Modélisations mathématiques du couplage interfacial de systèmes hyperboliques

Modélisations mathématiques du couplage interfacial de systèmes hyperboliques

Position du problème

Dans le cadre d’un contrat de collaboration entre le laboratoire Jacques-Louis Lions et le commissariat à l’énergie atomique, un groupe de travail s’est formé il y a une dizaine d’années pour étudier la problématique du couplage interfacial entre des modèles provenant de la dynamique des fluides multiphasiques. Les articles de revue [60] et [38] présentent les techniques mathématiques et numériques développées pour le couplage interfacial de systèmes hyperboliques. Ce groupe de travail a en particulier contribué à la formulation de différents modèles de couplage. Deux approches ont été proposées. La première consiste à construire un modèle père dégénérant vers les modèles à coupler tandis que la seconde consiste à envisager le couplage comme deux problèmes avec des conditions à la limite couplées. Avant de présenter les différents modèles de couplage, fixons quelques notations.

Les problèmes de couplage considérés sont posés comme suit. Nous supposons pour l’instant que l’interface de couplage est infiniment mince et nous nous plaçons en une dimension d’espace par souci de simplicité et de clarté. Pour des exemples de couplage en dimension d’espace supérieure, nous invitons le lecteur à lire [72, 74, 56, 55, 26, 20]. Par hypothèse, l’interface de couplage est localisée en x = 0 .

Par exemple, dans le cas du couplage des équations d’Euler avec différentes lois de pression, on peut souhaiter assurer la continuité des variables primitives ρ, u, p à l’interface où ρ > 0 est la masse volumique, u ∈ R la vitesse et p la pression du fluide. Dans ce cas, il suffit de prendre ϕα(u) = (ρ, u, pα), α = G, D. Il s’agit d’un couplage par état non conservatif. Le choix ϕG ≡ ϕD ≡ Id permet d’assurer la continuité des variables conservatives à l’interface. Cela n’implique pas la continuité du flux : le couplage par état est a priori non conservatif. Le couplage par état peut donc être envisagé comme deux problèmes avec des conditions à la limite x = 0 couplées. Cependant, la nature hyperbolique des systèmes considérés ne permet pas en général d’imposer la continuité au sens fort des traces de la solution. En effet, on sait que pour les systèmes hyperboliques, les conditions aux limites de types Dirichlet ne peuvent pas toujours être imposées de manière forte. La condition (1.5) est trop restrictive et doit être affaiblie. Pour cela, E. Godlewski et P-A. Raviart [64] puis E. Godlewski et al. [61] définissent des conditions de couplage faible en suivant le principe des conditions aux limites faibles proposé par F. Dubois et P. G. LeFloch [46].

Dans le cas où l’interface de couplage n’est pas caractéristique, c’est-à-dire lorsque la dérivée du flux f est soit strictement négative soit strictement positive, F. Caetano [28] montre que le problème de Cauchy associé au modèle couplé (1.8)-(1.9)-(1.10) admet une unique solution. Plus récemment, dans le cas où le flux f est linéaire, S. Jin, J-G. Liu et L. Wang obtiennent des conditions de couplage équivalentes à (1.10) à l’aide de méthodes multi-échelles [76]. Ces techniques permettent de prendre en compte l’éventuelle existence de couches limites à l’interface de couplage. Toujours sous l’hypothèse d’une interface de couplage non caractéristique, les auteurs montrent que le problème couplé (1.8)-(1.9)-(1.10) est bien posé. La généralisation au cas où le flux f est non linéaire a ensuite été développée par F. Coquel, S. Jin, J. G. Liu et L. Wang [41] qui retrouvent des conditions de couplage équivalentes à (1.10) à l’aide d’autres techniques multi-échelles révélant l’éventuelle existence de couches limites à l’interface de couplage. D’autres exemples de couplage par état de modèles plus complexes de taille différente sont traités dans [28] et [8].

Les conditions de transmission peuvent aussi être modélisées par le biais d’un terme source mesure concentré sur l’interface de couplage. Le modèle de couplage correspondant prend alors la forme

∂tu + ∂xf(u, x) = M(t)δx=0, x ∈ R, t > 0, (1.11)

où δx=0 est la mesure de Dirac en x = 0, le flux f discontinu par rapport à la variable d’espace est défini dans (1.4) et l’application t ∈ R∗ + 7→ M(t) est donnée. En intégrant le système (1.11) de part et d’autre de l’interface de couplage, nous obtenons la condition de couplage :

M(t) = fD(u(0+, t)) − fG(u(0−, t)), t > 0. (1.12)

Cette modélisation développée dans la thèse de T. Galié [51] pour le couplage des équations d’Euler possédant des lois de pression différentes présente plusieurs intérêts. Par exemple, elle permet de retrouver les deux conditions de transmission par flux et par état discutées ci-avant. Cette modélisation permet aussi de contrôler les pertes de conservation sur la masse, l’impulsion ou l’énergie. Enfin, des motivations purement physiques peuvent amener l’utilisateur à choisir un poids M non nul minimisant une certaine fonction objectif. Cette optimisation peut par exemple permettre d’imposer certaines quantités telles un débit de masse où un écart de température à l’interface de couplage.

Une approche permettant la régularisation 

Afin de restaurer l’unicité des solutions du problème de Riemann couplé associé au modèle (1.13)-(1.14), une reformulation du problème de couplage a été proposée et étudiée dans la thèse de B. Boutin [20] et dans les travaux [22, 23, 24, 25, 26]. Dans les paragraphes suivants, nous verrons en effet que cette modélisation permet de supporter deux types de régularisation permettant d’obtenir des critères d’admissibilité pour les solutions.

Dans le cas scalaire, lorsque ϕG ≡ ϕD ≡ Id, B. Boutin et ses collaborateurs [24] analysent la structure interne de l’interface de couplage afin de déterminer les conditions de couplage liant les modèles (1.1). A l’aide d’un principe de renormalisation de la solution de (1.16), les auteurs obtiennent une équation caractérisant un profil de couche limite décrivant la transition à l’interface et la possible présence de chocs stationnaires entropiques à l’interface. Dans [25] et [26], les auteurs proposent un deuxième mécanisme de régularisation basé sur un modèle d’interface épaisse où la fonction couleur v est choisie régulière. Le modèle construit est un système hyperbolique quasi-linéaire avec des termes sources réguliers ayant la propriété d’être bien posé

Contributions et organisation du mémoire

Couplage interfacial avec termes sources mesure arbitraires de deux systèmes hyperboliques de lois de conservation de la dynamique des gaz possédant des lois de pression différentes

Dans ce chapitre, nous développons, analysons et implémentons une méthode numérique dédiée au couplage interfacial des équations non linéaires et instationnaires de la dynamique des gaz compressibles (équations d’Euler) en une dimension d’espace. Chacun des systèmes de lois de conservation est muni d’une loi de pression distincte. Cette hypothèse est justifiée par les trois exemples suivants. D’une part, elle permet d’envisager des calculs d’écoulements diphasiques de type liquide-gaz où une phase se comporterait comme un gaz parfait et le liquide comme un gaz raidi. D’autre part, l’étude du couplage de deux systèmes de lois de conservation possédant des flux différents peut permettre de comprendre comment coupler des modèles diphasiques complexes munis de lois de fermetures incompatibles. En effet, pour des raisons intrinsèques à la modélisation physique des écoulements multiéchelles complexes, la hiérarchie de modèles de relaxation utilisés dans la pratique n’est pas toujours en parfaite correspondance : un modèle grossier ne se déduit pas exactement d’un modèle fin par la relaxation d’équations aux dérivées partielles traduisant des déséquilibres associés aux petites échelles. En conséquence, les relations de fermeture algébriques nécessaires à la description des équilibres ne sont pas exactement celles attendues. Notons enfin que cette modélisation est représentative, par exemple, des conditions de température et de pression fortement hétérogènes au sein des turbines multi-étagées des turboréacteurs. En s’inspirant d’une partie des travaux de thèse de T. Galié [51] (voir aussi l’article [5]), nous modélisons les conditions de transmission par un terme source mesure localisé à l’interface de couplage. Notons que ce type de modélisation avait été utilisé dans le cas scalaire par S. Diehl pour un problème de sédimentation de particules solides dans un liquide [45]. Le poids associé à cette mesure modélise les pertes de conservation localisées sur l’interface de couplage et sa définition permet l’application de plusieurs stratégies de couplage. Le principal objectif de ce chapitre est d’étendre les études menées dans [51, 4, 5] au cas du couplage des équations d’Euler complètes avec énergie en traitant le cas général où tous les termes sources peuvent être non nuls. Cette généralisation permet d’étendre les champs d’applications physiques offert par cette méthode de couplage.

Erreurs de modélisation et de discrétisation pour l’approximation d’un problème mixte hyperbolique semi-linéaire de relaxation

Des algorithmes d’adaptation pour l’estimation de quantités d’intérêts sont en développement depuis une vingtaine d’années. Ces méthodes permettent de produire des simulations numériques à encombrement mémoire et temps CPU minimaux tout en respectant la tolérance désirée par l’utilisateur. Les fonctions objectifs représentant par exemple une force ou un moment dépendent des solutions de modèles multi-échelles décrivant l’évolution d’écoulements complexes. Ces écoulements peuvent aussi être modélisés par une hiérarchie de systèmes à coupler. Les méthodes d’adaptation les plus récentes permettent de créer automatiquement une partition du domaine spatial d’étude telle que le modèle optimal et le degré d’approximation numérique sont déterminés localement.

Pour créer de tels algorithmes, il faut savoir développer des schémas numériques où les modèles sont couplés à des ordres de précision arbitrairement élevés. Dans ce chapitre, nous nous sommes intéressés à cette problématique dans le cas où les modèles sont liés par un mécanisme de relaxation. Plus précisément, nous avons développé, analysé et implémenté deux schémas numériques pour l’approximation des solutions stationnaires du problème mixte associé au modèle de relaxation de S. Jin et Z. Xin (1.8). Nos discrétisations spatiales sont basées sur la méthode de Galerkin discontinue. Ce type de méthode compacte regroupe plusieurs avantages permettant le développement relativement aisé de stratégies d’adaptation de maillage et d’ordre d’approximation. L’approximation des solutions du problème mixte associé à (1.8) par notre premier schéma numérique fait intervenir uniquement des erreurs de discrétisation tandis que le deuxième schéma est constitué à la fois d’erreurs de modélisation et de discrétisation. L’erreur de modélisation provient du remplacement, dans certaines régions spatiales, de la résolution du modèle de relaxation par celle de l’équation scalaire équilibre associée (1.9). Nous résolvons exactement un problème de Riemann couplé, y compris dans le cas où l’interface de couplage est caractéristique. Cette résolution nous permet de construire un schéma couplé extrêmement précis capturant les éventuelles couches limites formées à l’interface de couplage.

La mise en œuvre de ces schémas nous permet de proposer trois cas tests. Pour apprécier les erreurs de modélisation et de discrétisation, les calculs couplés sont réalisés en faisant varier trois degrés de liberté : le niveau de raffinement de maillage, le degré du polynôme et la position de l’interface de couplage. Dans le premier cas test, le flux f est linéaire et sa dérivée est strictement négative. Dans le second cas test, le flux est toujours de dérivée strictement négative, mais est non linéaire. Et enfin dans le dernier cas test, il est non-linéaire avec une dérivée soit strictement négative soit strictement positive ou soit nulle.

Table des matières

1 Introduction générale
1.1 Motivations physiques et numériques
1.2 Modélisations mathématiques du couplage interfacial de systèmes hyperboliques
1.2.1 Position du problème
1.2.2 Une approche permettant la régularisation
1.3 Contributions et organisation du mémoire
1.3.1 Chapitre 2 : Couplage interfacial avec termes sources mesure arbitraires de deux systèmes hyperboliques de lois de conservation de la dynamique des gaz possédant des lois de pression différentes
1.3.2 Chapitre 3 : Erreurs de modélisation et de discrétisation pour l’approximation d’un problème mixte hyperbolique semi-linéaire de relaxation
1.3.3 Publications
2 Couplage interfacial avec termes sources mesure arbitraires de deux systèmes hyperboliques de lois de conservation de la dynamique des gaz possédant des lois de pression différentes
2.1 Introduction
2.2 Coupling with measure source term
2.2.1 Physical problem and governing equations
2.2.2 Coupling model
2.3 Numerical method
2.3.1 Relaxation approximation
2.3.2 The main features of the scheme
2.3.3 Godunov-type scheme
2.3.4 Details of the time splitting method
2.3.5 Equilibrium solutions
2.3.6 Riemann problem associated to the relaxation system
2.3.7 Preserving equilibria
2.3.8 Choices of the measure source terms
2.3.8.1 Flux coupling and state coupling
2.3.8.2 Dynamic evaluation: constrained optimization problems
2.4 Numerical experiments
2.4.1 Flux coupling vs. state coupling
2.4.2 Optimal source terms
2.5 Concluding remarks
2.6 Appendix: Mathematical properties of the cost functions J1 and J2
3 Erreurs de modélisation et de discrétisation pour l’approximation d’un problème mixte hyperbolique semi-linéaire de relaxation
3.1 Introduction
3.2 Problèmes fin et couplé
3.2.1 Problème fin
3.2.2 Problème couplé : approximation continue du problème fin
3.2.3 Résolution du problème de Riemann couplé
3.3 Méthodes numériques fine et couplée
3.3.1 Discrétisations spatiales d’ordre elevé des problèmes fin et couplé
3.3.1.1 Choix des bases locales de polynômes
3.3.1.2 Approximation fine
3.3.1.3 Approximation couplée
3.3.2 Discrétisations temporelles des problèmes fin et couplé
3.3.2.1 Approximation fine
3.3.2.2 Approximation couplée
3.4 Expériences numériques
3.4.1 Cas linéaire
3.4.1.1 Approximation du problème fin par la méthode numérique fine
3.4.1.2 Approximation du problème fin par la méthode numérique couplée
3.4.2 Cas non-linéaire avec f 0 < 0
3.4.3 Cas non-linéaire avec f 0 > 0, f 0 < 0 ou f 0 qui change de signe de part et d’autre de l’interface de couplage
3.5 Conclusions
Conclusion générale

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