Modélisatuon par élément finis et couplage

Modélisatuon par élément finis et couplage

FORMULATION MATHEMATIQUE

Introduction

L’étude du mouvement d’un corps fait introduire divers paramètres qui le décrivent, d’où la nécessité d’examiner la conservation de certaines quantités pendant ce mouvement, comme la masse, la quantité de mouvement et le moment cinétique. Dans ce contexte, et face à un problème typique de la mécanique des solides, on s’intéresse au calcul des déplacements, des déformations et des contraintes. La contrainte est le paramètre qui caractérise l’interaction mécanique d’un corps avec son environnement. Cette contrainte est la cause du mouvement, d’où la nécessité d’une formulation mathématique. Plusieurs théories ont été développées et sont actuellement utilisées en ingénierie. Chacune de ces approches vise à modéliser certains aspects spécifiques du comportement des matériaux.
La première partie de ce chapitre est consacrée à la description mathématique des équations générales qui traduisent le comportement du solide, représenté par les deux modèles d’états de contraintes planes ou de déformations planes, ces équations sont appliquées dans les cas des poutres. La deuxième part ie est consacrée aux équations régissant le milieu fluide, suivie d’une troisième consacrée au couplage des deux milieux.

Equations de solide

Equations locales 

On prend l’hypothèse des petites perturbations en élasticité linéaire [14], on se place dans un repère galiléen ou absolu. A chaque instant t, pour toute partie d’un système matériel , le torseur dynamique de est égal au torseur des forces extérieures
Les déformations de la structure induisent un champ de contraintes dans la structure, représentées par le tenseur des contraintes ( ), l’hypothèse du comportement élastique de la structure permet d’écrire la relation entre les déformations et les contraintes sous la forme suivante (Loi de Hooke)
Le problème plan à deux dimensions est déduit à partir du problème à trois dimensions donné par
Toutes les variables sont indépendantes du troisième axe et ne sont fonction que des deux autres coordonnées , ; on parle alors d’état de contraintes planes ou de déformations planes.
Dans les deux cas de figure, états de contraintes planes [15] et de déformations planes, nous pouvons tirer profit des situations les caractérisant pour rendre les calculs plus faciles.

Etat de déformations planes

Le modèle s’applique à un corps de section constante quelconque, infiniment long, conventionnellement d’axe noté , encastré à ses deux extrémités. Le corps est soumis à un chargement orthogonal à , uniforme sur toute sa longueur. Dans ces conditions, aucune dilatation suivant l’axe n’est possible : chaque tranche ne se déforme que dans son plan. Dans ce cas, le déplacement dans la direction peut être considéré comme nul. Les dérivées des déplacements dans cette même direction sont nulles :
= = = = =
Par contre il existe des contraintes qui contrebalancent l’effet de Poisson c’est-à-dire la tendance à la dilatation suivant l’axe . la contrainte qui retient chaque tranche dans le plan vaut:
=( + )

Etat de contraintes planes:

Une structure plane mince est en état de contraintes planes si les charges sont appliquées dans son plan. L’épaisseur de la structure est toujours très petite par rapport aux deux autres dimensions et est symétrique de part et d’autre du plan ( , ), appelée surface neutre.
Ces deux approches sont basées sur des hypothèses fondamentalement différentes et ne s’appliquent donc pas aux mêmes structures. Elles sont déterminées à partir des équations (2-5a) et (2-5b).

Conditions aux limites

La résolution des équations régissant le comportement d’une structure nécessite l’introduction de conditions aux limites de la structure [16].

Théorie des poutres

Généralités :

Par définition une poutre est un solide engendré par une surface plane qui peut être constante ou non la ligne moyenne est appelée axe neutre de la poutre [17].

Mécaniques des fluides

Les équations générales de la dynamique des fluides sont présentées dans ce chapitre. Ces équations résultent des lois de conservation de la physique qui sont : conservation de la masse, conservation de la quantité de mouvement (seconde loi de Newton) et conservation de l’énergie (premier principe de la thermodynamique).

Conservation de la masse

Le principe de la conservation de la masse fait partie du fondement de la mécanique classique. Il exprime la constance de la masse d’un système matériel, suivi dans son mouvement.

Conservation de la quantité de mouvement

Le principe de la quantité de mouvement traduit la seconde loi de Newton, appliqué à un système matériel : pour tout système matériel, le taux de variation par rapport au temps du tenseur des quantités de mouvement est égal au tenseur de forces extérieures appliquées sur ce système
 Hypothèse de compressibilité
 Si le fluide est incompressible, implique une vitesse de propagation des perturbations de pression faibles dans l’écoulement (ondes acoustiques) d’où les équations de l’écoulement potentiel décrit par les variables , et l’équation de continuité se transforme en équation de Laplace
= (2-42)
L’écoulement étudié dans ce travail est supposé évoluer de manière iso-volumique. Cela signifie que l’on peut négliger les effets de dilatation thermique dus aux variations de température, ainsi que les variations de volume liées à des compressions détentes associées à des changements de pression.
Pour simplifier, les champs de températures seront supposés uniformes et constants. L’échauffement résultant des frottements étant négligeable, cela impose à la température des frontières d’être uniforme et indépendante du temps.
Par suite, puisque ces écoulement ne sont le siège d’aucun frottement ni échange de chaleur, ils sont isentropiques.
Les effets de variations des pressions sur la masse volumique peuvent alors etre négligés.
Qui signifie que la masse volumique d’une particule fluide suivie pendant une période de temps dt reste constante.
Bien que cette contrainte n’interdise pas à de varier d’une particule à une autre, on supposera que l’écoulement provient d’une région de l’espace constituant soit un réservoir, soit un domaine infini à l’amont, où la masse volumique est uniforme. Ainsi aura la même valeur pour toutes les particules fluides, et donc sera donnée, uniforme et indépendante du temps.

Table des matières

Introduction générale
Chapitre I: Revubibliographique
Chapitre II : Formulation mathématique
II.1Introduction
II.2Equations de solide
II-2-1Equations locales
II-2-2 Conditions aux limites
II-3 Théorie des poutres
II- 3-1 Généralités
II- 3-2 Equations d’équilibre
II.4 Mécanique des fluides
II.5 Couplage
Chapitre III :Modélisatuon par élément finis et couplage
III.1 Introduction
III.2 Méthode des éléments finis pour l’analyse vibratoire d’une structure couplée en présence d’un fluide incompressible
III.3 Les éléments finis en mécanique du solide
III.4 Méthode des éléments finis en mécanique des fluides.(Forme faible de la méthode des résidus pondérés)
III.5 Couplage éléments finis-éléments finis
Chapitre IV:Cas d’une poutre émergée dans un fluide
IV.1Etude des vibrations d’une poutre immergée dans un fluide
IV.1.1Equation du problème couplé
IV.1.1.1Equations du comportement de poutre
IV.1.1.2Equations du fluide
IV.2Modélisation numérique et couplage
IV.2.1 Discrétisation de la poutre
IV.2.2 Discrétisation du milieu fluide
Chapitre V:Organisation de la programmation
V.1 Introduction
V-2Description du programme
V-3 Résolution
V-4 Organigramme
Chapitre VI :Résultat et interprétation
VI.1 Introduction
VI-2 Description de la poutre
VI-3 Validation du programme
VI-4 Influence des paramètres géométriques et physiques sur les fréquences propres de vibration de la poutre
Conclusion
Références bibliographiques

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