Modes de pression dans les étoiles en rotation rapide 

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Modes de pression dans les pulsateurs classiques en rotation rapide

Dans cette section, nous nous intéressons aux pulsateurs en rotation rapide et plus particulièrement aux Scuti. Nous verrons que les spectres d’oscillation des Scuti ont des propriétés très variées en terme de gamme, de nombre et d’amplitudes des fréquences observées. Pour mieux les comprendre d’un point de vue théorique, il faut résoudre un certain nombre de dicultés posées par la rotation rapide. Nous présenterons les principaux eets de la rotation susceptibles d’impacter les modes d’oscillation et les progrès réalisés pour modéliser ces eets. Finalement, nous présenterons des observations récentes qui montrent la présence de régularités dans les spectres de certaines étoiles delta Scuti, ces détections étant compatibles avec les résultats théoriques.

Régularités des modes p dans les modèles d’étoiles en rotation rapide

Si l’on dispose de contraintes susamment fortes sur les paramètres fondamentaux d’une étoile pulsante, une approche possible pour l’identication des fréquences observ ées est de chercher un modèle d’étoile 2D en rotation compatible avec ces contraintes puis de le faire osciller pour comparer directement les fréquences théoriques avec les fré- quences observées. L’information sur la stabilité des modes doit notamment permettre de sélectionner ceux qui sont excités par le mécanisme . Mirouh et al. (2013) ont tenté d’exploiter ces méthodes pour reproduire le spectre de l’étoile Ophiuchi, qui est une Scuti ayant une vitesse angulaire élevée et pour laquelle on dispose de nombreuses données dont des données interférométriques (voir aussi Deupree et al. (2012)). Ils ont pour cela généré un modèle d’étoile à l’aide du code ESTER, puis ils ont calculé les oscillations de ce modèle en utilisant le code TOP. Les résultats négatifs publiés dans cette étude mettent en évidence les limites actuelles pour réaliser la sismologie détaillée des étoiles en rotation rapide.
Une autre voie vers l’identication des modes, qui donne d’excellents résultats dans les pulsateurs de type solaire, consiste à utiliser la structure asymptotique du spectre d’oscillation. Dans cette section, nous résumons les résultats théoriques obtenus sur la structure asymptotique des modes p dans les étoiles en rotation rapide. Les codes d’oscillations que nous venons d’introduire ont permis d’explorer numériquement les propriétés des modes de pression, et en particulier d’étudier comment la structure du spectre des fréquences se réorganise quand la rotation devient importante (Lignières et al., 2006; Reese et al., 2006; Lignières and Georgeot, 2008, 2009; Reese et al., 2008, 2009; Pasek et al., 2011, 2012; Reese et al., 2017). La présence d’une grande séparation dans le spectre a été établie par ces explorations numériques, une distinction importante avec les étoiles en rotation lente étant l’absence de petite séparation (Lignières et al., 2006). Les calculs eectués à haute fréquence (Reese et al., 2008, 2009; Lignières and Georgeot, 2008, 2009; Pasek et al., 2011, 2012) ont conrmé le caractère asymptotique de cette régularité et ont conduit au développement d’une théorie asymptotique, que nous détaillerons au chapitre 3, pour en comprendre l’origine.
La présence d’une grande séparation dans le spectre a été établie par la modélisation et conrmée par les observations dans les Scuti (voir la section suivante). Nous détaillerons dans le chapitre 3 l’apport de l’analyse asymptotique pour donner un sens physique précis à cette grande séparation.
À haute rotation, les modes de pression ne sont plus décrits par une fonction de la forme p0(r) Y m
l (; ). De nouveaux modes apparaissent avec leur géométrie propre, appelés modes d’îlot, modes chaotiques et modes whispering gallery (voir Fig. 1.12). Le spectre total à rotation rapide correspond à une somme de sous-spectres indépendants ayant chacun son organisation propre (Lignières and Georgeot, 2008). Le spectre des modes d’îlot est décrit par une formule empirique de la forme !n;`;m = ~nn + ~«  + ; (1.14)
rappelant la formule de Tassoul, où n est une demie grande séparation, (~n; ~`) les nombres quantiques présentés sur la Fig.1.12 et une constante. Les modes d’îlot ont été produits dans des modèles polytropiques (Reese et al., 2008; Pasek et al., 2011, 2012) et dans des modèles réalistes (Reese et al., 2009; Ouazzani et al., 2015) et montrent toujours ce comportement régulier à haute fréquence.

Recherche de régularités dans les Scuti

Les études théoriques suggèrent qu’un type de modes présentant des régularités, les modes d’îlot, devraient être présents dans les rotateurs rapides. Pour aller plus loin, Reese et al. (2008) montre dans le cas de modèles polytropiques que la grande séparation des modes d’îlot et la densité moyenne sont reliés par une loi d’échelle, qui dépend faiblement de la rotation. Cette nouvelle grande séparation est donc potentiellement, comme dans les pulsateurs de type solaire, une observable cruciale permettant de remonter aux paramètres fondamentaux des étoiles. Parallèlement, la détection d’écarts réguliers en fréquence dans les Scuti (García Hernández et al., 2009; García Hernández et al., 2013; García Hernández et al., 2015; Paparó et al., 2016; Michel et al., 2017), rendue possible par les données photométriques ultra précises de l’ast érosismologie spatiale, a constitué une étape importante pour conrmer la validité des résultats théoriques (malgré les basses fréquences d’oscillation dans ces étoiles).
La détection de régularités constitue en soi un résultat important. Pour maximiser les chances de trouver des régularités parmi la multitude de Scuti observées, des analyses récentes cherchent à isoler préférentiellement des étoiles jeunes avec des pulsations de haute-fréquences pour se rapprocher du régime asymptotique (Michel et al., 2017). García Hernández et al. (2015) vont plus loin en examinant la relation qui lie à . Les sources astrophysiques sélectionnées dans cette étude sont des systèmes binaires (‘eclipsing binaries’) avec une composante de type Scuti. En eet les systèmes binaires permettent de déterminer les densités moyennes de manière able et indépendante du modèle d’intérieur stellaire ou de pulsation (la méthode utilisée consiste à calculer la densité à partir de l’approximation du modèle de Roche (Kippenhahn and Weigert, 1990; Maeder, 2009), en considérant que les rayons mesurés correspondent au rayon équatorial). Grâce à cette méthode, la relation suivante (=) = 1:55(=)2:035; (1.15) a pu être établie observationnellement pour les Scuti en rotation (voir aussi Fig. 1.13, panneau de gauche). La binarité a aussi l’avantage de permettre une estimation de la rotation. En supposant que l’axe de rotation de l’étoile est perpendiculaire au plan orbital, il sut d’avoir accès à la mesure du rayon et de la vitesse projetée v sin i pour remonter à la vitesse de rotation, qui est mesurée en unité de k = (GM=Req)1=2 correspondant à la rotation Képlerienne 3. Sur le panneau de droite de la Fig. 1.13, on constate que la relation entre la grande séparation et la densité est indépendante de la rotation.

Intégrabilité et chaos dans les systèmes Hamiltoniens

Les équations de la mécanique Hamiltonienne sont présentes dans de nombreux domaines de la physique. Elles permettent de résoudre aussi bien des problèmes de mécanique classique, comme la chute d’un point matériel dans un champ de pesanteur, que des problèmes d’optique géométrique, ou encore de décrire les lignes de champ magn étique dans un plasma (Ott, 2002). La mécanique Hamiltonienne fourni des concepts proliques, comme la notion de variables conjuguées, qui servent de socle à la formulation traditionnelle de la mécanique quantique (voir section 2.2.1). Dans cette section, nous allons d’abord reprendre les concepts fondamentaux qui permettent de se familiariser avec les systèmes Hamiltoniens. Dans un second temps, nous introduirons les notions d’intégrabilité et de chaos.

Rappels sur les systèmes Hamiltoniens

En mécanique analytique sans dissipation, toute l’information sur le système dynamique considéré est contenue dans une unique fonction scalaire, le Lagrangien (formulation Lagrangienne) ou le Hamiltonien (formulation Hamiltonienne). Dans les deux formulations, les positions sont exprimées dans les coordonnées généralisées fqig, dé- nies comme N coordonnées indépendantes, où N correspond au nombre de degrés de liberté du système. Pour illustrer le concept de coordonnées généralisées, examinons le cas du pendule simple. La masse, xée au bout d’une corde rigide de longueur `, décrit un mouvement plan. On peut repérer la position de cette masse en utilisant les coordonnées cartésiennes x(t) et y(t), mais ce choix n’est pas économe car x(t) et y(t) sont liées par la contrainte ` = p x2 + y2. Dans ce système, l’angle (t) entre la corde et la normale est l’unique degré de liberté. La coordonnée généralisée est donc q = . L’état d’un système Hamiltonien est décrit par deux variables, son moment p = fpig et sa position q = fqig, où i = 1:::N. L’état se modélise donc par un point dans l’espace des phases de dimension 2N. Cela signie que la donnée de ces deux variables à un instant t, ajoutée à la donnée des paramètres constants comme la charge électrique d’une particule, est susante pour connaître tous les états antérieurs et futurs du système. L’évolution du système, qui se traduit par une trajectoire (p(t); q(t)) dans l’espace des phases, est entièrement déterminée par le Hamiltonien H(p; q; t), suivant les équations de Hamilton @H @pi = q_i @H @qi = ?p_i; (2.1) où le point exprime la dérivée temporelle. La forme de ces équations est dite canonique.
De même, tout jeu de variables (p; q) qui préserve la structure des équations, au prix d’un changement de Hamiltonien H ! H , est dit canonique et les variables p et q sont dites conjuguées.
Soit x le vecteur des coordonnées dans l’espace des phases, par exemple x = (p; q).
Dans l’étude des systèmes dynamiques, on distingue les systèmes en temps continu d dt x = F(x); (2.2)

Physique semiclassique

La physique semiclassique est un domaine qui cherche à établir une correspondance entre certaines classes de systèmes quantiques et leurs analogues classiques. La nature intégrable, chaotique ou mixte de la dynamique aecte les propriétés des états quantiques. Ainsi la quantication semiclassique comporte deux volets. La méthode de quantication EBK, nommée ainsi d’après Einstein, Brillouin et Keller, et qui concerne les systèmes classiquement intégrables. Mais aussi des méthodes plus générales que l’on regroupe sous le nom de théorie des orbites périodiques et qui permettent le traitement des systèmes classiquement chaotiques.

Limite semiclassique

Le passage à la limite s’entend le plus souvent comme le fait de réduire une théorie générale (e.g. la relativité) à un ensemble de lois plus restreintes dans leurs applications (la mécanique de Newton) à mesure qu’un paramètre fondamental de la théorie s’annule ou tend vers l’inni (limite des faibles vitesses v=c ! 0, où c est la vitesse de la lumière). Mais la situation est plus subtile dans le cas de la limite semiclassique 2 et la limite ne s’obtient pas trivialement.
Nous présenterons dans cette section les deux méthodes usuelles pour obtenir la limite semiclassique. D’abord l’approximation WKB de Wentzel, Brillouin et Keller qui est basée sur le formalisme ondulatoire de Schrödinger, puis la méthode de la phase stationnaire qui est construite sur le formalisme des intégrales de chemins de Feynman.
Nous introduirons nalement les distributions de Husimi, qui sont des outils mathématiques permettant une comparaison directe entre les états quantiques et l’espace des phases du système classique.

Intégrabilité et chaos en physique quantique

Nous venons de voir que dans les systèmes classiquement mixtes les états quantiques se construisent soit sur les tores des régions intégrables, soit sur la mer chaotique. Le fait que les états quantiques sont localisés dans des zones dynamiquement indépendantes a d’importantes répercussions sur leurs propriétés spectrales. Dans le cas classiquement intégrable les spectres suivent génériquement une distribution de Poisson, comme le proposèrent Berry and Tabor (1977). Quant aux spectres chaotiques, leur distribution est modélisée par les valeurs propres des matrices aléatoires (ensembles statistiques présentés dans la section 2.2.4), en accord avec la conjecture de Bohigas, Giannoni et Schmit (Bohigas et al., 1984).
Notons que de nombreux systèmes, comme les chaînes de spin, n’admettent pas d’analogues classiques. Là encore, les statistiques observées sur les niveaux d’énergie des systèmes complexes (en interaction ou ayant de nombreux degrés de liberté) reproduisent de manière quasi-universelle les distributions des matrices aléatoires (Kollath et al., 2010; Kos et al., 2018). Ces éléments tendent à montrer qu’il existe bien un équivalent quantique aux notions d’intégrabilité et de chaos, bien qu’il soit dicile d’en formuler une dénition satisfaisante (Caux and Mossel, 2011).
Dans cette section, nous allons passer en revue les méthodes de la physique semiclassique. Nous aborderons d’abord les règles de quantication des systèmes classiquement intégrables. Puis nous introduirons les concepts fondamentaux du chaos quantique, qui seront mis en application dans le chapitre 5. Nous procéderons en trois temps : nous présenterons la formule des traces qui relie la densité spectrale aux orbites périodiques du système classique, puis nous présenterons les propriétés spectrales universelles des systèmes classiquement chaotiques et enn nous discuterons cette notion d’universalité

Universalité dans les systèmes chaotiques

Bohigas et al. (1984) montrent que l’utilité des matrices aléatoires ne s’arrête pas aux systèmes possédant de nombreux degrés de liberté. Les auteurs mettent en évidence les propriétés des matrices GOE dans le spectre d’un système de dimension 2 classiquement chaotique. Leur conjecture s’énonce comme suit : Spectra of time-reversalsymmetric systems whose classical analogues are k-systems show the same uctuation properties as predicted by GOE..
De même que l’hypothèse de Wigner, la conjecture BGS est soutenue par de nombreuses expériences, menées par exemple avec des ondes électromagnétiques microondes
en cavité résonante (Stein and Stöckmann, 1992; Kudrolli et al., 1994) ou avec des ondes acoustiques piégées dans une colonne de uide (Chinnery and Humphrey, 1996), ainsi que par de nombreuses simulations numériques e.g. (Baecker et al., 1994).
Un mot sur les symétries s’impose à ce stade. En eet dans les systèmes possédants des symétries spatiales (par exemple les deux axes du stade), les modes propres sont séparés en classes de symétries. Ces classes de symétries forment des spectres indépendants.
Il faut séparer ces spectres avant de faire des statistiques.
La conjecture BGS ouvre également la voie, dans le cadre certes restreint des syst èmes qui admettent une limite classique, à une justication par des arguments théoriques des propriétés universelles des spectres complexes (voir aussi Kos et al. (2018) pour les systèmes en interaction). De gros progrès en ce sens ont été eectué par Berry (1985). L’idée de Berry consiste à regarder le facteur de forme.

Oscillations dans un modèle d’étoile polytropique

Le modèle polytropique

Un modèle d’étoile polytropique est un modèle d’étoile simplié dans lequel une relation polytropique entre la pression et la densité est donnée a priori. Cela évite de résoudre l’équation du transport de l’énergie thermique et permet de réduire les équations décrivant le modèle d’étoile à l’équilibre (données à l’annexe A.1) à trois équations : la relation polytropique, l’équation de l’hydrostatique et l’équation de Poisson P0 = K1+1=N 0 ; (3.16) 0 = ?rP0 ? 0r(0 ? 2d2=2); (3.17) 0 = 4G0; (3.18) où K est la constante polytropique, N l’indice polytropique, le taux de rotation que l’on suppose uniforme spatialement et G la constante de Newton. Dans l’équation de l’équilibre hydrostatique intervient la gravité eective qui prend en compte la somme du potentiel gravitationnel et du potentiel centrifuge g0 = ?r(0 ? 2d2=2): (3.19)
Dans le cas sans rotation, un polytrope d’indice N est une solution de l’équation de Lane-Emden (Hansen et al., 2004), qui est une réécriture de l’équation de Poisson prenant en compte la relation polytropique : 1 2 d d 2 d d = ?N; (3.20).

Calcul et identication des modes chaotiques à hautes fréquences

Un des enjeux de la thèse a été la constitution d’une base de données numériques de modes chaotiques, dont nous présentons quelques exemples sur la Fig. 4.1. Cette section présente la méthode que nous avons utilisée pour calculer numériquement et identier un grand nombre de modes chaotiques. Dans un deuxième temps, nous regarderons les propriétés statistiques des spectres de fréquence produits numériquement en calculant les autocorrélations et en représentant les spectres sur des diagrammes échelles.

Constitution d’une base de données

Notre objectif est de constituer une base de fréquences et de modes propres chaotiques. Nous voulons calculer un grand nombre de fréquences pour plusieurs valeurs de la rotation. La résolution spatiale nécessaire pour le calcul de modes de haute fréquence est élevée et cela se traduit par des besoins importants en mémoire vive, dont on doit tenir compte. Un autre aspect du problème est de distinguer les modes chaotiques des autres types de modes et nous verrons comment la dynamique des rayons peut aider à cette classication.
Étude préliminaire
Connaitre les diérentes familles de modes propres présentes dans le spectre est un prérequis nécessaire pour pouvoir identier les modes propres d’oscillation. Si on veut étudier un type de mode bien précis, dans notre cas les modes chaotiques, il faut choisir une gamme de rotations et de fréquences où ces modes seront a priori présents. Cela passe par une étude préliminaire, basée sur le tracé de rayons, qui consiste à construire des sections de Poincaré à plusieurs valeurs de la rotation et de la fréquence. Nous reprenons la PSS introduite dans Lignières and Georgeot (2009) dénie à distance constante de la surface et la PSS introduite dans Pasek (2012) confondue avec l’équateur. Dans les deux cas, nous utilisons les coordonnées renormalisées par la fréquence (; ~k) et (r; ~kr) car ce choix de coordonnées permet d’explorer plus ecacement l’espace des paramètres, en ne variant que la rotation. Le nombre total de modes en dessous d’une fréquence ! est donné par le terme de Weyl N (!). Ce dernier prend la forme suivante (Lignières and Georgeot, 2009) N (!) = 1 4 ZZ S !2 ? !2 c c2 s ? L2 z (r sin )2 dS; (4.1)

Table des matières

Introduction 1
1 Sismologie des étoiles en rotation rapide 
1.1 Caractéristiques des étoiles pulsantes
1.1.1 Techniques d’observation
1.1.2 Pulsateurs classiques et de type solaire
1.1.3 Modes p et g dans une étoile sphérique.
1.2 Modes de pression dans les pulsateurs classiques en rotation rapide
1.2.1 Étoiles en rotation rapide
1.2.2 Régularités des modes p dans les modèles d’étoiles en rotation rapide
1.2.3 Recherche de régularités dans les Scuti
2 Outils du chaos quantique 
2.1 Intégrabilité et chaos dans les systèmes Hamiltoniens
2.1.1 Rappels sur les systèmes Hamiltoniens
2.1.2 Systèmes intégrables
2.1.3 Systèmes chaotiques
2.1.4 Systèmes mixtes
2.2 Physique semiclassique
2.2.1 Systèmes Hamiltoniens et mécanique quantique
2.2.2 Limite semiclassique
2.2.3 Intégrabilité et chaos en physique quantique
2.2.4 Propriétés statistiques des spectres quantiques
2.2.5 Universalité dans les systèmes chaotiques
3 Modes de pression dans les étoiles en rotation rapide 
3.1 Théorie linéaire des oscillations
3.2 Oscillations dans un modèle d’étoile polytropique
3.2.1 Le modèle polytropique
3.2.2 Calcul des pulsations
3.3 Méthodes asymptotiques
3.3.1 Limite des rayons
3.3.2 Structures dans l’espace des phases
3.3.3 Associer les modes aux rayons
3.3.4 Spectres d’oscillation réguliers et chaotiques
4 Étude semiclassique des modes de pression chaotiques 
4.1 Calcul et identication des modes chaotiques à hautes fréquences
4.1.1 Constitution d’une base de données
4.1.2 Présentation des données
4.2 Analyse semiclassique
4.2.1 Méthodes du chaos quantique pour les oscillations acoustiques
4.2.2 Eet du prol inhomogène de la vitesse du son sur les orbites périodiques
4.2.3 Impact sur la statistique spectrale
4.3 Pics additionnels et barrières partielles
4.4 Le spectre à basses fréquences
Annexes 
A.1 Oscillations dans l’approximation adiabatique
A.2 Approximation des rayons et formule de Tassoul
B.1 Barrières partielles dans les zones ergodiques de l’espace des phases
B.2 Séries de modes chaotiques
Publications 
Publication I
Publication II
Bibliography 

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