Modélisation thermo-hydro-mécanique des sols non-saturés

De nombreux problèmes concernant les sols non-saturés sont rencontrés dans beaucoup d’applications géo-environnementales. Par exemple, à côté des ouvrages en terre construits en sol compacté (remblais routiers, barrages en remblai, digues), on sait que la stabilité des talus est souvent conditionnée par l’état de non-saturation du massif. Les fondations superficielles peuvent être affectées, comme le montre le cas extrême des dégâts causés aux bâtiments par les effets de la sécheresse. Les excavations en zone urbaine et les ouvrages de soutènements peuvent aussi être concernés.

Le mouvement simultané de l’humidité et de la chaleur est un des phénomènes principaux observés dans les milieux poreux sous condition non-isotherme. Ce phénomène est important par rapport à plusieurs problèmes, y compris la dissipation de la chaleur produite par les câbles à haute tension enterrés, l’extraction du pétrole ou de l’énergie géothermique, les remblais routiers et les fondations des chaussées soumis à des cycles thermiques, l’échauffement dû au frottement au niveau des failles dans le sol ou des formations rocheuses et le stockage des déchets radioactifs, etc. Le mouvement de l’humidité provoqué par la chaleur peut mener à des modifications des propriétés thermiques et mécaniques du sol. Ceci peut par la suite affecter le fonctionnement du sol par rapport à son but prévu. Les transferts d’humidité et d’énergie dans les milieux poreux non-saturés sont fortement couplés en raison de la dépendance exclusive de la pression de vapeur saturante à la température. La présence d’un gradient thermique induit des gradients concomitants dans la densité et dans la pression de vapeur qui la font se déplacer dans la direction de la température décroissante par une combinaison de diffusion et d’écoulement de gaz. Cela nécessite une meilleure compréhension du comportement thermo-hydro-mécanique (THHM) des milieux poreux multiphasiques et des couplages entre trois mécanismes : thermique, hydrique et mécanique.

Également, l’étude du comportement dynamique des milieux poreux non-saturés isotherme est un champ relativement nouveau dans le domaine du génie parasismique. La mesure précise de diverses quantités telles que les pressions dynamiques de l’eau et de l’air, et le degré de saturation dans les sols partiellement saturés est une tâche difficile au cours des chargements dynamiques [282]. La propagation des ondes dans les sols non-saturés dans les régions arides et la réponse dynamique de tels milieux sont de grand intérêt dans la géophysique.

Biot [39, 41] a développé la théorie de propagation des ondes dans les milieux poreux saturés pour les deux gammes des basses fréquences et des hautes fréquences. Parmi les résultats importants de la théorie de Biot se situe l’identification de trois types d’ondes de volume : la première onde de compression (P1), la seconde onde de compression connue sous le nom d’onde lente (P2) et l’onde de cisaillement S. En ce qui concerne la théorie de propagation des ondes dans les milieux poreux non-saturés, Berryman [31] a étudié la théorie de Biot pour de tels milieux. Il a démontré que si la longueur d’onde est suffisamment grande pour que les changements de pression engendrés dans le liquide et dans le gaz dus à la propagation d’onde soient égaux, la théorie de Biot est valable et les trois types d’ondes de volume se propagent alors dans le milieu. Muraleetharan et Wei, en utilisant la théorie des mélanges avec des interfaces (TMI) pour modéliser le comportement dynamique des milieux poreux non-saturés, ont prédit l’existence d’une troisième onde de compression P3 (c.-à-d., une deuxième onde lente). Cela est due aux forces capillaires existantes dans les espaces poreux.

Quand un séisme se produit par la rupture d’une faille en profondeur, les ondes sismiques sont rayonnées par la source et se propagent rapidement dans la croûte terrestre. Durant leur parcours de la source du séisme jusqu’à la surface du sol, les ondes sismiques traversent en grande majorité de la roche. Mais, la portion finale de ce voyage est souvent effectuée dans le sol dont les caractéristiques peuvent beaucoup influencer la nature de la secousse à la surface. Dans le cas des sols non-saturés, les ondes sismiques arrivées à la surface sont affectées par le degré de saturation et la distribution spatiale des fluides (eau et air) dans le milieu. Également, les études expérimentales sur les irrégularités topographiques montrent l’existence de variations dans l’amplitude et le contenu fréquentiel de la réponse du sol le long des pentes des collines. En bref, le mouvement sismique induit en surface d’un site donné dépend de la magnitude du séisme (l’énergie produite par la source), mais aussi du chemin parcouru dans la lithosphère (aléa régional) et des conditions locales (aléa local). L’aléa local ou l’effet de site signifie la modification du mouvement sismique en surface due aux conditions géotechniques et topographiques locales d’un site par rapport au mouvement d’un site voisin correspondant à des conditions de référence. L’endommagement peut être très variable à l’intérieur d’une zone peu étendue, et des dommages importants peuvent toucher des sites éloignés de la source du séisme. Parfois cela peut être en raison des différents types de construction, mais, dans certains cas, les conditions topographiques et géotechniques du site ont joué leur rôle dans la destruction des bâtis. C’est la raison pour laquelle on voit souvent un bâtiment lourdement endommagé à proximité d’un bâtiment de construction quasiment similaire qui n’a pas été autant affecté. Malgré le rôle important des effets de site locaux dans la conception parasismique, c’est seulement dans ces dernières années que ce problème est devenu l’objet d’une discussion. Effectivement, les coefficients spécifiques représentant les effets de site locaux ne sont apparus dans les codes de construction des bâtiments que dans les années 1970. Les codes de dimensionnement parasismiques actuels comme l’Eurocode 8 ou le PS 92/5.2.4 reposent sur des calculs issus de modèles unidimensionnels. Cette méthode permet de mesurer l’influence de la nature et de l’épaisseur de la couche sédimentaire sur la propagation verticale des ondes de volume en multipliant l’accélération spectrale attendue du sol par un coefficient dépendant de la raideur des matériaux, de l’épaisseur de la couche de sédiments mous et de la vitesse de l’onde de cisaillement. Cependant, ces résultats ne concordent pas avec les estimations fournies par des modélisations bidimensionnelles ou tridimensionnelles comportant l’influence des conditions topographiques et géologiques sur le mouvement sismique et sur le contenu fréquentiel. Lorsque le contraste d’impédance entre le sédiment et le substratum ou la profondeur de la vallée alluviale augmente, la résonance verticale 1D des ondes de volume et la propagation latérale des ondes de surface tendent à intervenir simultanément. Par conséquent, la prise en compte des effets de site bidimensionnels dans les codes parasismiques, d’une manière simple et utilisable par les ingénieurs et les praticiens, nous semble indispensable.

La complexité du système d’équations, gouvernant le comportement couplé entre le champ de déplacement et le champ scalaire de pression (et/ou de température) dans un milieu poreux (qu’il soit saturé ou non-saturé), exclut la dérivation de solutions analytiques (sauf dans les cas les plus simples). Plus généralement, l’utilisation des méthodes numériques est incontournable. Également, pour l’analyse des effets de site comme les phénomènes de propagation d’ondes sismiques présentent des aspects particuliers (par exemple, la diffraction d’ondes, le rayonnement d’ondes à l’infini), il est souvent indispensable de procéder à des simulations numériques.

La méthode numérique la plus populaire appliquée aux problèmes de l’ingénierie est la méthode des éléments finis (FEM). La FEM s’est avérée être souvent nécessaire, parfois indispensable, pour modéliser le comportement hétérogène, non-élastique et non-linéaire des domaines bornés ou à géométrie complexe. Cependant, cette méthode se montre mal adaptée au calcul de la propagation d’ondes dans les milieux infinis ou semi-infinis en raison de la réflexion d’ondes sur les limites du milieu discrétisé. Toutefois, pour modéliser ces problèmes par la méthode des éléments finis, on est contraint de faire appel à une troncature artificielle, qui provoque des réflexions des ondes sur les bords du maillage FE (réflexions  parasites) pouvant compromettre gravement la précision du résultat. En régime transitoire, le maillage doit s’élargir suffisamment pour éviter ces ondes parasites, ce qui augmente considérablement la taille du modèle et rend le coût des calculs prohibitifs. En régime stationnaire, l’extension du maillage n’est même pas applicable; la totalité du domaine d’étude est affectée par des ondes parasites. Pour résoudre ce problème, des techniques spéciales telles que les frontières absorbantes peuvent être appliquées [229, 338]. D’autres techniques, telle que la méthode nommée « cellule EF infiniment cohérent » ne peuvent pas être utilisées pour l’analyse dynamique non-linéaire en raison de leur inconvénient majeur d’être formulées dans les domaines transformés.

D’autre part, la méthode des éléments de frontière (BEM) possède une assise solide dans le domaine des méthodes numériques pour résoudre les équations aux dérivées partielles. Dans cette méthode, la discrétisation numérique est effectuée avec une dimension spatiale réduite.

Par exemple, pour des problèmes en trois dimensions spatiales, la discrétisation est seulement effectuée sur la surface de la frontière ; tandis que pour des problèmes en deux dimensions spatiales, elle se fait seulement sur le contour de la frontière. Cette dimension réduite mène à de petits systèmes linéaires, à de moindre d’exigences de mémoire d’ordinateur, et à un calcul plus efficace. Cet effet est plus prononcé lorsque le domaine est non borné. Cette méthode est particulièrement performante, par rapport à la méthode des éléments finis, pour traiter des problèmes extérieurs (infinis ou semi-infinis) et des domaines variables ou inconnus (propagations de fissures). Un autre avantage est que la BEM modélise automatiquement les conditions à l’infini sans qu’il soit nécessaire de déployer un maillage. Autrement dit, la condition de rayonnement de Sommerfeld en utilisant la méthode des éléments de frontière sera implicitement satisfaite, ce qui est très utile pour l’analyse de propagation d’ondes dans un domaine semi-infini.

Terminologie des sols non saturés

Un milieu poreux non-saturé est représenté comme étant un système tri-phasique (gaz, liquide et squelette solide), ou tri-constituant (eau, air sec et squelette solide) dans lequel deux phases sont classifiées comme fluides (liquide et gaz). L’espace poreux interconnecté est l’endroit à travers lequel les échanges de masse des fluides se produisent. L’espace complémentaire s’appelle la matrice. Par conséquent, la matrice peut se composer d’une partie solide et d’un espace occlu, qu’il soit saturé ou pas. Dans cette étude, cet espace occlu est une partie intégrante de la matrice solide. Dans un système tri-phasique, la phase liquide est constituée d’eau liquide contenant de l’air dissous, la phase gazeuse est un mélange binaire d’air sec et de vapeur d’eau, tandis que le constituant eau est un mélange d’eau liquide et de vapeur d’eau. Dans ce mémoire, le terme humidité sera utilisé à la place du constituant eau. Le constituant air est associé à l’ensemble de l’air dissous dans l’eau et l’air sec . En bref, un système tri-phasique est composé de :
– squelette solide (s)
– liquide (l) : eau liquide + air dissous
– gaz (g) : air sec + vapeur d’eau et un système tri-constituant de :
– squelette solide (s)
– eau (w) : eau liquide + vapeur d’eau
– air (a) : air dissous dans l’eau + air sec
Dans le travail présenté, les équations de champs s’écrivent pour un système tri constituant.

Théorie des milieux poreux non-saturés

Le besoin de prévoir le comportement des sols non-saturés sur une base scientifique solide a été longtemps reconnu comme une nécessité urgente. En développant la connaissance de la mécanique des sols pour couvrir le cas de sols non-saturés, la possibilité que certaines des théories classiques puissent nécessiter une modification ne doit pas être négligée. Pour cette raison, il est important d’être conscient que des théories formulées pour les sols parfaitement saturés ne devraient pas être appliquées aux sols non-saturés jusqu’à ce que leur validité soit examinée. En ce qui concerne les sols saturés, la plupart des chercheurs se réfèrent souvent à la théorie de la poroélasticité de Biot comme point de départ de leurs recherches. En revanche, la recherche sur les sols non-saturés a conduit à des groupes distincts de chercheurs qui apparemment ne commencent pas à partir des mêmes bases théoriques. Cette situation est certainement due aux différentes difficultés rencontrées en réalisant des essais et à des réponses complexes des sols non-saturés.

Différentes théories

Récemment, considérant les milieux poreux en tant que milieu continu ouvert, Coussy [88] a généralisé la théorie de Biot dans le contexte de la thermodynamique. La théorie de Biot et ses généralisations, malgré leur simplicité, ne considèrent pas la structure microscopique des milieux poreux qui joue une rôle critique dans le comportement général des matériaux poreux. Hassanizadeh et Gray [179], Muraleetharan et al. [257] et Wei et Muraleetharan [333] ont développé la théorie du mélange avec les interfaces (TMI) d’un point de vue microscopique pour décrire le comportement des milieux poreux non-saturés afin de modéliser les différents phénomènes couplés. Cette théorie est capable de caractériser rigoureusement d’une manière théorique les interactions entre les composants volumiques comprenant les conditions de compatibilité dynamique sur des interfaces. Dans les modèles basés sur la théorie des mélanges, certaines variables telles que les fractions de volume sont introduites pour représenter la microstructure et les divers processus internes couplés des milieux poreux. Bien que ces approches aient trouvé des applications réussies dans quelques circonstances particulières, elles n’expliquent pas les mécanismes importants susceptibles de se produire dans des milieux poreux. Par exemple, l’hystérésis de la pression capillaire dans les milieux poreux multiphasiques n’a pas été simulée d’une manière satisfaisante basée sur l’une des théories ci-dessus. Aussi les effets de la pression capillaire sur le comportement des milieux poreux multiphasiques demeurent mal compris [333]. Ainsi, quelques paramètres matériels dans la théorie des mélanges peuvent ne pas être accessible par les expérimentations. En revanche, une théorie à l’échelle macroscopique suppose que les principes standards de la mécanique des milieux continus sont appropriés aux milieux poreux. Dans ce contexte, le comportement des milieux poreux est décrit en se basant sur les variables mesurées directement dans le laboratoire à l’échelle macroscopique. Il est généralement plus concluant d’appliquer une théorie macro-échelle qu’une théorie du mélange. Cependant, la théorie de macro-échelle généralement ne représente pas les détails microscopiques importants des milieux poreux.

En ce qui concerne les modèles mécaniques présentés dans ce mémoire, on n’a pas cherché à intégrer ni les actions chimio-physiques ni toutes les actions mécaniques au niveau microscopique. Il est à noter que ces modèles phénoménologiques sont dérivés en se basant sur la théorie de la poromécanique et les observations expérimentales. Par conséquent, quelques phénomènes microscopiques qui se montrent au niveau macroscopique dans les expérimentations sont automatiquement considérés. Autrement dit, ces modèles sont multi-échelles. Un de ces phénomènes est la pression capillaire de la succion qui a été prise en compte au niveau du Volume Élémentaire de Référence (VER). Quant à la théorie de la poromécanique, ces modèles sont obtenus dans le cadre du modèle mathématique présenté par Gatmiri [143] et Gatmiri et al. [150] en utilisant la succion et la température (dans le  cas non-isotherme) comme des variables indépendantes. Dans ce modèle, l’effet de déformation sur la distribution de succion et de température dans le squelette solide et l’effet inverse sont inclus par l’intermédiaire d’une formulation des surfaces d’état en indice des vides et en degré de saturation.

Bibliographie sur le transfert couplé de l’humidité et de la chaleur dans les milieux poreux non saturés

Le mouvement simultané de l’humidité et de la chaleur est un des phénomènes principaux observés dans les milieux poreux sous condition non isotherme. Ce phénomène est important par rapport à plusieurs problèmes, y compris la dissipation de la chaleur produite par les câbles à haute tension enterrés, l’extraction du pétrole ou de l’énergie géothermique, les remblais routiers et les fondations des chaussées soumis à des cycles thermiques, l’échauffement dû au frottement au niveau des failles dans le sol ou des formations rocheuses et le stockage des déchets radioactifs, etc. Dans les sols saturés, le mouvement de l’humidité a lieu uniquement dans la phase liquide, tandis que dans les sols non saturés il se produit dans les deux phases liquide et gazeuse (vapeur). En raison de la nature complexe des espaces poreux et du champ de force agissant sur la vapeur et sur l’eau, ce processus est plus compliqué dans les sols non saturés, que dans ceux saturés. Le mouvement de l’humidité provoqué par la chaleur peut mener aux modifications des propriétés thermiques et mécaniques du sol. Ceci peut par la suite affecter le fonctionnement du sol pour son but prévu. Les transferts d’humidité et d’énergie dans les milieux poreux non saturés sont fortement couplés en raison de la dépendance exclusive de la pression de vapeur saturante à la température. La présence d’un gradient thermique induit des gradients concomitants dans la densité et dans la pression de vapeur qui la font déplacer dans la direction de la température décroissante par une combinaison de diffusion et d’écoulement de gaz [277]. Cela nécessite une meilleure compréhension du comportement thermo-hydro-mécanique des milieux poreux multiphasiques et des couplages entre trois mécanismes : thermique, hydrique et mécanique. Il prouve l’intérêt scientifique considérable de l’étude expérimentale, théorique et numérique des effets combinés de transfert et de déformation sous les effets thermiques dans les sols [187]. Une étude bibliographique détaillée montre que plusieurs théories existent pour le transfert de l’humidité sous les gradients thermiques. Dans les premières décennies du XX siècle, deux études pionnières sur le mouvement de l’humidité dans le sol ont été effectuées. La première a été poursuivie par Bouyoucos [53] dans laquelle seulement l’effet du gradient thermique sur le mouvement de l’humidité du sol a été étudié. Il a observé que l’humidité s’est déplacée du côté chaud au côté froid dans un échantillon du sol. La deuxième étude faite sur ce sujet est réalisée par Lebedeff [212]. Il a étudié le mouvement de l’humidité dans les deux phases, liquide et vapeur, sous des conditions isotherme et non isotherme. Au début des années 1950, une grande attention a été accordée à la compréhension de la physique et de la nature de ce phénomène dans les milieux poreux. Smith [307] a attribué le mouvement d’humidité au mouvement de masse de la vapeur d’eau (convection de vapeur). Le mécanisme de diffusion de la vapeur a été également étudié par Maclean et Gwatkin [230]. Croney et Coleman [91] en utilisant l’équation de Kelvin ont mis au point une équation reliant la pression de vapeur à la température et a conclu que le mouvement de l’humidité se déroule normalement en phase vapeur. Dans tous les cas mentionnés ci-dessus, il a été constaté que pour chaque sol, il existe une teneur en eau initiale optimale dans laquelle le transfert d’eau sera maximal. Winterkorn [340], a eu l’intention de montrer la similitude entre la thermo-osmose et l’électroosmose. Il a décrit le mouvement de l’humidité en présentant une phase de film sur la surface interne du système de sol poreux. Cet écoulement de film de la zone chaude à la zone froide est censé être dû au changement de l’affinité de l’eau avec le changement de la température. Winterkorn [340], et Gouda et Winterkorn [170] ont aussi mentionné que la teneur en eau initiale joue un rôle important sur le mouvement de l’humidité. Gurr et al. [174] ont signalé la contribution de l’écoulement de liquide et de vapeur dans le transfert de l’humidité sous gradient thermique, en mesurant les changements de la distribution d’une petite quantité de sels solubles dans le sol. Il a été supposé que le mouvement des sels solubles est seulement dû au transport dans la phase liquide. Les sels sont situés dans l’extrémité froide comme traceur. Dans tous les cas, sauf les échantillons les plus humides et les plus secs, un transfert de sels vers le côté le plus chaud est observé. Ce résultat peut être dû à un transfert net de l’eau du côté chaud au côté froid. L’eau évaporée du côté chaud se déplace sous forme de vapeur vers le côté le plus froid, où elle se condense et retourne à l’état liquide, quand un gradient approprié de pression d’humidité a été développé. Le transfert net maximal de l’eau à partir du côté chaud vers le côté froid aura lieu dans les échantillons dont la teneur en eau initiale est environ un tiers de l’équivalent d’humidité. Le mouvement de l’eau dans la phase liquide se produit à une teneur basse en eau. Rollins et al. [286] ont examiné le transfert de l’humidité sous gradient thermique, et ont conclu qu’un état d’équilibre nécessite un transfert cyclique de l’humidité dans le système sol-eau. Leurs résultats expérimentaux montrent que les débits sont fortement influencés par la densité et le pourcentage des vides remplis par l’air. Une comparaison des résultats des distributions de l’humidité pour les systèmes circulatoire et non-circulatoire indique que le mouvement de l’humidité dans l’état liquide n’est pas un phénomène prédominant de transfert de l’humidité pour le sol utilisé. Comme on a pu conclure, beaucoup de chercheurs avant la présentation de la théorie de Philip et De Vries [274] et de De Vries [107] ont implicitement supposé que le transfert de l’humidité aura lieu dans la phase vapeur. Cette hypothèse conduit à l’utilisation de la loi de Fick modifiée pour prendre en considération la réduction de section transversale de la diffusion par la matrice solide, l’eau liquide et la tortuosité du chemin de la diffusion à travers du milieu poreux. La comparaison entre les résultats théoriques et les essais en laboratoire a prouvé que cette théorie sous-estime la quantité du transfert net de la vapeur d’eau par un facteur de 3 à 10 [174, 286, 314]. Philip et De Vries [274] ont considéré que le transfert de l’humidité dans les sols non saturés se produit dans les deux phases liquide et vapeur sous l’influence combinée de la gravité et des gradients de la température et de la teneur en eau. Plus tard, De Vries a étendu cette théorie pour inclure l’humidité et le stockage de chaleur latente dans la phase de vapeur, la chaleur de mouillage et l’advection de la chaleur sensible par l’eau.

Table des matières

Introduction générale
I Modélisation du Comportement des Sols Non Saturés sous Chargement Thermique et Dynamique
1 Synthèse Bibliographique
1.1 Terminologie des sols non saturés
1.1.1 Porosité partielle et degré de saturation
1.1.2 Densité et Fraction de masse
1.2 Sols non-saturés du point de vue mécanique
1.2.1 Théorie des milieux poreux saturés
1.2.2 Théorie des milieux poreux non-saturés
1.2.2.1 Une seule contrainte effective ?
1.2.2.2 Identification des variables d’état pour les sols non-saturés
1.2.2.3 Variables conjuguées dans les sols non-saturés
1.2.2.4 Surfaces d’état
1.2.2.5 Différentes théories
2 Modélisation thermo-hydro-mécanique des sols non-saturés
2.1 Bibliographie sur le transfert couplé de l’humidité et de la chaleur dans les milieux poreux non saturés
2.2 Système d’équations
2.2.1 Squelette solide
2.2.1.1 Équation d’équilibre
2.2.1.2 Lois de comportement
Surface d’état de l’indice des vides
Surface d’état du degré de saturation
2.2.2 Eau (liquide et vapeur)
2.2.2.1 Transfert en phase liquide
Tension superficielle de l’eau
Coefficient de perméabilité à l’eau du milieu
Relations entre le coefficient de perméabilité à l’eau et le degré de saturation
Relations entre le coefficient de perméabilité à l’eau et la succion
Relations entre le coefficient de perméabilité à l’eau et la température
Variation de la viscosité de l’eau en fonction de la température
2.2.2.2 Transfert de vapeur
2.2.2.3 Transfert total de l’humidité
2.2.2.4 Conservation de la masse d’humidité
2.2.3 Air
2.2.3.1 Transfert de l’air
2.2.3.2 Conservation de la masse d’air
2.2.4 Chaleur
2.2.4.1 Transfert de la chaleur
Transfert de chaleur par conduction dans le sol non saturé conductivité thermique du sol
Transfert de chaleur par convection dans un sol non saturé
Capacité thermique volumique de sol non saturé
Transfert de chaleur latente dans le sol non saturé
Transfert total de chaleur dans le sol non saturé
Conservation de l’énergie
3 Modélisation du comportement dynamique des sols non-saturés
3.1 Concepts basiques et la cinématique
3.1.1 Déformation du squelette solide
3.1.2 Vecteur courant relatif de volume des fluides
3.2 Formulation eulérienne de la conservation de la masse
3.2.1 Conservation de la masse de squelette solide
3.2.2 Conservation de la masse d’eau
3.2.3 Conservation de la masse d’air
3.3 Conservation de la quantité de mouvement
3.4 Équation d’écoulement de l’eau
3.5 Équation d’écoulement de l’air
3.6 Loi de comportement du squelette solide
3.6.1 Surface d’état de l’indice des vides
3.6.2 Surface d’état du degré de saturation
3.6.3 Résumé des équations
3.6.4 Conclusion
II Méthode des Éléments de Frontière en Milieu Poreux
4 Bibliographie
4.1 BEM pour l’élastodynamique
4.2 BEM pour la poroélasticité
4.3 Solution fondamentale
5 Équations intégrales de frontière et solutions fondamentales pour les sols saturés
5.1 Théorie des milieux poreux saturés
5.2 Problèmes dynamiques
5.2.1 Théorie de Biot : Système d’équations
5.2.2 Solutions fondamentales
5.2.2.1 Idée centrale dans la méthode de Hörmander
5.2.2.2 Solutions fondamentales pour la poroélastodynamique
5.2.3 Équations intégrales de frontière pour la poroélastodynamique
5.3 Problèmes quasi-statiques
5.3.1 Système d’équations de champs
5.3.2 Solutions fondamentales
5.3.3 Équations intégrales de frontière
Conclusion générale

Télécharger le rapport complet