Notions de cinématique et de sthénique

Notions de cinématique et de sthénique

Formulation du système d’équations

La formulation d’un système d’équations adapté à la discrétisation nécessite la transformation des inéquations en équations. Les méthodes de régularisation sont majoritairement répandues. Parmi ces méthodes, les deux les plus importantes sont : celle de pénalisation [5, 3, 4] et celle des multiplicateurs de Lagrange [10, 11, 12]. Pour concilier les avantages de l’une et de l’autre, un certain nombre de méthodes hybrides ont été proposées [7, 8, 9], La plus commune de ces méthodes hybrides est celle du lagrangien augmenté [7, 8]. Il est important de préciser que dans chacun de ces cas, un système d’équations est obtenu par la linéarisation du système formé à partir des équations du principe des travaux virtuels .

Problêmes de Hertz

Le problème de Hertz est très souvent utilisé comme référence dans le processus de validation de modèle numérique. Il consiste à calculer l’état mécanique de deux cylindres entrant en contact le long de leur génératrice sous l’effet d’une force linéique P . Ce problème permet de vérifier si la méthode de calcul peut donner une bonne évaluation des conditions de contact même si on ne connaît qu’une approximation des frontiéres.

Solution analytique

Lorsque le comportement des solides est élastique, la solution analytique d’un tel problème est connue depuis les travaux de Hertz publiés en 1882. La solution proposée par Hertz n’est valable que si nous respectons certaines hypothèses sur la zone de contact. Celles-ci sont données par :
– les surfaces sont continues et non conformes : a « Ri et a « R2
– les déformations sont petites : a « R\ et a « R2
– chaque solide peut être considéré comme un solide semi-infini, c’est-à-dire : a « Ri et a << R2
– il n’y a pas de frottement : jj, = 0

Approche numérique

Dans cet exemple, les deux cylindres sont de même dimension. D’après les plans de symétrie, de l’hypothèse des petites déformations et de la géométrie, le problème peut être réduit à ia modélisation de deux quarts de cylindres rentrant en contact entre eux.
Compte tenu du fait que tout le cylindre n’est plus considéré, la force linéique P ne peut plus être imposée. Afin de résoudre le même problème, un déplacement estimposé sur les faces des quarts de cylindre parallèles à la zone de contact, ceux-ci ont le même sens que la force P et sont égaux à 5/2. De plus, les déplacements normaux des frontières reposant sur les axes de symétries sont imposés nuls.
La résolution de ce problème est effectuée en deux dimensions en se basant sur l’hypothèse des déformations planes. Le calcul est accompli en deux pas de temps. Le nombre d’itérations maximale pour chaque pas de temps est fixé à cent.
Le maiilage de la section du quart de cylindre est composé d’éléments triangulaires à trois nœuds . Les éléments situés dans le voisinage de la zone de contact sont supposés être de même dimension. Pour le choix de la taille des éléments, nous avons pris comme critère le ratio entre la taille des éléments dans la zone de contact et la dimension de celle-ci. Trois maillages sont définis (noté maiilage n, où n est le nombre d’éléments dans la zone de contact) :
– maiilage 2,
– maiilage 4,
– maiilage 6.
Le choix d’une méthode de régularisation des équations du contact mécanique a une très grande influence sur la qualité de la solution ainsi que la vitesse de convergence.
Nous avons comparé les trois méthodes suivantes :
– méthode de pénalisation (avec une pénalité normale de 105 , 106 ou 107),
– méthode de pénalisation adaptative ,
– méthode du lagrangien augmenté (avec une pénalité normale de ÎO3 , 104 , 105 ou 106).
L’unité de longueur choisie pour la modélisation de ces problème est le millimètre. Une interpolation linéaire est utilisée, ainsi qu’une intégration sur la frontière de contact de type Newton-Cotes à deux points (pour un élément unidimensionnel, cela correspond à une intégration sur les nœuds).

Deux cylindres identiques

Le problème de contact entre deux cylindres identiques est résolu de deux manières différentes :
– un quart de cylindre rentrant en contact avec un plan indéformable,
– deux quarts de cylindre identiques entrant en contact entre eux.
Ces deux versions sont exposées aussi bien avec un comportement élastique qu’élastoplastique. Le problème élasto-plastique est utilisé pour tester l’effondrement de la valeur des contraintes normales de contact. Ainsi, afin de maximiser la plastification, l’hypothèse des déformations planes est remplacée par celle des contraintes planes. Les caractéristiques physiques et mécaniques de ces problèmes sont définies par les valeurs suivantes :
– rayon des cylindres R = 0,25 m
– module d’Young E = 200 GPa
– coefficient de Poisson v = 0,3
– limite d’élasticité : ae = 472 MPa
– la loi d’écrouissage : <7o(MPa) = ae + Ke avec :
– K = 640 MPa

Solution numérique
Pour le problème élasto-plastique, les conditions aux limites et les maillages sont ceux utilisés pour le problème élastique. Ces problèmes sont résolus en deux pas de temps.
– Cas du quart de cylindre et du plan Le cas du quart de cylindre et du plan indéformable est la configuration la plus simple de ce problème. C’est pour cette raison que ce problème est présenté au début de la validation des méthodes numériques de résolution.
Méthode de pénalisation
Dans un premier temps, la méthode de pénalisation est étudiée avec un coefficient de pénalisation normale constant. Une étude du cas élastique permet de déterminer la valeur optimale du coefficient de pénalisation normale. Celle-ci est la plus faible valeur permettant une bonne approximation des forces normales de contact. Les mêmes coefficients de pénalisation sont utilisés pour le cas élasto-plastique.

Deux cylindres de matériaux différents

Cet exemple a pour but de tester l’influence de la différence de caractéristiques mécaniques des deux solides mis en contact sur les méthodes de résolution. Ainsi, le problème de contact entre un cylindre en aluminium et un autre en acier est exposé aussi bien avec un comportement élastique qu’élasto-plastique. Pour la même raison que celle du problème précédent, dans le cas élasto-plastique, l’hypothèse des déformations planes est remplacée par celle des contraintes planes. Les caractéristiques physiques et mécaniques de ce problème sont définies par :
– rayon des cylindres R = 0,25 m
– acier : les caractéristiques physiques et mécaniques sont les mêmes que celles de l’acier du problème précédent (voir page 63)
– aluminium :
– module d’Young E = 70GPa
– coefficient de Poisson v — 0,3
– limite d’élasticité : ae = 325 MPa
– la loi d’écrouissage : cro(MPa) = ae + Ke avec :
– AT = 690 MPa

Écrasement de deux tubes concentriques

Le problème étudié est celui de deux tubes concentriques. Le tube intérieur est appuyé contre l’autre . Les deux tubes ont une épaisseur identique (e = 10 mm). Le rayon intérieur du tube extérieur est égal au rayon extérieur du tube intérieur (25 cm). Le matériau constituant ces deux tubes est l’acier présenté dans le problème de Hertz . Dans cet exemple le matériau est supposé élastique.Ce problème est modélisé en trois dimensions. La longueur des deux tubes est de 100 mm. Afin de retrouver des déformations planes, les déplacements suivant l’axe longitudinal des tubes, sont bloqués sur les deux sections extrêmes. Les déplacements tangentiel et radial sont bloqués sur la surface extérieure du tube extérieur.Deux demi-tubes sont modélisés. Deux maillages sont utilisés, ils sont constitués d’hexaèdres à 8 nœuds. Les deux maillages sont découpés en trois éléments sur l’épaisseur. Le tube intérieur est découpé en 9 éléments dans le sens de la profondeur alors que le tube extérieur est divisé en 4 éléments. Le maillage 1 est constitué de 58 éléments sur la demi-circonférence du tube intérieur et de 39 sur celle du tube extérieur. Le maillage 2 comporte 40 éléments sur la demi-circonférence du tube intérieur et du tube extérieur . Un déplacement de 0,1 mm est appliqué sur la surface intérieure du demi-tube intérieur suivant la direction U. Le schéma d’intégration utilisé sur les frontières de contact est un schéma de Newton-Cotes à 9 points par ligne.

Méthode de pénalisation adaptative modifiée

Cette nouvelle méthode de pénalisation adaptative est inspirée de la méthode de pénalisation adaptative présentée dans la partie 3.4.1. Elle permet de réduire au minimum les oscillations du statut de contact engendré par une augmentation trop importante du coefficient de pénalisation normale (contact / non contact). Elle autorise aussi le contrôle de l’interpénétration résiduelle. Ainsi, les bornes de variation de l’interpénétration admissible (gmin et </maa;) peuvent être choisies de façon plus libre.
L’algorithme utilisé pour la résolution d’un problème de contact mécanique avec cette nouvelle méthode de pénalisation adaptative est le même que celui présenté pour la méthode de pénalisation . Elle peut donc aisément être implémentée dans un code comprenant la méthode de pénalisation adaptative.Pour chaque itération et chaque point, la valeur des contraintes de contact doit être calculée. Or, la composante normale dépend du coefficient de pénalisation normale.Cette technique d’adaptation de la pénalisation permet de rendre la méthode plus stable et plus rapide. En effet, l’adaptation de la valeur du coefficient de pénalisation normale est calculée en fonction de l’évolution des variables. Trois cas de figures sont envisageables, soit la valeur de l’interpénétration est inférieure à la limite minimale, soit elle est comprise entre la limite minimale et la maximale, soit elle est supérieure à la limite maximale.Dans les deux premiers cas, l’adaptation de la valeur du coefficient de pénalisation normale est identique à celle de la pénalisation adaptative . Si 9i est inférieur à gmin alors la condition de contact est considérée parfaitement respectée et pour réduire les risques d’oscillations numériques la valeur de en est diminuée. Si «fc est compris entre gmin et pmoa; alors l’évaluation des conditions de contact est considérée convenable, ainsi la valeur de en n’est pas modifiée.

Méthode du lagrangien augmenté adapté

La méthode du lagrangien augmenté adapté est basée à la fois sur celle du lagrangien augmenté  et sur celle de la nouvelle pénalisation adaptative. Elle a pour but de cumuler la fiabilité de la méthode du lagrangien augmenté et la rapidité de celle de la pénalisation. L’algorithme utilisé pour la résolution d’un problème de contact avec la méthode du lagrangien augmenté adapté est le même que celui présenté pour la méthode du lagrangien augmenté, cette méthode peut donc facilement être utilisée dans un code de calcul l’utilisant. Par contre, les conditions de contact sont calculées différemment. Lors de chaque itération, la valeur des coefficients de pénalisation et des contraintes de contact doit être recalculée. La contrainte normale de contact est calculée de la même manière qu’avec la méthode du lagrangien augmenté. Mais un terme est ajouté afin de mieux l’évaluer lorsque la valeur de l’interpénétration change de signe . Cette procédure de calcul est basée sur le principe suivant : si la valeur de l’interpénétration change de signe (gi x gt_i < 0), cela signifie que la correction apportée est trop importante. Cette dernière (</»-i£n) est ajoutée à la composante normale du multiplicateur de Lagrange afin de réduire les oscillations numériques. Par contre, lorsque ce phénomène se répète plusieurs fois consécutives, aucun historique des corrections apportées par la pénalisation n’est conservé car la valeur trop importante du coefficient de pénalisation normale provoque ces instabilités .
Lors de l’entrée en contact, une valeur initiale du coefficient de pénalisation normale est imposée. Cette valeur peut être choisie en fonction des caractéristique des matériaux.
Par la suite, cette valeur est ajustée en fonction de l’historique des conditions de contact. Ainsi, la valeur initiale du coefficient de pénalisation normale n’a que très peu d’importance sur le temps de calcul et quasiment aucune sur la valeur de la solution.

Méthode surface-surface

La méthode surface-surface proposée est basée sur les éléments joints. Cette version est adaptée à la résolution de problèmes en trois dimensions. Mais, dans ces expressions, le vecteur normal et les vecteurs définissant le plan tangentiel au nœud A sont ceux du point le plus proche sur l’autre frontière de contact. Il n’est donc pas nécessaire de calculer de manière compliquée la valeur de ces vecteurs à partir de ceux des éléments voisins. Cette manière de calculer la distance et la vitesse tangentielle au nœuds d’une des surfaces permet l’utilisation de cette méthode pour des problèmes en trois dimensions.Le processus de validation de ces méthodes est fait à partir des exemples utilisés pour exposer les limites des méthodes les plus connues .

Préchauffage d’une cuve d’electrolyse

La fabrication de l’aluminium est effectuée dans des cuves d’électrolyse. La réduction de l’oxyde d’aluminium se produit à haute température (environ à 950°C). Afin d’éviter tout endommagement des matériaux par un choc thermique, un préchauffage électrique (par effet Joule) de la cuve d’électrolyse est effectué, avant le versement du bain en fusion.Ce problème traite du préchauffage électrique des cathodes d’une cuve d’électrolyse.Ce problème industriel a été traité par P. Goulet (). C’est un problème thermo-électromécanique composé de trois parties, la cathode (carbone), la barre collectrice (acier) et le joint entre les deux (fonte).Le comportement mécanique de l’acier et de la fonte est supposé élastique, alors que celui du carbone est thermo-élasto-plastique avec écrouissage et adoucissement.Les caractéristiques thermiques, électriques et mécaniques de ces matériaux sont prises dans  Le préchauffage dure dix-huit heures, pendant les seize premières heures, la température augmente linéairement pour atteindre 600°C. Suite à ceci, le bain en fusion est versé, ce qui accélère le réchauffement jusqu’à environ 950°C . Durant cette période, le bloc cathodique est traversé par un courant électrique. Une densité de courant est imposée au bout de la barre collectrice. Un potentiel électrique nul est appliqué sur la surface supérieure de la cathode. Ceci permet de contrôler l’évolution de la perte de potentiel électrique dut aux résistances de contact.

Table des matières

1 Introduction 
1.1 Généralités
1.2 Problématique
1.3 Objectifs
1.4 État des connaissances
1.5 Méthodologie
1.6 Originalité et plan
2 Mécanique du contact frottant 
2.1 Notions de cinématique et de sthénique
2.1.1 Cinématique
2.1.2 Sthénique
2.2 Formulation du contact avec frottement
2.2.1 Modélisation du contact
2.2.2 Modélisation du frottement
2.3 Principe des travaux virtuels
2.4 Conclusion
3 Méthodes de résolution
3.1 Formulation du système d’équations
3.1.1 Méthode de pénalisation
3.1.2 Méthode des multiplicateurs de Lagrange
3.1.3 Méthode du lagrangien augmenté
3.2 Discrétisation des équations
3.2.1 Méthode de pénalisation ou hybride
3.2.2 Méthode des multiplicateurs de Lagrange
3.3 Discrétisation du contact mécanique
3.3.1 Méthode point-surface
3.3.2 Méthode surface-surface
3.4 Algorithmes de résolution
3.4.1 Méthodes de pénalisation
3.4.2 Méthodes du lagrangien augmenté
3.4.3 Méthode des multiplicateurs de Lagrange
3.5 Conclusion
4 Limites des méthodes habituelles 
4.1 Problèmes de Hertz
4.1.1 Solution analytique
4.1.2 Approche numérique
4.1.3 Deux cylindres identiques
4.1.4 Deux cylindres de matériaux différents
4.2 Problèmes de contact frottant
4.2.1 Écrasement d’un tube entre deux plans rigides
4.2.2 Écrasement de deux tubes concentriques
4.3 Conclusion
5 Méthodes de résolution proposées
5.1 Méthode de pénalisation adaptative modifiée
5.2 Méthode du lagrangien augmenté adapté
5.3 Méthode surface-surface
5.4 Validation des méthodes
5.4.1 Problèmes de Hertz
5.4.2 Problèmes de contact frottant
5.4.3 Préchauffage d’une cuve d’électrolyse
5.5 Conclusion
6 Conclusion et recommandations 
6.1 Conclusion
6.2 Recommandations
A. Approche différente 
A.l Approche utilisée à l’Université de Liège
A.l.1Metafor
A.l.2 Gestion du temps
A.1.3 Gestion du contact
A. 1.4 Régularisation du vecteur normal
A.1.5 Matériaux élasto-plastique
A.2 Problème de Hertz

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