux traitent de la caractérisation de classes de systèmes U-uniformément observables. Le cas des systèmes mono-sortie est étudié dans (Williamson 1977) pour les cas des systèmes bilinéaires, et dans (Gauthier et Bornard 1981 ; Gauthier et al. 1992) pour le cas des systèmes affines en la commande. Ces deux cas sont détaillés dans les deux paragraphes suivants. Nous donnerons ensuite deux exemples traitant du cas multisorties, où nous verrons qu’il n’existe que des conditions suffisantes d’observabilité uniforme.
Observabilité des systèmes mono-sortie bilinéaires
Dans (Williamson 1977), la classe de systèmes considérée est la suivante :
x˙(t) = Ax(t) + u(t)Bx(t) + F u(t)
y(t) = Cx(t)
où x ∈ Rn , u ∈ IR, y ∈ IR, A ∈ IRn×n , B ∈ IRn×n , C ∈ IR1×n et F ∈ IRn .
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Table des matières
1 Introduction générale
2 Notions d’observabilité pour les systèmes non linéaires
2.1 Introduction
2.2 Observabilité
2.2.1 Estimation d’état
2.2.2 Observabilité globale
2.2.3 Observabilité locale faible
2.2.4 Observabilité au sens du rang
2.2.5 U-uniforme observabilité
2.3 Synthèse d’observateurs
2.3.1 Systèmes linéaires à temps invariant – Observateur de Luenberger
2.3.2 Systèmes linéaires à temps variant – Filtre de Kalman
2.3.3 Synthèse d’un observateur grand gain pour une classe de systèmes non linéaires à plusieurs sorties regroupées en un bloc
2.3.4 Synthèse d’un observateur grand gain pour une classe de systèmes non linéaires non-triangulaire par bloc
2.4 Limites de la synthèse d’observateurs grand gain
2.5 Conclusion
3 Observateur pour des systèmes non linéaires avec prise en compte du processus d’acquisition des mesures de sortie
3.1 Introduction
3.2 Quelques résultats préliminaires
3.3 Synthèse d’observateur dans le cas d’une sortie sans retard
3.3.1 Description du processus d’acquisition des mesures de sortie
3.3.2 Synthèse d’observateur
3.4 Synthèse d’observateur dans le cas d’une sortie avec petit retard variable
3.4.1 Synthèse de l’observateur
3.4.2 Rapprochement avec le cas sans retard sur la sortie
3.5 Synthèse d’observateur dans le cas d’une sortie avec retard relativement grand
3.5.1 Cas d’un retard long constant sur la sortie
3.5.2 Cas d’un retard long variable sur la sortie
3.5.3 Retarder la sortie retardée disponible
3.5.4 Lien avec le cas du retard constant
3.6 Synthèse d’observateur pour des sorties avec retards variables multiples
3.6.1 Description du processus d’acquisition des mesures pour chacune des composantes de la sortie, dans le cas sans retard
3.6.2 Synthèse d’observateur dans le cas de petits retards variables multiples
3.6.3 Synthèse d’observateur dans le cas de retards variables relativement grands
3.7 Exemples illustratifs
3.7.1 Exemple 1 – Système chaotique de Lorenz
3.7.2 Exemple 2 – Joint flexible de bras robotique
3.8 Conclusion
4 Observateur grand gain filtré
5 Conclusion générale
