ModŁles d’homogØnØisation pour le comportement linØaire

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MØthodologie des modŁles micromØcaniques

On distingue alors classiquement trois Øtapes dans la plupart des modØlisations micromØcaniques. La premiŁre est celle de reprØsentation ; il s’agit de proposer une description mathØmatique du VER intØgrant le mieux possible les informations issues de l’observation des mØcanismes locaux et de leur rØpartition spatiale, mais malgrØ tout suffisamment simple pour permettre une rØsolution effective, qui est l’objet de la seconde Øtape, dite de localisation, qui consiste à rØsoudre les problŁmes (1.31) et (1.32), ou plus prØcisØment leurs variantes simplifiØes issues de l’Øtape prØcØdente. On calcule les champs locaux associØs aux grandeurs macroscopiques imposØes qui assurent la minimisation des fonctionnelles ; on ne s’intØresse qu’aux seules grandeurs locales vraiment nØcessaires pour mener à bien le processus d’optimisation. Des hypothŁses complØmentaires simplifiant le calcul peuvent Œtre adoptØes à ce stade. Enfin la troisiŁme Øtape d’homogØnØisation vise à calculer la valeur macroscopique duale de celle imposØe à l’Øtape prØcØdente. Il s’agit principalement d’une application de la loi de comportement (LC) locale et d’un processus de moyenne adØquat, ou d’intØgration des potentiels locaux. La figure 1.2 prØcise ces deux derniŁres Øtapes et le vocabulaire usuellement invoquØ dans ce contexte. Lorsqu’on impose la dØformation macroscopique E et qu’on cherche la grandeur de dØformation pertinente locale associØe ~(x~), on parle effectivement de localisation ; l’application de la loi de comportement locale donne ensuite la contrainte locale associØe σ~(x~), qui, aprŁs homogØnØisation, donne la contrainte macroscopique Σ. Dans la dØmarche inverse oø cette derniŁre est imposØe, on prØfŁre parler de concentration pour dØsigner l’opØration permettant de dØterminer les grandeurs de contrainte locales associØes. Le signe~indique que les grandeurs sont relatives aux problŁmes approchØs simplifiant le problŁme de localisation ou de concentration initial sur le VER rØel et qu’elles peuvent de plus Œtre moyennØes en un certain sens. Elles s’opposent aux grandeurs correspondantes sans signe~, qui sont celles apparaissant effectivement dans le VER mais qui ne sont jamais calculØes en pratique, pour les raisons dØjà ØvoquØes plus haut, sauf dans des situations spØcifiques telles la pØriodicitØ parfaite.
Rappelons que pour dØcrire complŁtement le comportement macroscopique, il faut effectuer ces opØrations pour tous les tenseurs macroscopiques. Si le comportement est linØaire, la dØpendance entre champs locaux et tenseurs macroscopiques est linØaire et il suffit de calculer les tenseurs de localisation A~ (x~) ou de concentration B~ (x~), spØcifiques au problŁme ØtudiØ, tels que : ~(x~) = A~ (x~) : E et σ~(x~) = B~ (x~) : Σ (1.65)

Pertinence macroscopique et microscopique des modŁles

Si d’un point de vue mØthodologique il convient de distinguer les trois volets de l’approche micromØcanique dØcrits au paragraphe 1.1.E.b, il est bien Øvident qu’en pratique les interactions sont nombreuses. Le flux naturel des donnØes est celui dØcrit et vise à alimenter le modŁle d’homogØnØisation avec les paramŁtres de l’Øchelle locale. Toutefois il est clair que cette information se doit d’Œtre pertinente et c’est le modØlisateur qui prØcise en partie quels renseignements extraire à l’Øchelle locale. Le choix des paramŁtres statistiques est en particulier trŁs dØlicat et c’est lors du processus de changement d’Øchelle que les phØnomŁnes gouvernant les interactions sont rØvØlØs. C’est aussi la modØlisation qui permet de comprendre comment les sollicitations macroscopiques se transmettent à l’Øchelle locale. Ce renseignement permet une meilleure interprØtation, notamment quantitative, des mØcanismes locaux. Les flŁches de la figure 1.1 ont donc toutes une composante rØtrograde. Cette composante est d’ailleurs prØpondØrante dans certaines situations, par exemple lorsqu’il s’agit de dØterminer un comportement local à partir d’un comportement macroscopique, comme nous avons ØtØ amenØ à le faire au cours de ce travail (cf. chapitre 3).
Comme on aura pu le constater à la lecture des paragraphes prØcØdents, la dØmarche micromØcanicienne reste pleine d’incertitudes et d’approximations. Comme pour toute science consciencieuse, il est donc impensable de la concevoir sans confrontation expØrimentale. Cette validation porte bien sßr sur les rØsultats des modŁles, c’est à dire la prØvision du comportement macroscopique. Les dØmarches à entreprendre dans ce sens sont celles qui s’appliqueraient à tous les modŁles phØnomØnologiques prØtendant dØcrire le mŒme matØriau. Mais à la diffØrence de ces derniers, la validation d’un modŁle micromØcanique porte aussi sur la prØvision de l’Øtat mØcanique local. En effet, les champs ~(x~) et σ~(x~) associØs à une sollicitation macroscopique donnØe ont une signification locale et leur valeur peut Œtre confrontØe aux champs rØels (x) et σ(x) se dØveloppant effectivement dans le matØriau soumis à la mŒme sollicitation. Si cette confrontation est nØgative, il est permis d’avoir des doutes quant à l’applicabilitØ du modŁle, mŒme si ses prØvisions macroscopiques semblent bonnes pour certains essais particuliers. On peut craindre que la prØvision pour d’autres chargements soit mauvaise. De plus, on peut Œtre tentØ d’utiliser les valeurs locales du modŁle pour prØdire l’Øvolution microstructurale du matØriau (texture. . . ) ou l’apparition de certains phØnomŁnes locaux, tels l’endommagement ou la plasticitØ, dont la connaissance est primordiale pour la prØvision de la dØformation ultØrieure du matØriau, de sa tenue à la fatigue ou de sa ruine. Une mauvaise description de l’Øtat local aboutit alors inØvitablement à des prØdictions en dehors de toute rØalitØ. Certains modŁles phØnomØnologiques intŁgrent des paramŁtres ou variables internes qui ont une interprØtation locale. Mais comme aucune analyse n’est faite à cette Øchelle, ces paramŁtres sont difficiles à confronter à une observation objective. La validation locale du modŁle ne peut donc Œtre entreprise et il convient de se garder de toute utilisation abusive de tels paramŁtres locaux.
Ce critŁre sur l’Øtat local est d’autant plus dØlicat à satisfaire qu’il n’y a a priori aucun thØorŁme gØnØral d’« encadrement » des champs locaux. La formulation variationnelle (1.38) permet par exemple de majorer le potentiel macroscopique φ¯(E) mais ne donne pas d’information sur la distance entre les champs locaux rØels et les champs locaux d’essai utilisØs : soit la solution et ?1 et ?2 deux champs d’essais tels que RVER φ(? 1; y)dy ≤ RVER φ(?2; y)dy ; rien n’assure que ?1 – ≤ ?2 – , k:k dØsignant une norme sur l’espace des champs de tenseurs de dØformation sur le VER. Le seul rØsultat rigoureux pour un matØriau quelconque dont on dispose est que si ces trois champs sont alignØs et plus prØcisØment tels que ?2 = + λ ?1 – avec λ ≥ 0, alors l’inØgalitØ sur les intØgrales ci-dessus induit λ > 1, du fait de la convexitØ supposØe des potentiels locaux qui induit celle des intØgrales vis-à-vis des champs locaux. Cette propriØtØ n’a malheureusement que peu d’intØrŒt pratique, car l’espace des champs locaux est de dimension infinie et de tels champs alignØs sont rarement invoquØs.
Dans le cas d’un matØriau biphasØ linØaire, les moyennes par phases des champs locaux peuvent en revanche Œtre dØterminØes à partir du comportement macroscopique [75]. En effet, si ci; i 2 [1; 2] est la fraction volumique de la phase i et hii dØsigne la moyenne sur le domaine occupØ par la phase i dans le VER, on a dans ce cas pour tout E : C¯ : E = DC : EVER.

Prise en compte de l’information d’ordre supØrieur

Les deux bornes ou estimations prØcØdentes ont l’avantage de la simplicitØ et de l’universalitØ mais sont exactement à l’opposØ du but que nous nous sommes fixØ : Øtant valables dans tous les cas, elles ne sont spØcifiques d’aucune microstructure et ne permettent donc d’optimiser aucun paramŁtre (à l’exception des fractions volumiques). Étant de plus relativement ØloignØes l’une de l’autre dans la plupart des cas, elles donnent des estimations des modules effectifs qui ne sont pas satisfaisantes pour caractØriser les matØriaux et effectuer des calculs de structures. Les modŁles plus ØlaborØs que nous dØcrivons dans cette seconde partie prennent en compte des informations plus prØcises, d’ordre deux au moins, selon la dØfinition donnØe au paragraphe 1.1.D. Ils restent toutefois trŁs gØnØraux dans la mesure oø ils s’appliquent à tout type de matØriau, à condition qu’ils satisfassent les hypothŁses faites sur les fonctions de corrØlation, contrairement aux modŁles abordØs dans le paragraphe 1.2.C qui sont spØcifiques à des classes de matØriaux prØsentant des morphologies particuliŁres.
Nous les avons sØparØs en deux catØgories. La premiŁre regroupe les modŁles dans lesquels la phase de reprØsentation ne modifie pas la dØfinition initiale du VER qui conserve sa richesse microstructurale. Comme la rØsolution complŁte du problŁme de localisation n’est pas possible, des hypothŁses simplificatrices sur la distribution des phases sont nØcessaires ; leur prise en compte permet par une dØ- marche rigoureuse d’Øtablir des bornes exactes de plus en plus resserrØes sur les modules effectifs, voire une estimation exacte. Dans certains cas, l’analyse permet de ramener le problŁme de localisation à un problŁme beaucoup plus simple et formellement Øquivalent à celui d’Eshelby, que nous dØcrivons. Une telle dØmarche n’est pas toujours possible, surtout si l’on ne dispose pas des informations requises sur la distribution des phases. Une attitude possible consiste alors à gØnØraliser les idØes des cas simples. Les modŁles correspondants sont ceux de la seconde catØgorie et se caractØrisent par une Øtape de reprØsentation ramenant a priori le problŁme de localisation initial à un problŁme simplifiØ dØrivØ de celui d’Eshelby, par des arguments relevant essentiellement de l’intuition physique et parfois abusifs.

Bornes de Hashin et Shtrikman

Les relations (1.38) à (1.41) fournissent un encadrement des modules Ølastiques macroscopiques pour tout champ d’essai admissible pour les conditions aux limites choisies. Malheureusement, à l’exception des champs homogŁnes utilisØs pour la dØrivation des bornes de Voigt et Reuss, la gØnØration de tels champs est difficile, du fait de la complexitØ des conditions de compatibilitØ à satisfaire. Cette difficultØ est partiellement levØe en faisant appel à une autre formulation variationnelle, Øquivalente aux thØorŁmes classiques, introduite par Hashin et Shtrikman dans une publication fondamentale de 1962 [69]. Cette formulation sera amplement rappelØe en seconde partie. PrØcisons simplement ici qu’elle consiste à remplacer le problŁme de localisation par un problŁme d’ØlasticitØ sur un milieu homogŁne « de rØfØrence » de modules C0, de mŒme gØomØtrie et soumis aux mŒmes conditions aux limites, mais en plus à un champ de tenseurs de « polarisation » p?, d’ordre deux et symØtriques, tels que la contrainte σ? dans ce nouveau problŁme soit liØe à la dØformation ? par σ? = C0 : ? + p?. Ces champs de dØformation et de contrainte sont admissibles pour le problŁme initial. Si le choix de C 0 est adØquat, ils induisent des bornes supØrieures ou infØrieures pour le potentiel macroscopique, calculables explicitement si l’on connaît U = RVER ? : p?dx. Dans la formulation initiale, C0 est supposØ isotrope, mais cette hypothŁse n’est pas fondamentale. La gØnØration de champs de polarisation est plus simple que celle de champs CA ou SA, puisqu’il n’y a plus de conditions de compatibilitØ, et son optimisation est envisageable. La difficultØ n’est en revanche pas complŁtement effacØe puisque le calcul de l’intØgrale U ci-dessus reste nØcessaire.
Cette formulation variationnelle a ØtØ utilisØe par ses auteurs avec des champs de polarisation homogŁnes par phase. Dans ces conditions, la dØtermination de U se ramŁne au calcul des moyennes ? r de la dØformation ? sur toutes les phases r. Il est alors clair que le rØsultat fait intervenir une information d’ordre deux sur la distribution des phases : le champ ? rØsulte de la polarisation dans tout le VER et sa moyenne sur une phase donnØe dØpend donc des valeurs des tenseurs de polarisation et de la position relative des autres phases par rapport à la phase en question. Le calcul et l’optimisation peuvent Œtre menØes formellement dans un cas quelconque, mais l’explicitation des rØsultats sous forme analytique n’est possible qu’avec une hypothŁse complØmentaire qui est celle de distribution isotrope des phases, hypothŁse qui s’Øcrit en terme de fonctions de corrØlation :hκi(x)κj(x + h)iα = κij (khk) ; oø κij est une fonction rØelle quelconque et k:k dØsigne la norme euclidienne.
Le cas du polycristal avec des grains à symØtrie cubique [70] orientØs de maniŁre isotrope et celui d’un composite à phases isotropes [71] ont ØtØ traitØs exhaustivement, ce dernier rØsultat Øtant connu sous l’appellation de « bornes de Hashin et Shtrikman ». MŒme si l’hypothŁse de distribution isotrope n’est pas explicitØe sous la forme ci-dessus , elle est utilisØe par ces auteurs dans le calcul par transformation de Fourier de l’intØgrale U (cf. l’annexe de la rØfØrence [71]).
La nature de borne supØrieure ou infØrieure est conditionnØe par le choix du milieu de rØfØrence C0: si C0 ≥ Cr8r, au sens des formes quadratiques associØes, on obtient une borne supØrieure et une borne infØrieure si C0 ≤ Cr8r. Il s’avŁre que dans le cas des phases isotropes distribuØes de maniŁre isotrope, les variations de CHS en fonction des modules de cisaillement µ0 et de compressibilitØ k0 sont monotones : les meilleures bornes sont obtenues lorsque C0 est le plus petit des majorants des Cr notØ C+ r ou le plus grand des minorants C– r . L’expression finale donnØe dans [71] correspond au cas oø C– r = C1 et C+ r = Cn, soit plus prØcisØment au cas oø Infrµr = µ1, Infrkr = k1, Suprµr = µn et Suprkr = kn. Une gØnØralisation aux cas oø les majorants ou minorants optimaux des modules de cisaillement et de compressibilitØ ne correspondant pas aux mŒmes phases constitutives est due à Walpole [167]. La dØmarche fondamentale utilisØe par cet auteur est identique à celle mise en œuvre dans [71], mŒme si elle en diffŁre quelque peu dans ses aspects pratiques. Le calcul des dØformation moyennes ?r est rØalisØ au moyen de l’opØrateur de Green modifiØ associØ au milieu infini de modules Ølastiques C0, dont une expression explicite est connue pour le comportement isotrope. Une autre diffØrence concerne le choix des tenseurs de polarisation uniformes au sein des phases qui est fait a priori dans ce second travail, alors que les auteurs procŁdent à une optimisation dans le premier (mais pour aboutir au mŒme rØsultat). L’Øquivalence entre les approches en dØformations imposØes et en contraintes imposØes est aussi prØcisØe dans [167].
Diverses extensions ont fait suite à cette avancØe majeure dans la description du comportement Ølastique des composites. Citons d’abord l’application aux composites dont les phases ne sont pas isotropes, mais toujours distribuØes de maniŁre isotrope. Le cas du comportement local à symØtrie cubique a dØjà ØtØ citØ [70] et le cas gØnØral est traitØ dans la rØfØrence [168], oø il est explicitement fait appel à un matØriau de rØfØrence anisotrope. Ce travail Øtablit aussi la similitude formelle entre la dØtermination des dØformations ? r pour une distribution isotrope des phases et la rØsolution de problŁmes d’inclusions en milieu infini dØrivØs de celui d’Eshelby [54] : les moyennes sur la phase r de la contrainte et de la dØformation d’essai optimales, σ? r et ?r, sont Øgales à la contrainte et la dØformation uniformes qui apparaissent dans une inclusion sphØrique homogŁne de phase r noyØe dans une matrice C0 soumise à un champ homogŁne E0 à l’infini (cf. figures 1.7 et 1.8). La valeur de E0 est telle que Pr ?r = E si la condition de dØformation homogŁne au bord du VER est choisie, ou telle que Pr σ? r = Σ, si c’est la condition de contrainte homogŁne. La borne CHS obtenue est dØterminØe par la relation Pr σ r = CHS : Pr r . À ce propos , il est aussi intØressant de relever [71] que pour un choix de milieu de rØfØrence trŁs mou ou trŁs dur en comparaison du comportement des phases, la formulation variationnelle de Hashin et Shtrikman se ramŁne aux thØorŁmes ØnergØtiques classiques. De plus, la procØdure de calcul de borne engendre respectivement la borne de Reuss (figure 1.5) et celle de Voigt (figure 1.6) : un matØriau trŁs dur transforme la condition de dØformation homogŁne à l’infini en une condition de dØformation homogŁne aux bords de l’inclusion, alors qu’un matØriau trŁs mou ramŁne de la mŒme maniŁre la condition de contrainte homogŁne de l’infini sur le bord de l’inclusion.

PropriØtØs des phases

Les phases pures sont des agrØgats polycristallins de structure cubique à faces centrØes pour l’argent et le cuivre, et cubique centrØe pour le fer, à la tempØrature des essais mØcaniques. Une observation au microscope des Øprouvettes prØparØes de maniŁre adØquate, rØvŁle une taille de grains allant de quelques micromŁtres à quelques dizaines de micromŁtres, lØgŁrement infØrieure à la taille caractØristique des domaines de phases.
Dans tous les calculs ultØrieurs, les phases sont assimilØes en premiŁre approximation à des matØriaux homogŁnes isotropes obØissant à une loi Ølastique non-linØaire avec un potentiel de la forme (1.5), caractØrisØ par un module de compressibilitØ Ølastique k, un module de cisaillement Ølastique µ et une courbe d’Øcrouissage (σeq; eq) permettant de calculer le module de cisaillement sØcant selon : µsc(eq) = σeq(eq) 3eq : (3.1)
Les modules d’ØlasticitØ utilisØs pour le fer et l’argent ont ØtØ dØterminØs par L. Allais à partir de mesures de vitesses de propagation d’ondes ultrasonores dans des Øprouvettes monophasØes ØlaborØes par CIC à partir des mŒmes poudres que les biphasØs. Les valeurs pour le cuivre sont des valeurs moyennes trouvØes dans la littØrature et sont a priori lØgŁrement moins prØcises. Les valeurs de k, de µ, du module d’Young E et du rapport de Poisson ν correspondants sont donnØes dans le tableau 3.1. Les incertitudes sur µ, E et ν sont celles donnØes dans [2] et celle sur k en est dØduite.

CaractØrisation morphologique des biphasØs

Les figures 3.10 à 3.19 donnent l’allure de la microstructure des divers matØriaux ØtudiØs. Il s’agit d’images binaires obtenues par seuillage à partir de micrographies numØriques enregistrØes avec la chaîne d’acquisition prØsentØe en figure 2.1. La phase fer est en noir. Les grandissements retenus assurent la reprØsentativitØ des plages. Celui utilisØ pour les biphasØs fer/cuivre est plus faible car la taille caractØristique des domaines de phase dans ces matØriaux est plus grande. L’isotropie de la distribution des phases peut Œtre vØrifiØe par la comparaison des fonctions de corrØlation dans diverses directions comme dØcrit au paragraphe 2.2.C. Le processus d’Ølaboration par CIC n’a pas de direction privilØgiØe et les matØriaux obtenus sont bien isotropes. La compression uniaxiale de la poudre de fer est susceptible d’induire une symØtrie isotrope transverse, mais des comparaison entre coupes parallŁles et coupes perpendiculaires à l’axe de compression montrent qu’il n’en est rien.
La caractØrisation morphologique des biphasØs fer/argent a ØtØ entreprise par L. Allais à partir d’images de ce type. Nous en rappelons les principales conclusions ici. Le point de dØpart est la connaissance a priori de la microstructure des matØriaux IAF, dont la morphologie de type CC rØsulte clairement du processus d’Ølaboration. Les matØriaux CIC et ISF sont classØs par rapport à cette rØfØrence en comparant certaines caractØristiques morphologiques.
Trois des quatre paramŁtres de base de l’analyse stØrØologique locale dans l’espace tridimensionnel [41] sont mesurables directement à partir de coupes à travers l’ensemble X considØrØ, une seule coupe Øtant suffisante dans le cas de matØriaux isotropes tels ceux considØrØs dans la prØsente Øtude. Il s’agit de la fraction volumique Vv(X), de la surface spØcifique d’interface Sv(X) et de l’intØgrale de courbure moyenne (demi-somme des courbures principales) par unitØ de volume Mv(X). Les figures 3.20 et 3.21 donnent l’Øvolution des deux derniers paramŁtres relatifs au domaine occupØ par le fer en fonction du premier dans les matØriaux IAF et ISF, d’aprŁs des donnØes extraites de [2]. Sv et Mv prØsentent des valeurs similaires dans les deux familles de matØriaux pour les faibles concentrations (≈ 60%), mais divergent sensiblement lorsque la teneur en fer croît. Sv semble constante dans les matØriaux ISF, alors qu’elle dØcroît dans les matØriaux IAF. Ceci traduit un enrobage plus important du fer par l’argent dans les premiers et la prØsence d’un plus grand nombre de « ponts » entre les grains de fer ou de ponts plus Øpais dans les seconds. Par ailleurs, bien que cela soit moins net, on peut observer que Mv dØcroît plus vite dans les matØriaux ISF que dans les matØriaux IAF : la convexitØ de la phase fer est plus marquØe dans les matØriaux ISF, ce qui s’interprŁte encore par un enrobage plus prononcØ de cette phase. Ces tendances sont confirmØes lorsque l’on s’intØresse au libre parcours moyen dans le fer7 ou à la fonction Øtoile [2, 41]. Il apparaît ainsi que la phase fer est beaucoup moins connectØe dans les matØriaux ISF, dont la morphologie peut donc Œtre assimilØe dans un premier temps au type MI, dans la configuration « fer dans argent ». Cette conclusion confirme l’impression visuelle donnØe par les micrographies et s’explique assez bien par les phØnomŁnes physiques qui rØgissent le processus d’Ølaboration : la pression de l’argent liquide a tendance à sØparer les grains de fer du barreau poreux qui ne sont pas soudØs les uns aux autres par le frittage comme dans les matØriaux IAF.
Une comparaison similaire entre matØriaux IAF et matØriaux CIC conduit Øgalement à considØrer que la morphologie de ces derniers est plutôt du type MI dans la configuration « fer dans argent ». Toutefois, pour aboutir à cette conclusion, il est indispensable de tenir compte de la diffØrence de taille caractØristique dans ces deux microstructures, qui apparaît clairement lorsque l’on compare la figure 3.10 à la figure 3.12. Elle est due au spectre bimodal utilisØ dans les matØriaux CIC et à une probable coalescence des grains de poudre lors du frittage, qui tend à agrandir les domaines de phase. Cette classification morphologique est confirmØe par l’impression visuelle donnØe par les micrographies et s’explique aussi par le processus d’Ølaboration : les grains .

Table des matières

Notations
I Morphologie et HØtØrogØnØitØs 
1 ModØlisations micromØcaniques de matØriaux multiphasØs 
1.1 GØnØralitØs sur les modŁles micromØcaniques
1.1.A Un problŁme de structure sur un matØriau hØtØrogŁne
1.1.B Échelle macroscopique et Øchelle microscopique (thØorie de premier gradient)
1.1.C Notion de macrohomogØnØitØ
1.1.D Description stochastique des matØriaux hØtØrogŁnes alØatoires
1.1.E DØtermination du comportement macroscopique
1.1.E.a Approche phØnomØnologique
1.1.E.b Approche micromØcanique
1.1.E.c MØthodologie des modŁles micromØcaniques
1.1.E.d Pertinence macroscopique et microscopique des modŁles
1.1.E.e Objectif de la prØsente Øtude
1.2 ModŁles d’homogØnØisation pour le comportement linØaire
1.2.A Bornes ou estimations de Voigt et Reuss
1.2.B Prise en compte de l’information d’ordre supØrieur
1.2.B.a Bornes de Hashin et Shtrikman
1.2.B.b ThØorie systØmatique de Kröner
1.2.B.c Autres modŁles invoquant des corrØlations d’ordre supØrieur à deux
1.2.B.d ProblŁme d’Eshelby et modŁles dØrivØs
1.2.C Morphologies de type matrice/inclusions
1.2.C.a ModŁle aux faibles concentrations et modŁle autocohØrent diffØrentiel
1.2.C.b ModŁles à inclusions composites
1.2.C.c Motifs morphologiques reprØsentatifs
1.2.C.d Prise en compte de la rØpartition spatiale des renforts
1.3 Extensions aux comportements non-linØaires
1.3.A Extensions classiques des modŁles Ølastiques
1.3.A.a Approximations linØaires d’un comportement non linØaire
1.3.A.b Comportements Ølasto-plastiques
1.3.A.c Extension non-linØaire des modŁles usuels
1.3.B RØsultats rigoureux sur les comportements non-linØaires
1.3.B.a Approximations sous-jacentes aux extensions classiques
1.3.B.b Bornes exactes sur le potentiel effectif
1.3.B.c Extension modifiØe des modŁles Ølastiques
1.3.B.d Signification des champs locaux
1.3.C HomogØnØisation pØriodique et mØthodes dØrivØes
2 Mesures de dØformations locales 
2.1 Revue des techniques existantes
2.1.A Cahier des charges
2.1.B MØthodes de moirØ
2.1.C MØthodes de corrØlations
2.1.D MØthodes de grilles
2.1.E Techniques quantitatives d’analyse de grilles
2.2 ProcØdure expØrimentale
2.2.A PrØparation des Øprouvettes
2.2.B Montage expØrimental
2.2.C DØtermination d’un domaine reprØsentatif
2.2.D DØcomposition du domaine ØtudiØ
2.2.E RepØrage des points d’or
2.2.F Traitement des images
2.3 Calcul des dØformations
2.3.A DØfinitions
2.3.A.a DØformation locale
2.3.A.b DØformation moyenne
2.3.B Calcul du gradient local
2.3.C Incertitude expØrimentale sur le gradient local
2.3.D Calcul de gradients moyens
2.3.D.a Gradient macroscopique
2.3.D.b Gradient moyen sur une phase
2.3.E Calcul des dØformations locales et moyennes
2.3.F CaractØrisation d’hØtØrogØnØitØs
2.3.G Cartes de dØformations
2.4 Critiques et extensions possibles
3 Confrontation modŁles-expØriences et premiŁres extensions 
3.1 RØsultats expØrimentaux
3.1.A MatØriaux
3.1.A.a ProcØdØs d’Ølaboration
3.1.A.b PropriØtØs des phases
3.1.A.c Éprouvettes biphasØes testØes
3.1.A.d Concentrations
3.1.A.e CaractØrisation morphologique des biphasØs
3.1.B Confrontation à l’Øchelle globale
3.1.B.a Comportement Ølastique
3.1.B.b Comportement Ølasto-plastique
3.1.C Confrontation à l’Øchelle locale
3.1.C.a HØtØrogØnØitØs inter-phases
3.1.C.b HØtØrogØnØitØs intra-phases
3.1.D Conclusions partielles
3.2 GØnØralisations du modŁle des trois phases
3.2.A Le modŁle à plusieurs motifs n-phases
3.2.A.a Formulation en ØlasticitØ linØaire
3.2.A.b Extensions aux comportements non-linØaires
3.2.A.c Algorithme de rØsolution des Øquations non-linØaires
3.2.B Application aux biphasØs ØtudiØs
3.2.B.a Effets d’une probable porositØ sur les modules d’ØlasticitØ
3.2.B.b HØtØrogØnØitØs de dØformations : description morphologique enrichie
3.2.B.c HØtØrogØnØitØs de dØformations : nouvelles extensions non-linØaires
3.2.B.d Comparaison entre extension classique et extension modifiØe
3.2.B.e Confrontation portant sur eq21=2
3.2.C Application à des composites à matrice mØtallique
3.2.D Conclusions
3.3 Origines des hØtØrogØnØitØs
3.3.A Insuffisance des extensions non-linØaires
3.3.B DiscrØtisation orthoradiale : calculs par ØlØments finis
3.3.C Formalisme en grande transformation
3.3.D Insuffisance de la description microstructurale : mØcanismes locaux
3.3.E Interactions à grandes distances
3.4 Conclusions et introduction à la seconde partie
II Motifs Morphologiques ReprØsentatifs 
4 Encadrements et estimations du comportement Ølastique linØaire 
4.1 Formulation variationnelle de Hashin et Shtrikman
4.1.A Formulations variationnelles classiques – Rappels
4.1.B Fonctionnelle de Hashin et Shtrikman
4.1.C Choix de champs de polarisation optimaux
4.1.D RØsolution formelle des problŁmes auxiliaires
4.1.E Application au milieu macrohomogŁne
4.1.E.a GØnØralitØs
4.1.E.b Tenseurs des modules et souplesses de Hashin et Shtrikman
4.1.E.c Équation intØgrale
4.1.E.d RØsumØ des propriØtØs et mise en œuvre de la dØmarche
4.1.E.e Description stochastique
4.2 Approches classiques : Polarisation uniforme par morceaux
4.2.A Relations gØnØrales
4.2.A.a Description classique des milieux hØtØrogŁnes
4.2.A.b Bornes de type Hashin et Shtrikman
4.2.B Calcul effectif des bornes de Hashin et Shtrikman
4.2.B.a Distribution isotrope des phases
4.2.B.b Distribution ellipsoïdale des phases
4.2.B.c Distribution « ellipsoïdale gØnØralisØe »
4.2.B.d Distribution « homothØtique »
4.2.C Bornes de Willis et Ponte Castaæeda
4.2.C.a Description d’un milieu à renforts particulaires
4.2.C.b Calcul de la polarisation optimale : distribution ellipsoïdale gØnØralisØe
4.2.C.c Distribution ellipsoïdale simple des renforts
4.2.C.d Comparaison avec une distribution ellipsoïdale simple des phases
4.2.C.e Lien entre rØpartition des renforts et fraction volumique de matrice
4.2.C.f Milieu de rØfØrence distinct de la matrice
4.2.D Champ de polarisation uniforme sur Ω
4.3 Approches par Motifs Morphologiques ReprØsentatifs
4.3.A Notion de Motif
4.3.B Bornes de type Voigt et Reuss
4.3.B.a Construction
4.3.B.b Commentaires et propriØtØs
4.3.C Bornes de type Hashin et Shtrikman
4.3.C.a Choix des champs de polarisation
4.3.C.b Optimisation des champs de polarisation
4.3.C.c Distribution ellipsoïdale simple
4.3.C.d Assemblage de Hashin gØnØralisØ
4.3.C.e Distribution ellipsoïdale gØnØralisØe
4.4 PropriØtØs des bornes obtenues dans l’approche par Motifs Morphologiques ReprØsentatifs238
4.4.A Calcul
4.4.B SymØtrie
4.4.C Formulation variationnelle et intØgrale
4.4.D Encadrements des tenseurs T 0 µ et DT 0 µEµ
4.4.D.a Cas gØnØral
4.4.D.b Cas de motifs ellipsoïdaux
4.4.E Autres propriØtØs des tenseurs T 0 µ
4.4.F Existence des bornes ou estimations ; premiŁres propriØtØs
4.4.F.a GØomØtries ellipsoïdales
4.4.F.b GØomØtries quelconques
4.4.G Encadrements des bornes obtenues
4.4.H Commentaires
4.4.H.a Optimisation de la description morphologique
4.4.H.b ConsØquences
4.4.H.c Prise en compte de la morphologie matrice/inclusion
4.4.H.d RØsumØ des propriØtØs
4.5 ModŁles autocohØrents gØnØralisØs
4.5.A Principe, dØfinitions et premiŁres propriØtØs
4.5.B DØfinitions Øquivalentes
4.5.C Application aux microstructures dØcrites par MMR
4.5.D Autres propriØtØs
4.5.D.a Équivalence ØnergØtique
4.5.D.b Comparaison avec le critŁre d’autocohØrence de Kanaun
4.5.D.c Encadrements
4.5.E Existence et unicitØ
4.5.E.a Approche classique
4.5.E.b Approche par MMR
4.5.E.c PropriØtØs dØduites de l’unicitØ
4.5.F InterprØtation de l’hypothŁse d’autocohØrence
4.5.F.a Approche classique ; distribution isotrope des phases
4.5.F.b Approche classique ; distribution ellipsoïdale simple des phases
4.5.F.c Approche par motifs morphologiques
4.5.F.d Commentaires
5 Mise en œuvre numØrique et applications 
5.1 ProcØdure gØnØrale
5.1.A Calcul des bornes et estimations
5.1.A.a Bornes de type Voigt et Reuss
5.1.A.b Bornes de type Hashin et Shtrikman
5.1.A.c Estimation autocohØrente
5.1.B Calcul des modules à partir des rØponses
5.1.B.a Cas gØnØral
5.1.B.b Isotropie
5.1.B.c SymØtrie cubique
5.1.B.d Isotropie transverse
5.1.C Choix des chargements à l’infini
5.1.D Mise en œuvre numØrique
5.1.D.a Choix d’une technique
5.1.D.b Approximations numØriques
5.2 Test sur le modŁle des trois phases
5.2.A ModŁles numØriques bidimensionnels
5.2.A.a Maillages
5.2.A.b Influence des paramŁtres de maillage
5.2.B ModŁles numØriques tridimensionnels
5.3 Exemples d’application et confrontation à d’autres modŁles
5.3.A Composites à inclusions cubiques
5.3.A.a Effet de la forme cubique des renforts
5.3.A.b Comparaison aux bornes de Milton et Kohn
5.3.B Composites à inclusions elliptiques
5.3.B.a Anisotropie de distribution et anisotropie de forme
5.3.B.b Assemblage des sphŁres composites « extrudØ » ou « ØcrasØ »
5.4 Extensions non-linØaires
5.4.A Principes
5.4.B Mise en œuvre numØrique de l’extension simplifiØe
5.4.C Moyennes par phases et champs locaux
5.4.D Un problŁme largement ouvert
Conclusions gØnØrales 
Annexes 
A SphŁre creuse Ølasto-plastique sous pression 
A.1 Notations et relations gØnØrales
A.2 Solution exacte
A.2.A Solution Ølastique
A.2.B PremiŁre plasticitØ
A.2.C Propagation de la zone plastifiØe
A.2.D PlasticitØ dØbouchante
A.3 Solutions avec un seul module sØcant
A.3.A Extension utilisant le moment d’ordre un
A.3.B Extension utilisant le moment d’ordre deux
A.4 Solutions avec deux modules sØcants
A.4.A Solutions Ølastique avec deux couches
A.4.B Extension utilisant le moment d’ordre un
A.4.C Extension utilisant le moment d’ordre deux
A.5 Solution avec des modules sØcants locaux
A.6 RØsultats et comparaisons
A.6.A RØponse globale de la structure
A.6.B RØponse locale
A.7 Conclusions
B OpØrateurs de Green 
B.1 En milieu bornØ
B.1.A Relations gØnØrales
B.1.B PropriØtØs
B.1.B.a Solution formelle du problŁme d’ØlasticitØ (à polarisation nulle)
B.1.B.b Projections
B.1.B.c PropriØtØs sur les moyennes
B.1.B.d HomogØnØitØ vis-à-vis de C0
B.2 En milieu infini
B.2.A Relations gØnØrales
B.2.B PropriØtØs
B.2.B.a Invariance par translation
B.2.B.b HomogØnØitØ vis-à-vis de la variable d’espace
B.2.B.c IntØgrales sur un contour fermØ
B.2.B.d Convergence et dØcomposition
B.2.B.e Invariance par les transformations conservant C0
B.2.B.f IntØgration sur un volume ellipsoïdal
B.3 Relations milieu bornØ / milieu infini
B.3.A Relations gØnØrales
B.3.B Application au VER macrohomogŁne
C ProblŁmes d’inclusions 
C.1 PropriØtØs gØnØrales
C.1.A Relation d’Eshelby
C.1.B Formulation variationnelle
C.1.C Application au milieu infini
C.2 Inclusion en milieu infini homogŁne
C.2.A Comportement homogŁne, polarisation uniforme, inclusion ellipsoïdale
C.2.B Comportement homogŁne, polarisation uniforme, gØomØtrie quelconque
D Calcul des dØformations 
D.1 ÉlØments de rØduction d’une transformation matØrielle
D.2 Cas d’une transformation axisymØtrique
D.2.A Calcul explicite des ØlØments de rØduction de F
D.2.B Calcul explicite de la dØformation de Green-Lagrange
D.2.C Calcul explicite de la dØformation logarithmique
D.2.D Calcul explicite de la dØformation linØarisØe
D.2.E Expression des tenseurs dans un autre repŁre
E Aspects informatiques 
E.1 Traitement de grille et analyse d’images
E.2 ModŁle à motifs sphØriques multicouches non-linØaire
E.3 ModŁle autocohØrent assistØ par ordinateur (Macao)
F RØsultats expØrimentaux 
F.1 DØformations moyennes par phases
F.2 Distributions des dØformations
F.3 Cartes de dØformations
Bibliographie 

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