Notions de dynamique topologique

Notions de dynamique topologique

On commence par rappeler les notions classiques de la théorie des systèmes dynamiques.

Définition 1 Un système dynamique est une paire (X, F) où X est un espace métrique compact et F une application continue de X dans lui même. Un morphisme π : (X, F) → (Y, G) entre deux systèmes dynamiques est une application continue π : X → Y vérifiant π ◦ F = G ◦ π.

Définition 2 1- L’orbite d’un point est l’ensemble {Fi (x), i ∈ N∗} .
2- Un point x ∈ X est périodique pour F s’il existe n ∈ N tel que F n (x) = x .

3- Un point est dit ultimement périodique si Fm (x) est un point périodique pour un certain m ≥ 0.

Dans le cadre de l’étude d’un système dynamique, une question classique est de savoir à quelle fréquence l’orbite d’un point revient dans son voisinage. Cette question conduit à l’élaboration du concept de transitivité. Un système dynamique (X, F) est transitif si pour tout ouverts U, V ⊂ X il existe n ∈ N vérifiant U ∩ F−n (V ) ≠ ∅. Cette définition est équivalente à l’existence d’un point dont l’orbite est dense dans X. La transitivité est une propriété qui se transmet au facteur.

On dit qu’un système dynamique (X, F) est topologiquement faiblement mélangeant si (X × X, F × F) est transitif ; topologiquement mélangeant si pour tout ouvert U, V de X il existe un entier n0 tel que pour tout n ≥ n0 on a U ∩ F−n (V ) ≠ ∅.

Un système (X, F) est minimal s’il n’existe pas de sous-ensemble invariant de X autre que X et l’ensemble vide. Cette définition est équivalente au fait que tous les points possèdent des orbites denses. Le mélange topologique, tout comme la minimalité, entraînent la transitivité, l’inverse étant en général faux. La notion de point d’équicontinuité permet de savoir si des trajectoires initialement proches peuvent le rester indéfiniment. On dit qu’un point est un point d’équicontinuité si les trajectoires des points se trouvant dans un voisinage initialement proche peuvent le rester dans un voisnage déterminé. L’inverse est la notion de sensibilité aux conditions initiales où les trajectoires de points distincts s’éloignent les unes des autres d’au moins une quantité donnée. L’expansivité est une version plus puissante de la notion de sensibilité aux conditions initiales.

Rappels topologiques et ergodiques

Soit X un espace compact ; l’ensemble des mesures de probabilité sur X sera noté M(X). Pour µ ∈ M (X), le support topologique de µ est le plus petit fermé de mesure 1 ; on le note supp (µ).

Un système dynamique mesuré est la donnée d’un espace mesuré (X, B, µ) et d’une application F : X → X définie µ presque partout. On dit que l’application mesurable F préserve la mesure µ si pour tout B ∈ B on a µ(F−1 (B)) = µ(B). L’ensemble M (F) des mesures de probabilité Finvariantes est non vide, convexe et compact pour la topologie faible. La notion topologique de transitivité possède un « équivalent » mesurable qui est  la notion d’ergodicité. Un système dynamique (X, B, F, µ) est dit ergodique si et seulement si les seuls ensembles invariants sont ∅ et X et totalement ergodique si (X, B, F n , µ) est ergodique pour tout n ∈ N. Un système dynamique est mélangeant si un événement et l’image d’un autre événement au bout d’un grand nombre d’itérations de F sont de plus en plus près de l’indépendance .

Propriétés spectrales des systèmes dynamiques

Valeurs propres topologiques

On notera l’ensemble des fonctions continues définies de l’ensemble X dans le corps des complexes C par C (X, C).

Définition 10 Soit (X, F) un système dynamique.
1. Une fonction continue non identiquement nulle g : X → C est une fonction propre de (X, F) associée à la valeur propre λ ∈ C si elle vérifie g ◦ F = λ.g.
2. On appelle spectre de (X, F) et on note δ (X, F) l’ensemble de toutes ses valeurs propres.
3. On dit que (X, F) est à spectre discret si l’ensemble de ses fonctions propres est une base de l’espace vectoriel C (X, C).
4. On dit que (X, F) a un spectre trivial si les seules fonctions propres correspondant à la valeur propre 1 sont les fonctions constantes.

Les systèmes dynamiques transitifs peuvent être caractérisés par leurs propriétés spectrales en vertu du résultat classique suivant :

Proposition 11 Soit (X, F) un système dynamique transitif.
1. Si g ∈ C (X, C) est une fonction propre associée à la valeur propre 1 alors g est une fonction constante.
2. Si g ∈ C (X, C) est une fonction propre associée à la valeur propre λ alors |λ| = 1 et |g| est une fonction constante.
3. Si g, h ∈ C (X, C) sont deux fonctions propres associées à la même valeur propre λ alors il existe une constante c ∈ C tel que f = c.g.
4. Un ensemble de fonctions propres associée à des valeurs propres distinctes est linéairement indépendant dans C (X, C).
5. Le spectre δ (X, F) est un sous-groupe dénombrable de l’ensemble des racines complexes de l’unité.

Valeurs propres ergodiques

On notera l’ensemble des fonctions mesurables de carré intégrable au sens de Lebesgue par L2 .

Définition 12 Soit (X, F, µ) un système dynamique.
1. Une fonction de L2 non identiquement nulle, g : X → C, est une fonction propre de F associée à la valeur propre λ au sens de la mesure s’il existe un ensemble mesurable G ⊂ X de mesure 1 tel que ∀x ∈ G : (g ◦ F) (x) = λ.g (x).
2. On dit que (X, F) est à spectre continu si l’ensemble de ses valeurs propres se réduit à 1 et si les seules fonctions propres associées sont les fonctions constantes.
3.On dit que (X, F) est à spectre discret si l’ensemble des fonctions propres constitue une base de l’espace L2 .

Table des matières

I Introduction
1 Généralités
1.1 Notions de dynamique topologique
1.2 Rappels topologiques et ergodiques
1.3 Propriétés spectrales des systèmes dynamiques
1.3.1 Valeurs propres topologiques
1.3.2 Valeurs propres ergodiques
2 Propriétés spectrales des automates cellulaires
2.1 Notations et premières définitions
2.1.1 Espace de configurations
2.1.2 Décalage et sous-décalage
2.2 Quelques classes d’automates cellulaires
2.2.1 Automates cellulaires permutatifs
2.2.2 Automates cellulaires fermants
2.2.3 Automates cellulaires expansifs
2.3 Dynamique topologique des automates cellulaires
2.4 Théorie ergodique des automates cellulaires
2.4.1 Mesures invariantes pour les automates cellulaires
2.5 Classification de Gilman
2.6 Densité des points périodiques
2.7 Systèmes sturmiens
2.8 Propriétés spectrales des automates cellulaires
II Valeurs propres des automates cellulaires
3 Exemples et premiers résultats
4 Valeurs propres topologiques des automates cellulaires
5 Valeurs propres mesurables des automates cellulaires
III Conclusion

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