Modelisation numerique de l’ecoulement stationnaire dans un milieu poreux fissure infini

Pendant les deux dernières décennies, l’écoulement des fluides et le transport des matières dans des milieux poreux fissurés ou des massif rocheux fracturés ont été intensivement étudiés en raison des exigences des applications industrielles importantes telles que : le stockage des déchets radioactifs, le stockage géologique du CO2, les réservoirs pétroliers, la géothermie, etc. Toutefois, la détermination de la perméabilité effective de la formation géologique fracturée est encore l’un des défis auxquels sont confrontés les géomécaniciens et les géotechniciens. L’approche continue classique consiste à considérer un milieu hétérogène ou fissuré comme un milieu homogène équivalent avec des propriétés macroscopiques obtenues par des essais in-situ ou en laboratoire. Le modèle de réseau de fractures discrets (Discrete Fracture Network, DFN) est une approche puissante pour simuler l’écoulement dans des réservoirs naturels fracturés [31, 14, 86, 53, 46, 50, 58, 98, 126, 175, 17, 18]. Le DFN a été introduit dans plusieurs logiciels commerciaux tels que UDEC (Itasca) [85] et Fraca [13]. Dans ces travaux, l’écoulement est considéré unidimensionnel dans le réseau des fissures dans lesquelles des canaux 1D sont créés sur la surface des fissures dans le cas 3D [182]. D’autres travaux ont été consacrés à résoudre les équations d’écoulement plan (2D) dans le réseau des fissures 3D [91, 116, 117, 118, 77, 119, 120]. Néanmoins, l’hypothèse implicite dans le modèle DFN qui ne considère que l’écoulement dans un réseau des fissures est que la perméabilité de la matrice est négligeable. Une approche commune pour dépasser cette limite est le modèle « double porosité/double perméabilité » qui a d’abord été proposé par Barenblatt et al. [11] dans lequel la fissure et la matrice poreuse sont considérées comme deux continuums interactifs. Un résumé des versions de ce modèle peut être consulté dans Jafari et Babadagli [86].

Différentes techniques numériques telles que la méthode des éléments finis [9, 61, 188, 92] et la méthode des volumes finis [37, 5, 70, 16, 115] ont été utilisées afin de résoudre les équations de l’écoulement dans un milieu poreux fissuré. L’utilisation de ces méthodes de discrétisation de volume nécessite un outil numérique pour générer automatiquement un maillage adapté au domain fissuré. Quelques œuvres se sont concentrées à développer des mailleurs tels que : Pouya et Ghoreychi [137] pour un milieu poreux fissuré 2D ; Koudina et al. [91] ; Mutsapha [120] pour un réseau de fissures 3D et Bogdanov et al. [16] pour un milieu poreux fissuré 3D.

A l’opposé, la méthode des équations intégrales singulières présente l’avantage important de réduire la dimension du problème. Toutefois, il y a eu rarement de travaux abordant cette approche afin d’étudier l’écoulement dans un milieu poreux fissuré car quelques obstacles pour la formulation mathématique subsistaient. Récemment, quelques développements ont permi d’avancer sur cette question sur les plan théorique et numérique et ont abouti à des résultats intéressants .

Modélisation bidimensionnelle de l’écoulement stationnaire dans un milieu poreux fissuré infini

La méthode des éléments finis est efficace pour résoudre les problèmes physiques dans des domaines finis, mais moins pratique pour les domaines infinis ou du moins nécessitant dans ce cas des éléments spécifiques. Par contre, la méthode des équations intégrales est une alternative efficace largement utilisée pour les problèmes infinis ou semi-infinis [25, 20, 26]. L’équation (24) gouverne l’écoulement stationnaire dans un milieu poreux bidimensionnel infini Ω, contenant plusieurs fissures j . Le milieu Ω, ayant la perméabilité uniforme k, est soumis à un champ lointain p∞(x)= A.x. En remplaçant q(s) dans (24) par son expression dans (5), une équation intégro-différentielle est obtenue. En considérant les points x localisés sur les fissures, cette équation permet, dans un premier temps, de déterminer la pression sur l’ensemble des fissures par la méthode des équations intégrales singulières et puis le débit dans les fissures par l’équation (5). Dans un deuxième temps, l’équation intégrale (24) est utilisée encore, avec q(s) connu, afin de calculer la pression en un point arbitraire dans la matrice poreuse. La perméabilité effective est déterminée, dans un dernier temps, en utilisant le débit dans les fissures et la pression dans le milieu. Par ailleurs, la solution numérique de q(s) dans une fissure isolée est un paramètre clé en vue de déterminer la perméabilité effective en utilisant le schéma d’homogénéisation.

Le principe général de la résolution d’une équation intégrale singulière par la méthode de collocation est trouvé dans Brebbia et Dominguez [25] et Bonnet [20]. Dans cette section, nous avons proposé un choix particulier de points de collocation et de fonctions d’interpolation. Ce choix permet d’obtenir des expressions analytiques pour les intégrales élémentaires qui conduisent à une méthode de résolution numérique rapide et efficace.

Points de collocation et intégrales élémentaires
La méthode de collocation consiste à imposer l’équation (24) à un nombre fini de points appelés points de collocation. L’ensemble des nœuds utilisés pour la discrétisation de la géométrie, choisis comme des points de collocation, est le choix le plus simple dans la plupart des études dans la littérature. Toutefois, nous pouvons proposer une autre façon de choisir les points de collocation qui permet de déterminer facilement l’expression analytique des intégrales élémentaires dans ce travail.

Implémentation numérique

L’outil numérique développé en 2D comporte quatre phases principales : génération des fissures, prétraitement, résolution du système et post-traitement. Nous avons choisi d’utiliser le logiciel GID [62] afin de générer le maillage et de visualiser le résultat dans la deuxième et la quatrième phase. Ainsi, les outils numériques propres sont développés pour la première et la troisième phase. Il est évident que le fonctionement des codes développés est indépendant du mailleur. Ainsi, ces codes peuvent être adaptés à tout autre mailleur capable à générer des maillages appropriés.

La procédure numérique nécessite d’abord les données d’entrées qui sont la perméabilité de la matrice et les paramètres des fissures comprenant la géométrie et l’ouverture hydraulique. La géométrie des fissures peut être décrite par des modèles déterministes [90] ou des modèles stochastiques [60, 31, 14, 105]. L’approche stochastique du réseau des joints s’est basée sur un modèle probabiliste hiérarchique qui reproduit de façon réaliste la configuration des fissures en utilisant un minimum de données telles que le nombre des familles des fissures, les distributions de la longueur, de l’orientation, de l’ouverture des fissures pour chaque famille. Grâce à sa flexibilité, l’approche stochastique est souvent utilisée en pratique afin de modéliser l’écoulement dans les réservoirs fracturés. Un outil numérique, appelé « GENEFIS », est développé pour générer un réseau des fissures dans un milieu infini. Cet outil permet de générer un réseau de fissures dans deux cas différents : une distribution isotrope de l’orientation des fissures et le modèle développé dans Maleki et Pouya [105]. Dans le deuxième cas, nous considérons pour chaque famille de fissure : une distribution exponentielle de la longueur entre la longueur maximale et la longueur minimale ; une distribution isotrope de l’orientation entre θmax et θmin; et une distribution isotrope de la position du centre des fissures. Le résultat sorti par « genefis » est un fichier, écrit sous un format approprié pour GID, contenant tous les informations des fissures.

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Table des matières

INTRODUCTION GENERALE
CHAPITRE 1. DEVELOPPEMENTS FONDAMENTAUX SUR L’ECOULEMENT DANS UN MILIEU POREUX FISSURE INFINI
1.1 INTRODUCTION
1.2 PROBLEME BIDIMENSIONNEL
1.2.1 Equations générales de l’écoulement 2D
1.2.2 Solution théorique de l’écoulement dans un milieu poreux fissuré infini 2D
1.3 PROBLEME TRIDIMENSIONNEL
1.3.1 Equations générales de l’écoulement 3D
1.3.2 Solution générale du potentiel 3D
1.4 PROBLEME DE FISSURE SOUS FORME DE DISQUE ELLIPTIQUE
1.4.1 Champ d’infiltration dans la fissure
1.4.2 Champ de pression dans la matrice
1.4.3 Extension au milieu anisotrope
1.4.4 Comparaison entre la fissure de Poiseuille et l’inclusion de Darcy
1.5 CONCLUSION
CHAPITRE 2. MODELISATION NUMERIQUE DE L’ECOULEMENT STATIONNAIRE DANS UN MILIEU POREUX FISSURE INFINI
2.1 INTRODUCTION
2.2 MODELISATION BIDIMENSIONNELLE DE L’ECOULEMENT STATIONNAIRE DANS UN MILIEU POREUX FISSURE INFINI
2.2.1 Méthode de résolution numérique 2D
2.2.2 Solution numérique de l’écoulement stationnaire dans un milieu poreux fissuré infini 2D
2.3 MODELISATION TRIDIMENSIONNELLE DE L’ECOULEMENT STATIONNAIRE DANS UN MILIEU POREUX FISSURE INFINI
2.3.1 Méthode de résolution numérique 3D
2.3.2 Validation de la solution numérique
2.3.3 Solution numérique de l’écoulement dans un milieu poreux fissuré infini 3D
2.4 CONCLUSION
CHAPITRE 3. APPLICATION AU CALCUL DE LA PERMEABILITE EFFECTIVE D’UN MILIEU POREUX FISSURE SATURE
3.1 INTRODUCTION
3.2 PERMEABILITE EFFECTIVE D’UN MILIEU POREUX FISSURE
3.3 DETERMINATION THEORIQUE DE LA PERMEABILITE EFFECTIVE
3.3.1 Milieu poreux fissuré 2D contenant des fissures super-conductrices
3.3.2 Milieu poreux fissuré 3D contenant des fissures super-conductrices
3.4 DETERMINATION SEMI-ANALYTIQUE DE LA PERMEABILITE EFFECTIVE
3.4.1 Modèle semi-analytique de la perméabilité effective 2D
3.4.2 Modèle semi-analytique de la perméabilité effective
3.5 CONCLUSION
CHAPITRE 4. EXTENSIONS THEORIQUES
4.1 ECOULEMENT STATIONNAIRE DANS UN MILIEU POREUX FISSURE FINI 2D
4.1.1 Introduction
4.1.2 Formulation d’intégrale de frontière de l’écoulement stationnaire
4.1.3 Résolution numérique
4.1.4 Exemples numériques
4.1.5 Conclusion
4.2 PERMEABILITE EFFECTIVE D’UN MILIEU POREUX FISSURE NON-SATURE
4.2.1 Introduction
4.2.2 Un seule fissure vide dans une matrice infinie
4.2.3 Une fissure partiellement saturée dans une matrice infinie
4.2.4 Une fissure seule partiellement saturée dans un milieu anistrope
4.2.5 Perméabilité effective d’un milieu poreux fissuré non saturé
4.2.6 Modélisation par éléments finis
4.2.7 Conclusion
CONCLUSION GENERALE