Soutenance mémoire
L’automatique repose sur la notion de systèmes, représentant un ensemble d’objets ou de phénomènes liés entre eux et isolés artificiellement du monde extérieur. L’un des enjeux de l’automatique est de proposer un contrôleur adapté au système à piloter garantissant la réalisation de la tâche souhaité. De nombreuses approches, pour les systèmes continus, ont été proposées pour la synthèse de lois de commande et peuvent être classées en deux catégories dites « linéaires » où « non linéaire ».
❖L’automatique linéaire considère le fonctionnement du système autour d’un point de fonctionnement donné. La synthèse d’une loi de commande linéaire se base alors sur une théorie bien maîtrisée mais ne garantit pas la stabilité du système sur tout l’espace d’état.
❖L’automatique non linéaire repose quant à elle sur des outils plus complexes et qui nécessitent parfois de nouveaux développements théoriques. L’objectif est de garantir la stabilité des systèmes pour lesquels le cas linéaire n’est pas adapté, notamment lorsqu’il s’agit de traiter des problèmes de stabilité ou d’asservissement sur une plus large région de l’espace d’état.
Lors de l’étape de modélisation, le défi de l’automaticien est de proposer un modèle de connaissance capable de représenter fidèlement les phénomènes physiques rencontrés. Dans ce contexte, il peut être intéressant de tenir compte des imprécisions et incertitudes de modélisation pour pouvoir assurer les performances désirées par le biais de la synthèse de lois de commande robustes [Zhou et Doyle, 1998]. Notons par ailleurs qu’un modèle trop simplifié est souvent loin de la réalité et par conséquent considéré comme « faux », alors qu’un modèle trop détaillé peut être inexploitable avec les outils actuels d’analyse des systèmes. Ainsi, la prise en compte d’incertitudes pour la stabilisation des systèmes non linéaires constitue un compromis entre complexité et validité de la solution et conduisent à une alternative intéressante pour la commande des systèmes complexes. En effet, l’hypothèse de linéarité des relations entrées sorties d’un système permet d’élaborer simplement un modèle approximant son comportement. Ce type de modèles a été largement étudié dans différents contextes : l’identification, l’estimation d’état, la commande et le diagnostic. Cependant, de tels modèles ne permettent la représentation du comportement d’un système qu’autour d’un point de fonctionnement donné, l’hypothèse de linéarité n’étant vérifiée que dans une zone restreinte de l’espace de fonctionnement. Sachant que les systèmes réels sont de nature non linéaire, les systèmes de commande et de diagnostic développés sur la base de modèles linéaires fournissent des performances dégradées dès qu’on s’éloigne du point de fonctionnement.
Une manière élégante de représenter un système non linéaire repose sur une représentation multi-modèle. Celle-ci consiste en une collection de systèmes linéaires interconnectés par des fonctions non linéaires. Plusieurs catégories de multi-modèles existent dans la littérature, notamment les systèmes Linéaires à Paramètres Variant dans le temps (LPV) [Henrion et Garulli , 2004] [Zerar et al., 2009] ou les systèmes quasi LPV, encore appelés systèmes Takagi-Sugeno (T-S) [Takagi et Sugeno, 1985]. Notons que ces derniers possèdent une propriété d’approximation universelle des systèmes affines en la commande et présentent l’avantage de pouvoir représenter de manière exacte un modèle de connaissance non linéaire sur un compact de l’espace d’état [Tanaka et Wang, 2001]. Ainsi, l’intérêt majeur de ce type d’approche est qu’elle permet d’étendre de nombreux concepts théoriques de l’automatique linéaire au cas des systèmes non linéaires.
L’intérêt suscité par les méthodes de modélisation sous forme de multi-modèle T-S a été largement démontré. Par ailleurs, il apparaît clairement que la prise en compte d’incertitudes conduirait à une généralisation des résultats applicables à une plus large classe de systèmes physiques. C’est dans ce contexte que s’inscrivent les travaux de recherche de cette thèse visant aussi bien à proposer qu’à étendre des méthodologies de synthèse de lois de commande pour les systèmes T-S incertains et perturbés. Parmi les études concernant l’estimation des multimodèles, la plupart de ces travaux sont dédiés à l’estimation d’état des multimodèles à Variables de Décision Mesurables (VDM), et plus particulièrement représentés par les variables d’entrée et de sortie du système. Malheureusement, dans beaucoup de situations, ces variables de prémisse sont les variables d’état, dont les mesures ne sont pas toujours disponibles. Seulement quelques résultats [Ichalal, 2009; Yoneyama, 2009] sont dédiés à l’exploitation de ces modèles pour l’estimation. Ceci nous a motivés pour étudier ce dernier type de systèmes, quelques résultats étant proposés au cours de cette thèse.
Présentation de la structure multimodèle
Dans le domaine de l’automatique, la prévision, la commande ou la surveillance constituent des thèmes de recherche qui nécessitent l’élaboration de modèles ayant des structures particulières. Différentes structures de modèles non linéaires sont souvent utilisées, comme par exemple : les modèles à blocs structurés (Hammerstein et Wiener par exemple) [Gómez and Baeyens, 2005], les réseaux de neurones, les modèles flous, les séries temporelles, de Volterra, etc. Chacune de ces structures de modèles présente des avantages et des inconvénients. La capacité d’adapter des outils théoriques d’analyse et de synthèse afin d’obtenir une théorie unique, générale et exhaustive s’avère limitée pour chacune des structures. Néanmoins, les outils existants pour l’étude pratique des modèles non linéaires complexes sont eux aussi limités [Leith et Leithead, 1999]. En conséquence, le compromis entre l’exactitude d’un modèle utilisé et sa simplicité de manipulation dans la pratique a toujours été une tâche assez difficile à accomplir. Le concept ayant le nom générique de multimodèle (MM) permet de répondre en large partie à cette demande. En effet, ce concept est basé sur le principe de division d’un phénomène afin de pouvoir l’utiliser et l’interpréter plus facilement. Appelé “diviser pour régner” dans [Leith et al., 2002], le principe de l’approches MM est largement répandu dans divers domaines tels que l’économie, la statistique, la physique, etc.
Multimodèle de Takagi-Sugeno (T-S)
Les modèles flous de type Takagi-Sugeno sont représentés dans l’espace d’état par des règles floues de type « Si –Alors » [Takagi et Sugeno, 1985]. Les parties prémisses de ces règles floues sont représentatives de l’univers du discours sur lequel le modèle flou est valide et, les parties conclusions correspondent peut être à des modèles locaux invariants dans le temps (représentations d’état linéaires). A titre d’exemple, ce type de modèle flou s’avère utile pour la représentation des systèmes non linéaires tels que les systèmes électriques, chaotiques, etc.
Obtention des modèles flous de type Takagi-Sugeno (T-S)
Dans la littérature, il existe trois approches permettant le passage d’un modèle non linéaire affine en la commande à un modèle T-S. Ces approches visent à représenter les systèmes non linéaires complexes sur un large domaine de fonctionnement. Ces différentes approches sont :
❖ approche par identification [Gasso et al., 1999][Gasso et al., 2000]. Les mesures acquises sur les entrées et les sorties du système permettent l’identification des paramètres des modèles locaux autour des différents points de fonctionnement préalablement définis. Dans ce cas, le problème d’identification du modèle non linéaire se réduit à l’identification des modèles locaux (sous-modèles) LTI. Notons que, cette méthode est souvent utilisée dans le cas des systèmes dotés d’une dynamique difficile à décrire à l’aide d’un modèle analytique.
❖ approche par linéarisation [Ma et al., 1998][Tanaka et Wang 2001]. Le principe de cette méthode consiste à linéariser le système non linéaire autour d’un ensemble fini de points de fonctionnement judicieusement choisis, conduisant à un nombre défini de modèles LTI. L’obtention d’un représentant T-S dans ce cas, est réalisé par l’interconnexion de ces modèles LTI à l’aide des fonctions d’appartenance non linéaires judicieusement choisies (gaussiennes, triangulaires, trapézoïdales,…etc.).
❖ approche par secteur non linéaire. Cette méthode a été initiée par [Kawamoto et al.,1992] et étendue par [Tanaka et Wang, 2001] et [Morère, 2001]. Le principe de celle-ci est basé sur une transformation polytopique convexe des termes non linéaires d’un système dynamique.
Dans la suite de ce manuscrit, l’intérêt est porté sur la troisième méthode, puisqu’elle présente des avantages du point de vue précision et connaissance des fonctions d’appartenance assurant l’interconnexion des modèles locaux LTI. En effet, l’approche par secteur non linéaire par rapport à l’approche par linéarisation permet, d’une part, de minimiser l’erreur lors du passage du modèle analytique non linéaire au modèle T-S, d’autre part d’optimiser le nombre de modèles locaux. Il convient de souligner qu’il peut s’avérer difficile de trouver un secteur global pour un système non linéaire quelconque. Dans ce cas, il est nécessaire de considérer un secteur non linéaire local.
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Table des matières
Introduction générale
Chapitre 1 Généralités et position du problème
1.1 Introduction
1.2 Présentation de la structure multimodèle (MM)
1.2.1 Multimodèle de Takagi-Sugeno
1.2.2 Obtention des modèles flous de type Takagi-Sugeno (T-S)
1.2.3 Stabilité des modèles Takagi-Sugeno (T-S)
1.3 Estimation d’état
1.3.1 Généralité
1.3.2 Observateur pour les systèmes de Takagi-Sugeno
1.3.2.1 Variable de décision mesurable (VDM)
1.3.2.2 Variable de décision non mesurable (VDNM)
1.4 Commande tolérante aux défauts
1.4.1 Introduction
1.4.2 Classification des approches FTC
1.5 Motivation et position du problème
1.6 Conclusion
Chapitre 2 Commande tolérante aux défauts des systèmes Takagi-Sugeno incertains et perturbés
2.1 Introduction
2.2 Commande tolérante aux défauts par poursuite de trajectoire
2.2.1 Définition des modèles T-S incertains et perturbé (TSIP)
2.2.2 Stratégie de commande tolérante aux défauts
2.2.3 Objectif
2.2.4 Variable de décision mesurable
2.2.4.1 Variable de prémisse non défectueux
2.2.4.2 Variable de prémisse défectueux
2.2.5 Variable de décision non mesurable
2.3 Conclusion
Chapitre 3 Application à une station d’épuration
3.1 Introduction
3.2 Description du procédé d’épuration d’eaux
3.2.1 Le procédé d’épuration par boues activées
3.2.2 Modélisation du procédé
3.2.3 Écriture du modèle ASM1
3.3 Analyse de sensibilité
3.3.1 Introduction
3.3.2 Modèle ASM1 réduit
3.3.3 Analyse de sensibilité du modèle ASM1 réduit
3.3.4 Linéarisation du modèle ASM1 réduit
3.4 Approche MM pour la commande tolérante aux défauts
3.4.1 Modèle ASM1 réduit
3.4.2 Obtention d’un MM de type T-S pour le modèle ASM1 réduit
3.4.3 Commande tolérante aux défauts pour le modèle ASM1 réduit
3.5 Conclusion
Chapitre 4 Commande prédictive floue sous contraintes « Approche LMI »
4.1 Introduction
4.2 Commande prédictive
4.2.1 Position du problème
4.2.2 Etat de l’art de la stabilité des MBPC
4.3 La stratégie proposée
4.3.1 La transformation sous forme LMI
4.4 Application
4.4.1 Mise sous forme multimodèle
4.4.2 Commande prédictive MBPC stabilisante
4.5 Conclusion
Conclusion générale
