Modules et anneaux noethériens

Modules et anneaux noethériens

 Introduction à la théorie des nombres

Le plus grand commun diviseur(PGCD)de deux entiers peut être trouvé par l’algorithme d’Euclide 2

Propriétés

(i) Si d est le pgcd de a et b, alors il existe deux entiers s et t tel qu’on ait sa+tb = d (ii) Si p un entier premier qui divise un produit a1 …an des entiers, alors p divise au moins un des ai, i ∈{1,…,n}. Théorème 0.1. Thémorème de Bézout Soient a,b ∈Z∗. a et b sont premiers entre eux si et seulement s’il existe deux entiers u et v tels que au+bv =1. Démonstration. Si a et b sont premiers entre eux, alors la propriété précédente (i) permet de conclure. Inversement, soit d le pgcd de a et b, donc d divise chaque combinaison linéaire de a et b, et en particulier d divise au + bv. Ce qui entraîne d divise 1, donc d = 1 (car d ≥ 0) d’où a et b sont premiers entre eux.

Théorème de la décomposition primaire

Si a ∈Z\{−1,0,1}, alors : (i) a peut s’écrire comme produit p1 …pn de premiers. (ii) Si a = p1 …pn = q1 …qm où pi et qj sont premiers,alors n = m et après renumération on a pi =±qi ∀i ∈{1,…,n}. Théorème 0.3. Théorème Chinois Si m1,…,mn deux à deux premiers entre eux, alors le système d’équations : x ≡ bi (mi) i ∈ {1,…,n} admet une unique solution pour bj arbitrairement choisis. Théorème 0.4. Théorème d’Euler La fonction φ d’Euler est définie par φ(n)= le nombre des entiers de {1,…,n} qui sont premiers avec n. Le théorème d’Euler dit que si n ≥2 et a et n sont premiers entre eux, alors : aφ(n) ≡1 (n). Et dans le cas particulier où p est premier ne divisant pas a on trouve le petit théorème de Fermat : ap−1 ≡1 (p). Démonstration. Soit G le sous groupe des unités de Z/nZ. Alors l’ordre de G n’est que φ(n), or a et n sont premiers entre eux donc ¯ a ∈ G, et par suite aφ(n) =1 =⇒ aφ(n) ≡1 (n) .

Table des matières

0 Rappels et Pré requis
0.1 Introduction à la théorie des nombres
0.2 Théorie des ensembles
0.3 Arithmétique dans les anneaux
0.4 Extension triviale
1 Anneaux principaux
2 Anneaux factoriels
3 Modules et anneaux noethériens

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