Modélisation, simulation, génération de code et correction de systèmes multi-physiques audios

systèmes hamiltoniens à ports et platitude

Un contrôleur pour les systèmes non linéaires est réalisé en deux temps [156, page 199] : (i) une compensation des phénomènes modélisés est réalisée par un contrôleur en boucle ouverte (inversion du modèle, ou feed-forward) et (ii) une compensation des phénomènes non-modélisés est réalisée par un contrôleur en boucle fermée (feed-back). Plusieurs méthodes sont disponibles pour le contrôle en boucle fermée des SHP, qui exploitent la structure d’interconnexion (voir notamment l’approche par interconnexion et assignation de dissipation pour l’approche passive du contrôle, IDA-PBC en anglais, voir [130, 131, 131]). Dans cette thèse, nous développons une méthode de planification de trajectoire (feed-forward) dédiée aux SHP, et qui exploite leur structure d’interconnexion.

L’approche prise ici consiste à transformer le système non linéaire en un système linéaire contrôlable, pour lequel de nombreuses techniques de compensation sont disponibles (voir e. g. [91]). Les transformations considérées consistent (i) à redéfinir la sortie du système, (ii) à appliquer un changement d’état et (iii) à appliquer une transformation de l’entrée qui met en jeu le nouvel état. De nombreux résultats sont disponibles pour déterminer les transformations telles que le nouveau système est découplé en la commande [84, 127, 86, 43], c’est à dire que les nouvelles sorties sont liées aux nouvelles entrées par des chaines découplées d’intégrateurs (forme de Brunovsky [23]).

Une classe de systèmes pour lesquels le problème de planification est particulièrement bien posé est la classe des systèmes différentiellement plats [148, 60, 117, 111]. En résumé, si l’on peut trouver un ensemble de variables (sortie plate) de même dimension que l’ensemble des entrée, qui (i) s’exprime à partie de l’état, de l’entrée et des dérivées de l’entrée et tel que (ii) l’entrée et l’état du système s’expriment à partie de cette sortie plate et de ses dérivées, alors le système est équivalent à la forme de Brunovski. Cependant, trouver cette sortie plate n’est pas chose aisée dans le cas général (voir [117, §7] pour un catalogue des systèmes plats, et plus précisément [147] pour les systèmes oscillants linéaire et nonlinéaire, en dimension finie et infinie et [126] pour les systèmes lagrangiens). Dans la suite, nous ne considérerons que des bouclages dits statiques, c’est à dire que la sortie plate s’exprime à partir de l’état uniquement.

rappels de linéarisation par bouclage des systèmes dynamiques

Cette section rappelle l’approche par platitude pour la linéarisation et le découplage de systèmes dynamiques non linéaires, en vue de la planification de trajectoire (contrôleur feed-forward). Premièrement, le découplage des systèmes linéaires est rappelé. En particulier, cette approche est motivée par la facilité qu’elle apporte pour la planification de trajectoire. Deuxièmement, on s’intéresse au découplage des systèmes non linéaires. L’approche considérée est de linéariser le système par changement d’état et bouclage statique, de sorte à revenir au cas linéaire, bien maîtrisé. Troisièmement, on introduit la propriété de platitude différentielle pour les systèmes non linéaires comme une condition suffisante pour le débouclage.

Systèmes linéaires

On considère un système dynamique d’état x : t 7→ x(t) ∈ Rn et d’entrée u : t 7→ u(t) ∈ Rm : dx/dt = f(x, u).

Étant donnés un état initial x0 ∈ Rn et un état final xT ∈ Rn , le problème de planification de trajectoire est de déterminer la commande u(t) ∈ Rm sur l’horizon temporel t ∈ [t0, T], telle que la trajectoire x(t) vérifie x(t = t0) = x0 et x(t = T) = xT. Sans perte de généralité, on fixe dans la suite t0 = 0. Il n’est pas toujours possible de trouver une telle commande, d’où la notion de commandabilité des systèmes.

Systèmes non linéaires

Puisque le problème de commandabilité est bien caractérisé pour les systèmes linéaires (propriétés 4.1 et 4.2), il est naturel de se demander si (i) il est possible de transformer un système non linéaire en un système linéaire équivalent et (ii) si ce système équivalent est découplé. Une approche est la méthode de linéarisation par retour d’état [156, §6], qui consiste à passer de la forme (C1) à la forme (C3) par un difféomorphisme

x˜ = Φ(x)

et un retour d’état (state feed-back linéarization en anglais, voir [156, §6] et figure 4.3).

u˜ = Ψ(x, u)

Remarque 4.2 (Système affine en la commande) Pour les systèmes affines en la commande (1.4), la transformation de l’entrée permettant de découpler le système sous forme de Brunovsky est elle aussi affine [144] : u → u˜ = k(x) + N(x)u, avec N(x)∈ Rm×m une matrice inversible et k : Rn → Rm une fonction non linéaire (à comparer avec (C6)).

Depuis le début des années 1970, et en particulier depuis le travail de A. J. Krener [103], une approche standard au problème de linéarisation est de construire des systèmes équivalents, au sens de la définition suivante (voir aussi e. g. [118, définition 2 et théorème 1]).

Définition 4.2 (Équivalence de systèmes) Deux systèmes dynamiques dxi dt = fi(xi , ui), i = 1, 2 sont dits équivalents si
1. ils ont la même dimension d’état et de commande : dim(x1) = dim(x2); dim(u1) = dim(u2), et
2. il existe un difféomorphisme (C9) et un retour d’état (C10) qui permettent de passer des solutions d’un système à celles de l’autre.

En résumé, si un système non linéaire est équivalent à un système linéaire, alors les non-linéarités ne sont pas intrinsèques, mais émergent du choix de coordonnées pour la représentation d’état initiale (C1). Propriété 4.3 (Découplage du contrôle) Le problème de planification de trajectoire pour un système non linéaire (C1) est dit découplé si il existe un difféomorphisme (C9) et un retour d’état (C10) tels que (i) le système dans les nouvelles coordonnées est sous forme linéaire (C3) et (ii) ce système linéaire satisfait au critère de Brunovsky (propriété 4.2).

L’approche par la géométrie différentielle pour la détermination des fonctions Φ et Ψ telles que le système non linéaire soit découplé (propriété 4.3) est particulièrement adaptée, puisque cette formulation capture la structure différentielle (indépendamment du choix de coordonnées). On pourra consulter [84], [128, §5], [156, §6] et [96, §13] pour des présentations détaillées. En particulier, on pourra trouver dans [89] un critère géométrique d’existence d’un tel bouclage pour les systèmes affines en la commande (1.4).

Systèmes plats 

L’approche par platitude différentielle [148, 60, 117, 111] introduite à la fin des années 1980 est une généralisation de la notion de bouclage linéarisant. L’appellation sortie plate est utilisée en référence aux coordonnées plates intervenant dans l’approche par la géométrie différentielle pour résoudre le problème de Froebenius (comme indiqué [59]). Nous nous contentons de rappeler ci-dessous la définition des systèmes plats .

Définition 4.3 (Système plat) Un système dynamique non linéaire de la forme (C1) dx/dt = f(x, u), x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm est différentiellement plat si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées.

Propriété 4.4 (Débouclage d’un système plat) Tout système plat est équivalent par transformation d’état (C9) et bouclage (C10) à un système linéaire découplé sous forme de Brunovsky (C7) [145, §2], [118, définition 3].

Remarque 4.3 (Ordre de platitude) L’ordre de platitude d’un système plat (définition 4.3) est β + 1 si β ≥ 0, sinon 0. Ainsi, pour un système plat à l’ordre 0, la variable plate est donnée par une fonction de l’état du système uniquement µ = Φµ(x). Le bouclage permettant de passer sous forme de Brunovsky est alors de type statique. Pour tout système plat à l’ordre au moins 1, il est nécessaire d’augmenter le système d’un compensateur dynamique (C11).

Dans cette thèse nous ne considérons que la platitude d’ordre 0, c’est à dire des bouclages statiques (voir [127, 34, 146, 144] pour le cas dynamique).

Remarque 4.4 (Planification de trajectoire pour les systèmes plats) Bien que tout système plat soit équivalent au système découplé (C7), il n’est pas nécessaire de mettre le système sous cette forme pour réaliser la planification de trajectoire pour la sortie plate. En effet, étant donné une trajectoire µ(t), 0 ≤ t ≤ T de classe C β , la commande est entièrement déterminée par la fonction (C14).

Table des matières

Introduction
I développements théoriques
1 modélisation des systèmes dynamiques passifs
1.1 Introduction et organisation du chapitre
1.2 Rappels sur les systèmes dynamiques
1.3 Les systèmes hamiltoniens à Ports
1.4 Exemples
1.5 Conclusions du chapitre
2 méthodes numériques préservant la passivité
2.1 Introduction et organisation du chapitre
2.2 Rappels sur les méthodes numériques
2.3 Méthode à une étape préservant la passivité
2.4 Méthode à deux étapes préservant la passivité
2.5 Illustration
2.6 Conclusions du chapitre
3 mise en équation automatique et première application : les circuits audios
3.1 Motivation
3.2 Introduction
3.3 Port-Hamiltonian Systems
3.4 Generation of Equations
3.5 Guaranteed-Passive Simulation
3.6 Applications
3.7 Conclusions
3.8 Appendix – Reduction
3.9 Appendix – Dictionary of Elementary Components
3.10 Appendix – Discrete Gradient for Multi-Variate Hamiltonian
4 systèmes hamiltoniens à ports et platitude
4.1 Introduction et organisation du chapitre
4.2 Rappels de linéarisation par bouclage des systèmes dynamiques
4.3 Analyse de platitude pour les SHP
4.4 Application à la linéarisation tension-déplacement du haut-parleur électrodynamique
4.5 Conclusions du chapitre et perspectives
II applications
5 pyphs : une bibliothèque pour la génération de code temps réel
5.1 Introduction
5.2 Description
5.3 Exemple
5.4 Perspectives
6 deuxième application : le piano fender rhodes
Motivation et guide de lecture
Introduction
6.1 Problem statement
6.2 Port-Hamiltonian Systems
6.3 Models of components
6.4 Complete system
6.5 Guaranteed passive numerical method
6.6 Results
6.7 Appendix – Modal decomposition
Conclusion du chapitre et perspectives
7 troisième application : modélisation et simulation d’un haut-parleur électrodynamique non idéalisé
7.1 Motivation et guide de lecture
7.2 Introduction
7.3 Problem statement
7.4 Port-Hamiltonian systems
7.5 The Thiele/Small model and first refinement (model 0)
7.6 Refined mechanics (model 1)
7.7 Refined electromagnetic (model 2)
7.8 Refined thermodynamics (model 3)
7.9 Discussion
7.10 Conclusion
7.11 Acknowledgments
7.12 Appendix – Numerical method
7.13 Appendix – Recalls on magnetic
7.14 Appendix – State saturating storage function
7.15 Appendix – Fractional order dynamics
7.16 Appendix – Physical and technological parameters
7.17 Appendix – Additional simulation results
Conclusion générale

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