MODELISATION POUR LE DIMENSIONNEMENT OPTIMAL DES MACHINES ELECTRIQUES

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Modèles 2D de la machine synchrone à aimants permanents à concentration de flux.

Introduction

Le dimensionnement rapide et l’analyse du fonctionnement des machines électriques obligent le concepteur à utiliser des méthodes de modélisation qui permettent à la fois une bonne précision et un temps de calcul faible. On peut grouper les différentes méthodes en trois catégories : les modèles analytiques basés sur la résolution formelle des équations de Maxwell, les méthodes numériques, à savoir : les éléments finis, les différences finies… et les modèles semi-numériques comme les schémas réluctants où un calcul analytique pour déterminer les réluctances est effectué puis le système matriciel est résolution numériquement.
La modélisation par schéma réluctant présente l’avantage de prendre en compte la saturation magnétique et de réduire le temps de calcul par rapport aux éléments finis. Néanmoins, cette modélisation fixe des passages de flux et donc réduire l’intervalle de validité du modèle. Ce chapitre présente deux moyens pour résoudre ce problème, le premier est la modélisation de l’espace d’étude par maillage avec réseau de perméances élémentaires permettant une souplesse du passage de flux, le deuxième consiste en un couplage fort entre un modèle éléments finis et un réseau de perméances.
Ce chapitre est composé de deux parties, la première partie du chapitre portera sur la modélisation par réseau de perméances (RdP). Les principes d’équivalence entre circuit électrique et circuit magnétique seront rappelés. Ensuite, nous allons nous intéresser à la représentation des tubes de flux par des réseaux de perméances élémentaires. Par la suite, nous discutons des méthodes de représentation des bobinages et de calcul de la perméance d’entrefer. On finira cette partie par le calcul du couple moyen et instantané.
Le calcul du couple par le Tenseur de Maxwell (TdM) et par la variation de l’énergie sera détaillé et comparé dans le cas d’une machine à concentration de flux. Deux modèles d’entrefers seront développés, ces modèles sont associés aux deux méthodes, puis une étude de sensibilité des modèles sera présentée. Dans toutes ces parties, nous essayons d’obtenir des modèles simples à généraliser pour différentes structures. En d’autres termes, nous cherchons à réduire l’intervention des concepteurs au niveau du développement du modèle réluctant (démarche vers l’automatisation des réseaux de perméances).
La deuxième partie portera sur le couplage entre RdP et EF, où le modèle réluctant est remplacé par des tubes de flux élémentaires à maillage réduit, et l’ensemble du système est résolu avec un logiciel EF. Le choix des matériaux des tubes de flux sera discuté, et nous effectuerons une validation par des exemples simples puis par une modélisation d’une machine à concentration de flux.

Présentation des modèles basés sur les réseaux de perméances 2D

La dualité entre circuits magnétique et électrique est développée pour permettre un calcul simple des grandeurs magnétiques. Cette dualité est basée sur l’équivalence entre les équations électriques et magnétiques [101] [102] [103] [104] [105].
Dans le cas du domaine stationnaire [106] nous pouvons remarquer l’équivalence entre les équations qui gouvernent la densité de courant et l’induction magnétique.
Le rapport entre la différence de potentiel et le flux est appelé réluctance. La modélisation par schéma réluctant est basée sur la décomposition de la structure en parties d’espace où chaque partie est constituée d’un contour fermé sur lequel s’appuient des lignes d’induction [106] (Figure 12). Ces parties d’espace sont appelées « tubes de flux ». Un tube de flux est caractérisé par une succession de surfaces équipotentielles (toutes les lignes de flux sont perpendiculaires aux surfaces du tube de flux) Figure 12. Le rapport entre la différence de potentiel des deux surfaces extrêmes (la FMM du tube de flux) et le flux qui traverse le tube représente la réluctance du tube de flux. L’ensemble des réluctances donne le Réseau de Perméances (RdP).

Constitution du réseau par maillage avec réluctances élémentaires (modèle bidirectionnel)

Le développement d’un réseau de perméances revient à une décomposition de la structure en un ensemble de tubes de flux. La modélisation par une réluctance au niveau du tube de flux introduit une fixation des trajectoires de flux, ce qui introduit une réduction de la flexibilité du modèle.
Cet inconvénient apparait dans le cas de la modélisation des machines électriques et surtout dans les parties où les lignes de flux varient selon l’état magnétique de la machine, et par conséquent les tubes de flux changent. Ce qui est le cas pour la partie inférieure de la dent où les lignes de flux changent en fonction de la position du rotor et du niveau de saturation.
Pour résoudre ce problème, un maillage du tube de flux est utilisé, cette méthode consiste à décomposer l’élément quatre branches (Figure 13), nous introduisons ainsi une flexibilité du passage de flux, delà le flux dans un bloc peut traverser dans différentes directions et non pas dans une seule direction (le cas unidirectionnel) [88] [107] [108]. Les branches de chaque bloc sont reliées entre elles par le noeud central et aux branches des blocs voisins par les six noeuds latéraux. Chaque branche est constituée par une réluctance avec éventuellement des sources de FMM et de flux. L’expression du flux dans une branche est donnée par la relation : Eq. 6 Où b=1, 2, .. 4 représente les numéros des noeuds latéraux pour chaque bloc, « e » est le noeud central du bloc, Rb la réluctance de la branche (e-b), φeb source de flux et Feb source de FMM.
Figure 13 Modèle reluctant bidirectionnel, a) représentation des quatre branches, b) Les éléments qui constitus une branche.
Les réluctances d’un bloc ont la même valeur de perméabilité, qui est calculée en effectuant un bilan d’énergie par bloc, l’énergie totale est égale à la somme des énergies des branches.
Hb et Vb sont respectivement l’intensité du champ magnétique et le volume de la branche. L’intensité du champ magnétique du bloc s’écrit : Eq. 9
Tels que Lb soit la longueur de la branche et Ve le volume du bloc.
Dans le cas d’un matériau non linéaire, les perméabilités des blocs sont déterminées d’une manière itérative. Pour chaque itération on calcule le champ dans les différents blocs par l’Eq. 9. Les nouvelles valeurs des perméabilités des blocs sont déduites de la courbe de magnétisation B(H). Le processus de calcul des perméabilités sont répétés jusqu’à obtention d’une variation relative inférieure à 1 %.

Modélisation de l’entrefer

La modélisation de l’entrefer présente une importance cruciale, puisque c’est le lieu de conversion de l’énergie. Différents modèles d’entrefer sont présentés dans la littérature, des méthodes basées sur le calcul EF préliminaire de la réluctance entre les dents statoriques et rotoriques [109], méthode des contours [110], utilisation de fonction analytique [111] [112], ou encore utilisation des maillages de l’entrefer [90].
Les principaux critères du choix d’un modèle sont : la précision et la rapidité, cela dit, le choix du modèle d’entrefer peut aussi être conditionné par le choix de la méthode de calcul du couple. Comme dans le cas du calcul du couple par le tenseur de Maxwell, l’entrefer doit être modélisé par des réluctances bidirectionnelles, pour pouvoir déterminer les composantes de l’induction dans les deux axes. Dans la partie suivante nous présentons deux méthodes de modélisation d’entrefer : unidirectionnelle et bidirectionnelle, ce choix est fait dans le but de pouvoir comparer, dans la suite, deux méthodes de calcul du couple (Tenseur de Maxwell TdM et Flux-FMM). Le modèle bidirectionnel est adapté à la modélisation par TdM et le modèle unidirectionnel est appliqué au modèle Flux-FMM.

Modèle unidirectionnel (une réluctance par élément)

La liaison entre le RdP statorique et rotorique est déterminée en fonction de la position rotorique, le stator et le rotor sont constitués de blocs, les parties inférieures du stator et supérieures du rotor sont constituées de segments qui représentent la limite supérieure et inférieure de la perméance d’entrefer (Figure 14).
La perméance entre deux segments, un rotorique et le deuxième statorique, est obtenue soit par une fonction cosinus aplatie, soit par une forme approché avec des segments de droites. Dans notre cas, cette perméance est modélisée par des droites. La perméance d’entrefer entre deux segments est présentée dans la Figure 14.b son expression est donnée par l’équation suivante :

Modèle bidirectionnel (maillage)

Le deuxième modèle est obtenu par des blocs bidirectionnels, le but de cette modélisation est d’augmenter la précision du modèle et de pouvoir accéder aux trois composantes de l’induction dans l’entrefer. Les blocs d’entrefer sont constitués de la même manière que dans le cas précédent, seul le nombre de réluctances change.
Nous pouvons voir que pour le deuxième modèle, l’ordre du système est plus important (plus de réluctances au niveau de l’entrefer), de plus, les réluctances dépendent de la position rotorique. La Figure 15 donne les deux représentations des blocs au niveau du rotor.

Représentation des sources et automatisation des méthodes utilisées

Les aimants permanents sont modélisés par des sources de flux en parallèle avec une réluctance constante. La valeur de la source de flux est égale à l’induction rémanente multipliée par la surface de l’aimant. Ce modèle est simple à implémenter dans un réseau de perméances pour n’importe quel positionnement des aimants au niveau de la machine.
La deuxième source présente dans les machines électriques est le courant au niveau des bobinages (les courants de Foucault ne sont pas pris en compte dans les simulations, les pertes fer sont calculées en post-traitement). Les bobinages sont modélisés par des sources de FMM selon la direction normale au plan de bobinage, la valeur maximale de la FMM est égale au produit du courant et du nombre de spires (ou du produit densité de courant et surface du cuivre).
Nous prenons l’exemple d’un bobinage dans le plan (oxz) (Figure 16). Les bobinages sont modélisés par des sources de force magnéto motrice selon la direction radiale (axe y). Pour les blocs situés entre les deux encoches de bobinage la FMM est égale à sa valeur maximale [113]. L’expression de la FMM est donnée par :
Avec Sk, kbk et Jk représentent la surface, le coefficient de remplissage et la densité de courant du bloc « k », la FMM du bloc numéro « n » et est la FMM maximale. Cette FMM est imposée dans les branches selon l’axe « y ». (a1, a2) et (b1 et b2) sont les numéros des limites des encoches du bobinage. La Figure 16 donne la FMM normalisé pour un bobinage. La FMM globale au niveau d’un bloc est égale à la somme algébrique des FMM créées par les différents bobinages.

Table des matières

INTRODUCTION GENERALE
CHAPITRE 1 ETAT DE L’ART 
INTRODUCTION
I. MACHINES SYNCHRONES A DOUBLE EXCITATION
1. Principe de fonctionnement et domaines d’applications
2. Critère de classification des machines synchrone à double excitation
3. Structures de machines à double excitation
II. MODELISATION POUR LE DIMENSIONNEMENT OPTIMAL DES MACHINES ELECTRIQUES
1. Différents types de modélisation
2. Modélisation par réseaux de réluctances
III. POSITIONNEMENT DU TRAVAIL DE THESE
CHAPITRE 2 MODELES 2D DE LA MACHINE SYNCHRONE A AIMANTS PERMANENTS A CONCENTRATION DE FLUX. : COMPARAISON ET VALIDATION
INTRODUCTION
I. PRESENTATION DES MODELES BASES SUR LES RESEAUX DE PERMEANCES 2D
1. Constitution du réseau par maillage avec réluctances élémentaires (modèle bidirectionnel)
2. Modélisation de l’entrefer
3. Représentation des sources et automatisation des méthodes utilisées
4. Résolution du schéma réluctant
5. Calcul du couple par schéma réluctant
II. PRESENTATION DE LA METHODE DE MODELISATION PAR LE COUPLAGE ELEMENTS FINIS- RESEAU DE PERMEANCES
1. Principe de la méthode
2. Tube de flux élémentaire
3. Etude de cas simples
4. Etude de la machine à concentration de flux
III. COMPARAISON ENTRE MODELES
CONCLUSION
CHAPITRE 3 MODELISATION PAR RESEAUX DE PERMEANCES « TRIDIMENSIONNELS » DES MACHINES SYNCHRONES A DOUBLE EXCITATION
INTRODUCTION
I. PRESENTATION DES RESEAUX DE PERMEANCES 3D POUR LES MACHINES A DOUBLE EXCITATION
1. Choix de la machine
2. Génération des systèmes de matrice
3. Résolution du système d’équations
II. MODELISATION DES MACHINES SYNCHRONES A L’AIDE DU RDP
1. Machines synchrones à simple excitation
2. Machine synchrone à double excitation à concentration de flux
3. Machine synchrone à double excitation à aimants enterrés
4. Comparaison entre les machines à double excitation
CONCLUSION
CONCLUSION GENERALE
BIBLIOGRAPHIE

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