Modélisation physique de la diffraction d’ondes électromagnétiques

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Difficultés et objectifs de recherche

Dans le contexte de l’inversion, les algorithmes d’optimisation itératifs nécessitent générale-ment l’évaluation du gradient et du critère à chaque itération afin d’estimer une direction et un pas de descente. Dans la formulation non-linéaire, le calcul du critère requiert la résolu-tion de systèmes linéaires pour calculer les champs totaux. De même, le calcul du gradient nécessite la résolution de systèmes supplémentaires. À chaque itération de la reconstruction, un grand nombre de systèmes linéaires est donc à résoudre.
La taille de ces systèmes est conséquente. En effet, pour un volume 3-D discrétisé en N voxels, les systèmes linéaires à résoudre sont de taille 3N × 3N. Par exemple, un volume de 30 ×30 ×30 voxels mène à un système de taille 81000 ×81000. Tout d’abord, une formulation implicite de la matrice opérateur est utilisée afin de réduire la mémoire requise au stockage des quantités matricielles. De plus, étant donnée la taille importante des systèmes, l’utilisation de méthodes itératives est nécessaire pour les résoudre. On peut citer une des méthodes les plus fréquentes pour ces résolutions de systèmes en TMO, la version stabilisée du gradient biconjugué (BiCGStab).
Pour réduire le coût de calcul de ces opérations, les résolutions par méthode itérative sont tronquées. Malgré cette troncature, ces opérations représentent tout de même la majorité du temps de calcul de l’inversion. Le coût de calcul extrêmement important des reconstructions 3-D en imagerie micro-ondes freine malheureusement son développement dans des applica-tions industrielles ou médicales. De plus, la troncature des résolutions des systèmes introduit des erreurs d’approximation qui peuvent entraîner des difficultés de convergence de l’algo-rithme d’optimisation. Cela peut rendre l’inversion difficile et aboutir à un arrêt prématuré de l’algorithme de reconstruction.
L’objectif global de cette thèse est alors d’accélérer les méthodes de reconstruction 3-D en tomographie micro-ondes. Le travail s’est focalisé sur deux aspects : les résolutions de sys-tèmes linéaires puisqu’il s’agit des opérations les plus chronophages dans l’inversion, et la troncature des systèmes.
Le travail présenté dans ce manuscrit est divisé en trois objectifs :
— le premier est d’optimiser le nombre de systèmes à résoudre dans le calcul du critère et du gradient ;
— le deuxième est d’accélérer la résolution de ces nombreux systèmes linéaires ;
— le troisième est d’étudier l’effet de la troncature des méthodes itératives de résolution des systèmes et d’améliorer la convergence de l’algorithme de reconstruction.
Ces trois objectifs sont détaillés ci-après.

Optimiser le nombre de systèmes linéaires

L’évaluation du critère requiert le calcul des champs totaux. Le nombre de ces champs dépend du nombre d’illuminations utilisé lors de l’acquisition des données. De même, le calcul du gradient nécessite la résolution de systèmes supplémentaires. Nous proposons une procédure afin d’optimiser le nombre de ces systèmes et donc de réduire le coût de calcul du critère et du gradient. Pour cela, nous nous appuyons sur deux techniques connues en imagerie micro-ondes mais aussi dans d’autres types d’application : le principe de réciprocité de Lorentz et la formulation de l’état adjoint.

Accélérer la résolution des systèmes linéaires

Les nombreux systèmes linéaires à résoudre à chaque évaluation du critère et du gradient ont la particularité de faire intervenir la même matrice opérateur. La communauté des mathéma-tiques appliquées a développé depuis quelques décennies une série d’algorithmes par blocs per-mettant de résoudre plusieurs systèmes linéaires avec une matrice commune. Nous proposons alors d’adapter ce type d’approche, en particulier l’algorithme Block-BiCGStab (El Guen-nouni et al., 2003), à une utilisation en tomographie micro-ondes.

Étudier l’effet de la troncature et améliorer la convergence

L’idée de cette contribution est tout d’abord d’étudier l’effet de la troncature des résolutions de systèmes linéaires sur le comportement de l’algorithme de reconstruction. Nous proposons ensuite une nouvelle formulation du critère et du gradient permettant d’assurer la cohérence entre le critère et le gradient, malgré les approximations dues à la troncature des méthodes itératives d’inversion de systèmes. Comme le calcul du critère et du gradient nécessite des résolutions tronquées, on propose d’exprimer ces troncatures sous la forme de projections dans le sous-espace de Krylov engendré par les directions de descente de l’algorithme BiCGStab que nous exploitons pour assurer la cohérence entre le critère et le gradient. L’objectif est alors d’améliorer la convergence de l’algorithme d’optimisation, malgré une troncature des résolutions de systèmes linéaires.
Ce dernier objectif n’a pas été autant développé que les deux premiers. Aussi, cette thèse se restreint à exposer une démarche méthodologique et présente quelques perspectives pour de futurs travaux.

Plan de la thèse

Le chapitre 2 présente le modèle numérique développé à des fins de reconstruction. Nous décrivons les formulations intégrales en continu et leur discrétisation après application de la méthode des moments. Nous mettons ensuite l’accent sur le calcul des champs totaux, opération au centre des contributions de cette thèse. Enfin, comme le modèle développé est nouveau pour les équipes engagées dans ce projet, nous validons le modèle numérique i) sur un objet simple pour lequel nous possédons une solution analytique, ii) en le comparant à des données expérimentales.
Le chapitre 3 présente le problème inverse vu comme la minimisation d’un critère régularisé. Après avoir comparé les approches bilinéaire et non-linéaire, nous nous concentrons sur la définition du critère non-linéaire régularisé et du calcul de son gradient.
Le chapitre 4 étudie la possibilité d’optimiser le nombre de systèmes à résoudre pour le calcul du critère et du gradient. Le théorème de réciprocité de Lorentz y est détaillé et une comparaison sur la mise en œuvre du calcul du gradient y est présentée. L’association de ces deux techniques aboutit à la proposition d’une procédure permettant de réduire le nombre de systèmes linéaires en fonction de la configuration d’acquisition.
Après avoir présenté l’approche Block-BiCGStab, algorithme itératif de résolution de sys-tèmes linéaires multiples, le chapitre 5 s’attaque à l’utilisation de cette approche dans le contexte de TMO afin d’accélérer ces résolutions de systèmes. Nous proposons des adapta-tions efficaces de cette méthode pour la TMO et une généralisation de l’algorithme par blocs afin d’optimiser ses performances pour une architecture d’ordinateurs multi-cœurs. Enfin, des résultats comparatifs sont présentés aussi bien sur des calculs de champs totaux (modèle direct) que sur des reconstructions (problème inverse).
Afin de valider notre algorithme de reconstruction sur des données réelles, nous présentons dans le chapitre 6 un ensemble de données expérimentales acquises par l’Institut Fresnel et libre d’accès. Nous proposons de comparer nos résultats de reconstruction sur ces objets réels à ceux présentés dans la littérature. Enfin, nous mettons en avant nos contributions des chapitres précédents sur ces reconstructions pour évaluer le gain en coût de calcul.
Le chapitre 7 étudie l’effet de la troncature des méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires sur la convergence de l’algorithme de reconstruction. Une nouvelle formulation du critère et du gradient permettant d’assurer la cohérence est proposée afin d’améliorer la convergence de l’algorithme d’inversion.
Le chapitre 8 conclut ce manuscrit et propose des perspectives de poursuite des travaux de cette thèse.

Cadre du travail

Ce travail a été réalisé dans le cadre d’une thèse en cotutelle entre l’École Polytechnique de Montréal (Canada) et l’École Centrale de Nantes (France). Cette collaboration n’est pas nouvelle : depuis 2005, trois thèses sur la tomographie de diffraction ont été réalisées entre le département de Génie Électrique (Montréal) et l’équipe « Analyse et Décision en Traitement du Signal et de l’Image » (ADTSI, Nantes) (Barrière, 2008; Trillon, 2010; Vautrin, 2011). Parmi ces trois projets, un seul a concerné l’imagerie micro-ondes : Barrière (2008) a travaillé sur l’accélération d’algorithmes 2-D pour la détection du cancer du sein par TMO. Cette thèse se place dans la pousuite de ce travail à travers des algorithmes de reconstruction efficaces permettant de passer à l’échelle 3-D. Le problème de TMO mêle aussi bien des notions d’électromagnétisme que de traitement de signal et de problèmes inverses. L’intérêt de cette cotutelle est de profiter des compétences des équipes dans les deux domaines afin d’avoir une vision globale du problème.

Modélisation physique de la diffraction d’ondes électromagnétiques

Équation différentielle régissant la propagation d’une onde électromagné-tique

Les équations de Maxwell régissent le comportement des ondes électromagnétiques et l’équa-tion d’onde est à la base des modèles analytiques généralement utilisés en tomographie de diffraction. L’équation d’onde, obtenue en combinant les équations de Maxwell, permet de lier le champ électromagnétique aux propriétés diélectriques du milieu qu’il traverse. Dans la suite de ce manuscrit, l’équation d’onde dans le domaine fréquentiel sera utilisée. Ce choix s’explique par le fait qu’en TMO, il est avantageux de travailler à une fréquence fixe. En effet, cela permet de simplifier l’expression du modèle direct. De plus, comme les propriétés diélectriques des objets dépendent généralement de la fréquence de l’onde d’excitation, se placer dans le domaine harmonique permet de ne considérer les propriétés des objets qu’à la fréquence d’étude. Dans le cadre de l’inversion, cela permet donc de réduire le nombre d’in-connues. Bien que certaines méthodes de reconstruction utilisent une approche temporelle (Li et al., 2005; Takenaka et al., 2003; Ali et Moghaddam, 2010), les méthodes s’appuyant sur une formulation fréquentielle sont bien plus répandues.

Solution intégrale de l’équation d’onde dans un milieu homogène

Il existe de nombreux modèles numériques en tomographie micro-ondes. Nous verrons dans la section suivante que la discrétisation d’un modèle continu s’appuie sur une formulation du problème physique choisie en conséquence. En TMO, deux grandes familles de méthodes cohabitent : les méthodes dites différentielles et les méthodes dites intégrales. Les méthodes différentielles sont basées sur la discrétisation de l’équation différentielle d’onde (2.1) et les méthodes intégrales s’appuient sur la solution intégrale de l’équation d’onde, autrement ap-pelée Eletric Field Integral Equation (EFIE). Ces deux classes de méthodes ont chacune leurs avantages et inconvénients que nous détaillerons dans la section suivante. Dans cette thèse, nous avons fait le choix d’une approche intégrale ; nous justifierons ce choix plus tard. C’est la raison pour laquelle nous présentons ici la formulation intégrale utilisée en TMO.

Table des matières

CHAPITRE 1 INTRODUCTION GÉNÉRALE
1.1 La tomographie micro-ondes (TMO)
1.2 Méthodes de reconstruction en TMO
1.3 Difficultés et objectifs de recherche
1.3.1 Optimiser le nombre de systèmes linéaires
1.3.2 Accélérer la résolution des systèmes linéaires
1.3.3 Étudier l’effet de la troncature et améliorer la convergence
1.4 Plan de la thèse
1.5 Cadre du travail
CHAPITRE 2 LE MODÈLE DIRECT
2.1 Modélisation physique de la diffraction d’ondes électromagnétiques
2.1.1 Équation différentielle régissant la propagation d’une onde électromagnétique
2.1.2 Solution intégrale de l’équation d’onde dans un milieu homogène
2.1.3 Équations intégrales en TMO
2.2 Discrétisation du modèle physique et formulation matricielle
2.2.1 État de l’art des différentes approches de discrétisation des équations électromagnétiques
2.2.2 Discrétisation des équations intégrales par la méthode des moments
2.3 Implémentation du problème direct
2.3.1 Résolution du système linéaire
2.3.2 Multiplication par Lx : comment réduire l’espace mémoire
2.4 Validation du modèle direct
2.4.1 Comparaison à la solution analytique de Mie
2.4.2 Comparaison aux données réelles de l’Institut Fresnel
2.5 Conclusion
CHAPITRE 3 MÉTHODES D’INVERSION EN IMAGERIE MICRO-ONDES
3.1 L’imagerie micro-ondes
3.2 L’inversion vue comme un problème d’optimisation
3.2.1 Formulation bilinéaire
3.2.2 Formulation non-linéaire
3.3 La régularisation
3.3.1 Régularisation “`2`1”
3.3.2 Régularisation additive ou multiplicative ?
3.4 Les algorithmes d’optimisation utilisés
3.5 Calcul du gradient pour le critère non-linéaire
3.6 Conclusion
CHAPITRE 4 ÉTUDE ALGÉBRIQUE DU GRADIENT ET RÉDUCTION DU NOMBRE DE SYSTÈMES LINÉAIRES
4.1 Mise en oeuvre du calcul du jacobien
4.1.1 L’état adjoint pour le calcul du jacobien
4.1.2 Équivalence entre l’état adjoint et la formulation matricielle du jacobien
4.2 Mises en oeuvre du calcul du gradient
4.2.1 Mise en oeuvre directe
4.2.2 Mise en oeuvre adjointe du jacobien
4.2.3 Choix de la formulation en fonction du montage d’imagerie
4.3 Théorème de réciprocité de Lorentz
4.4 Procédure finale d’optimisation du nombre de systèmes
4.5 Exemple de configurations présentes dans la littérature
4.5.1 Montage générique d’acquisition
4.5.2 Montage simulé de Zhang et Liu (2015)
4.5.3 Configuration d’acquisition des données Fresnel
4.6 Conclusion
CHAPITRE 5 APPROCHES ITÉRATIVES PAR BLOCS POUR LA RÉSOLUTION DE SYSTÈMES MULTIPLES
5.1 Les approches de résolution de systèmes par blocs
5.2 Adaptation de l’approche Block-BiCGStab pour une application en TMO
5.2.1 L’algorithme Block-BiCGStab
5.2.2 Réglage des paramètres du Block-BiCGStab pour une application en TMO
5.2.3 Résultats justifiant le réglage de l’initialisation
5.3 Amélioration du Block-BiCGStab pour une architecture multi-coeurs
5.3.1 L’approche Partial-Block BiCGStab
5.3.2 Réglages des paramètres de l’algorithme Partial-Block BiCGStab
5.3.3 Effet des réglages du Partial-Block BiCGStab sur la convergence
5.4 Exploitation des approches par blocs dans le processus d’inversion
5.5 Évaluation des coûts de calcul des différents algorithmes pour la résolution de problèmes directs
5.5.1 Influence du contraste
5.5.2 Influence de la fréquence
5.5.3 Influence du nombre de systèmes à résoudre
5.5.4 Effet de l’architecture multi-coeurs
5.6 Évaluation des approches pour la reconstruction
5.6.1 Procédure de reconstruction
5.6.2 Résultats de reconstruction
5.6.3 Comparaison des coûts de reconstruction selon les approches
5.7 Conclusion
CHAPITRE 6 VALIDATION DE NOTRE ALGORITHME D’INVERSION SUR DONNÉES RÉELLES
6.1 Présentation de la base de données de l’Institut Fresnel
6.1.1 La configuration du montage d’acquisition
6.1.2 Les objets de la base
6.2 Mise en oeuvre de notre algorithme de reconstruction
6.2.1 Réciprocité de Lorentz et polarisations utilisées
6.2.2 Volume d’étude et discrétisation
6.2.3 Procédure par saut de fréquence
6.3 Résultats de reconstruction
6.4 Comparaison des coûts de calcul des différentes approches
6.5 Conclusion
CHAPITRE 7 VERS UNE GESTION EFFICACE DES EFFETS DE LA TRONCATURE SUR LA COHÉRENCE ENTRE LE CRITÈRE ET LE GRADIENT
7.1 Mise en évidence de l’effet de la troncature sur la convergence de l’algorithme d’optimisation
7.2 Expression du champ total dans un sous-espace
7.2.1 Expression du champ
7.2.2 Choix d’un sous-espace
7.3 Définition du nouveau critère et calcul du gradient
7.3.1 Critère approché
7.3.2 Gradient correspondant au critère approché
7.3.3 Vérification du gradient pour B inversible
7.3.4 Étude de la variation du critère selon la direction du gradient
7.4 Conclusion
CHAPITRE 8 CONCLUSION ET PERSPECTIVES
8.1 Synthèse des travaux
8.1.1 Réduction du nombre de systèmes linéaires
8.1.2 Accélération des résolutions de systèmes
8.1.3 Validation de l’algorithme de reconstruction sur des données expérimentales
8.1.4 Cohérence entre le critère et le gradient
8.2 Limitations des solutions proposées
8.3 Améliorations futures et pistes de recherche
8.3.1 Étude de la formulation cohérente du gradient
8.3.2 Études complémentaires de l’approche Partial-Block BiCGStab
8.3.3 Approches de parallélisation de l’algorithme Block-BiCGStab
8.3.4 Comparer notre algorithme de reconstruction à d’autres algorithmes fréquents en TMO
8.3.5 Élargir le champ des applications
RÉFÉRENCES
ANNEXES
A.1 Discrétisation de l’équation du domaine
A.2 Discrétisation de l’équation d’observation
B.1 Expression algébrique du gradient
B.2 Expression du jacobien
C.1 Rappel du critère approché
C.2 Calcul du gradient cohérent

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