Soutenance mémoire
La modélisation tient une grande place dans la recherche scientifique et ses applications [1]. Les méthodes présentées constituent un bagage pour aborder l’analyse de sensibilité contemporaine en introduisant les méthodes et à leur mise en œuvre. Compte tenu des cultures diverses des utilisateurs sur le plan statistique, des compléments sur les prés requis statistiques sont fournis. De nos jours, les modèles mathématiques deviennent très complexes et cette complexité se traduit, généralement, par une multiplication de leurs paramètres d’entrée (inputs). Cependant, ces derniers n’ont pas tous le même niveau d’influence sur les sorties (outputs) [2]. Les modèles mathématiques décrivant les phénomènes contiennent deux types d’incertitude : le premier, qui est lié au modèle lui-même, est dû à la description physicomathématique du système et l’autre, lié aux paramètres du modèle, résulte des erreurs d’estimation et de procédure adoptée dans la collecte des données expérimentales utilisées. Pratiquement, les valeurs exactes des paramètres d’entrée d’un modèle ne sont pas accessibles, mais elles ont un important degré d’incertitude pouvant influencer de manière notable, les prédictions du modèle. Ainsi, selon Saltelli [3], il est impératif pour l’utilisateur de savoir le comportement ou la (les) réponse(s) d’un modèle par rapport aux facteurs d’entrée. Ces recherches de la compréhension du comportement d’un modèle vis-àvis de ses paramètres, de la cohérence entre les modèle et système et de la manière dont ses différentes parties interagissent, ne peuvent se faire que par le biais d’une analyse de sensibilité (SA).
Notions d’analyse de sensibilité
Définitions
Au cours de la construction ou de l’utilisation d’un modèle mathématique, l’analyse de sensibilité peut s’avérer être un outil précieux. En effet, en étudiant comment la réponse du modèle réagit aux variations de ses variables d’entrée, l’analyse de sensibilité permet de déterminer :
➤ Si le modèle est bien fidèle au processus qu’il modélise. En effet, si l’analyse exhibe une importance forte d’une variable d’entrée qui en réalité est connue comme non influente, le modèle ne reflétera pas correctement le processus. Il est alors nécessaire de modifier le modèle.
➤ En connaissant les variables d’entrée les plus influentes, les erreurs sur la sortie du modèle pourront être diminuées, soit, lorsque cela est possible, en diminuant les erreurs sur les entrées les plus influentes, soit en adaptant la structure du modèle pour réduire l’effet des erreurs sur ces entrées.
➤ Au contraire, pour les variables les moins influentes, il est possible de les considérer comme des paramètres déterministes, en les fixant par exemple à leur espérance, et ainsi d’obtenir un modèle plus léger avec moins de variables d’entrée. Dans le cas d’un code informatique, il est possible de supprimer des parties de codes qui n’ont aucune influence sur la valeur et la variabilité de la réponse.
Il est possible de grouper les méthodes d’analyse de sensibilité en trois classes : les méthodes de screening, l’analyse de sensibilité locale et l’analyse de sensibilité globale. Les méthodes de screening analysent qualitativement l’importance des variables d’entrée sur la variabilité de la réponse du modèle. Elles permettent d’établir une hiérarchie au sein des variables d’entrée en fonction de leur influence sur la variabilité de la réponse [8]. L’analyse de sensibilité locale, tout comme l’analyse globale, sont des méthodes d’analyse quantitative, qui permettent en plus d’établir une hiérarchie au sein des variables d’entrée, de donner un ordre de grandeur des écarts au sein de cette hiérarchie. Il est possible de distinguer l’analyse locale de l’analyse globale de la sorte : l’analyse locale s’intéresse à la valeur de la réponse, tandis que l’analyse globale s’intéresse à sa variabilité.
Plan d’expérience
Le plan complet comporte différents plans tels que plans fractionnaires et plans d’expérience ; Les plans fractionnaires nécessitent de discrétiser tous les facteurs en deux niveaux. Les indices sont construits à l’aide de la décomposition de la variance. Cette méthode trouve donc sa place en analyse de sensibilité locale. C’est en quelque sorte une approximation de la méthode de Sobol. Elle présente l’avantage d’être beaucoup moins coûteuse en nombre de simulations et plus facilement interprétable.
Dans l’hypothèse de la caractérisation d’un facteur par un nombre fini de niveaux, la méthode dite plan d’expérience peut être utilisée pour analyser la sortie du modèle. Ces niveaux correspondent à des états bien définis du comportement du paramètre. Mais traiter l’ensemble des combinaisons des niveaux des facteurs peut s’avérer trop coûteux si le nombre de facteurs est élevé, d’où un temps de simulation important. Toutefois, des plans d’expérience plus parcimonieux permettent de connaître les effets des facteurs les plus importants [11].
Considérons trois facteurs, u, v et w comprenant chacun deux niveaux. En considérant trois facteurs, u, v et w comprenant chacun deux niveaux, le plan complet associé comprend 2³ = 8 combinaisons des facteurs. Supposons que des informations supplémentaires permettent de faire l’hypothèse d’absence d’interaction d’ordre 2 et d’ordre 3. Par construction, la forme de ces interactions est celle d’un facteur à deux niveaux.
Analyse de sensibilité globale
L’analyse de sensibilité globale s’intéresse quant à elle à la variabilité de la sortie du modèle dans son domaine de variation. Elle étudie comment la variabilité des entrées se répercute sur celle de la sortie, en déterminant quelle part de variance de la sortie est due à telles entrées ou tel ensemble d’entrées. L’analyse de sensibilité globale est une méthode quantitative basée sur l’estimation de la contribution de chaque paramètre d’entrée d’un modèle à la variance observée dans les sorties; elle étudie aussi l’interaction entre ces différentes variables d’entrée. Les méthodes d’analyse de sensibilité globale dépendent étroitement de l’objectif (description, prévision, estimation, analyse d’événements rares, comparaison de scénarios,…) fixé par le modélisateur. L’objectif est formalisé à l’aide d’un critère statistique [7]. L’exploration de la fonction code est effectuée à l’aide d’un échantillon extrait dans l’espace des facteurs. Cet échantillon peut être aléatoire et dépendre d’une loi de distribution posée sur les facteurs. La forme de cette loi n’est pas un choix anodin. La loi uniforme est souvent utilisée car considérée non informative.Plusieurs techniques sont largement utilisées : Monte Carlo, “Response Surface Methodology” et Fourrier Amplitude Sensivity Test .
Ces techniques s’affranchissent des hypothèses classiques de linéarité que supposent les principes de régression et de corrélation. Elle permet de d’analyser le modèle linéaire et non linéaire en estimant la contribution de chaque paramètre à la variance des sorties et l’étude des interactions entre les paramètres d’entrée [13]. Elle comporte deux étapes :
• Calcul des coefficients de corrélation
• Décomposition de la variance .
➤ Méthodes linéaires
La méthode utilisée consiste à mesurer les importances basées sur les échantillons et à calculer les coefficients de régression et les coefficients de régression sur les rangs et à procéder à des tests statistiques sur les classes.
➤ Méthodes non linéaires
Cette méthode est basée sur la décomposition de la variance de la réponse, elle nous amène à estimer :
• Effets élémentaires de chaque paramètre d’entrée Xi,
• Effets croisés des couples ( Xi,Xj ),
• Effets multiples,
• Effets totaux de chaque paramètre d’entrée X .
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Table des matières
INTRODUCTION
Chapitre 1 Notions d’analyse de sensibilité
1.1. Définitions
1.1.1. Introduction
1.1.2. Analyse de sensibilité locale
1.1.3. Analyse de sensibilité globale
Chapitre 2 Méthodologie
2.1. Introduction
2.2. Indices de sensibilité pour les modèles linéaires
2.2.1. Indice SRC et coefficient de corrélation
2.2.2. Indice PCC
2.2.3. Indices basés sur la transformation des rangs SRRC et PRCC
2.3. Indices de sensibilité sans hypothèse sur le modèle
2.3.1. Méthode de Sobol
2.3.2. La méthode FAST
2.3.3. Méthode FAST étendu ou extended FAST
2.3.4. La méthode de McKay
2.3.5. Les modèles additifs
Chapitre 3 Elaboration du code
3.1. Applications numériques des méthodes d’analyse de sensibilité avec le logiciel Matlab
3.1.1. Utilisation du logiciel Matlab
3.1.2. Organigramme de la méthode de screening
3.1.3. Présentation de l’interface SA
3.1.4. Comparaison des résultats avec le modèle de Sobol
3.1.5. Proposition d’un modèle et analyse des résultats
3.1.6. Interprétation des résultats
CONCLUSION
