Modelisation mathematique etformulation numerique

Les écoulements des fluides dans les conduites ont fait l’objet de très nombreux travaux aussi bien sur le plan expérimental, théorique que numérique. Cela s’explique par leur importance dans plusieurs domaines, notamment dans les domaines industriel ( injecteurs diphasiques tels que les moteurs automobiles et aéronautiques, réacteur nucléaire, turbopropulseur, diffusion d’un traceur dans un fluide entre les composants électroniques compacts) , médical (prolifération des bactéries, circulation sanguine, . . .), domestique (circuits hydrauliques dans les habitations, …), dans les phénomènes naturels comme la circulation de la sève dans les végétaux et les mécanismes de transport dans les systèmes biologiques ( le contrôle des niveaux de concentrations et la régulation des flux de matière, le fonctionnement d’organes artificiels tels que les machines de dialyse du rein, les cœurs, les foies, les oxygénateurs à membrane : poumon artificiel) . On s’aperçoit donc très vite qu’ils peuvent donner naissance à des phénomènes très complexes et que leur modélisation n’est pas aisée.

Vraisemblablement, c’est le physiologiste français Jean L. M. Poiseuille (1797-1869) qui le premier dégagea en 1844 une loi heuristique sur les écoulements visqueux en régime laminaire dans les tubes capillaires, loi qui sera plus tard exprimée sous sa forme théorique par l’allemand Hagen (1860) mais d’une manière très approximative. Par la suite, Osborne Reynolds (1842-1912) un ingénieur irlandais qui fit d’importantes contributions à l’hydrodynamique et à la dynamique des fluides, dans une expérience devenue aujourd’hui classique mais incontournable en écoulement dans les conduites, caractérisa les différents régimes d’écoulement selon les valeurs d’un nombre adimensionnel qui porte aujourd’hui son nom.

Cependant il faut attendre le XXIème siècle, avec la convergence de connaissances mathématiques et expérimentales et l’utilisation de calculateurs de plus en plus puissants, pour que soient véritablement abordés des problèmes aussi complexes que les écoulements dans des tuyaux cylindriques, et que soient expliquées les différences entre les écoulements laminaires – étudiés par J. L. M. Poiseuille- et turbulents. Ces domaines d’études, ainsi que les problèmes de couche limite développés par l’allemand L. Prandtl ou ceux d’écoulements turbulents traités par Osborne Reynolds en 1883 et Von Théodore Karman (1881-1963), font aujourd’hui l’objet d’intenses recherches tant sur le plan purement théorique qu’expérimental. Après avoir maîtrisé le problème hydrodynamique tant du point de vue théorique qu’expérimental, les auteurs se sont alors penchés sur les phénomènes de transport en biologie. Des résultats prometteurs ont déjà été obtenus en synthèse d’os, de cartilages, de vaisseaux sanguins, …Les phénomènes de transport jouent un rôle déterminant en ingénierie tissulaire. Ce sont eux qui vont contrôler et limiter la prolifération des cellules au sein du biomatériau.

C’est ainsi qu’en 1883 l’allemand L. Graetz avait fixé comme objectif d’obtenir la distribution de la concentration stable C(r, x) dans un fluide et de calculer pour la même occasion le taux de diffusivité entre fluides dans la paroi. Il arrive à montrer qu’au-delà d’une certaine longueur dite longueur d’entrée le coefficient de diffusion reste constant. De nos jours, le besoin d’améliorer les techniques pour la diffusion des fluides combinée avec les interactions chimiques entre les molécules ou particules et la paroi (membrane) a poussé les chercheurs à mener des recherches dans le but d’étudier la variation de la concentration d’un traceur dans une conduite cylindrique.

C’est dans cette optique que nous avons mené notre travail dont l’objectif est d’étudier numériquement le comportement de la concentration massique d’un fluide visqueux, homogène, isotrope et incompressible à l’intérieur d’une conduite cylindrique d’axe horizontal pour un régime hydrodynamiquement établi.

MODELISATION MATHEMATIQUE ET FORMULATION NUMERIQUE 

Les déplacements d’interfaces via la propagation de fronts apparaissent dans de nombreux domaines, cinétique chimique, pollution, biologie, combustion etc. (C. Besnaci, 2012 ; B. Bradu et al. 2004 ; C. Conan, 2007 ; A. I. F. Hipolito, 2010 ; J. P. Sauty, 1977). Le point commun de l’ensemble de ces études provient des équations qui régissent leur modélisation. En effet, celles-ci sont très proches ce qui implique que, sous certaines conditions, tous ces thèmes peuvent se réduire à un seul système équivalent et plus précisément en l’étude d’un certain type d’équations différentielles appelé système d’advection-diffusion-réaction. Dès lors, on devine que la résolution ou l’étude d’un tel système dans un contexte particulier permet une transposition quasi-immédiate à un autre domaine. Toutefois, même dans un cas simplifié de couplage entre la propagation d’un front, sa forme et les éléments extérieurs, la description rigoureuse de son évolution peut s’avérer trop ardue.

L’évolution du système est donnée en toute rigueur par les équations de Navier-Stokes réactives. Néanmoins on se place dans l’hypothèse de dilution qui consiste à découpler d’une part la dynamique du fluide, d’autre part les concentrateurs des espèces. En d’autres termes les champs dynamiques sont calculés ou paramétrés et sont utilisés comme données connues dans l’équation des traceurs.

L’équation de type parabolique obtenu est discrétisée grâce à un schéma de type «Euler » décentré au premier ordre pour le terme d’advection. Ce faisant nous sommes affranchis de conditions supplémentaires dans la direction longitudinale. Par contre le terme de dispersion a été approché par un schéma centré d’ordre deux. Les conditions de symétrie et la condition aux limites au niveau de la paroi sont approchées par des schémas d’ordre deux ce qui nous permet d’avoir une erreur globale dans la direction radiale de l’ordre deux. Le système algébrique qui approche notre problème continu a été conditionné de telle sorte que dans notre domaine d’étude le système tri- diagonale obtenu présente une diagonale principale fortement dominante. Pour le résoudre nous avons utilisé l’algorithme de Thomas qui repose sur la méthode de double balayage.

Influence du nombre de Peclet Pe
Aux faibles valeurs du nombre de Peclet ( Pe = 20 ) , les courbes donnant les variations de la concentration en fonction du rayon sont quasi- parallèles ce qui montre que ce sont les effets de diffusion qui sont plus importants que ceux du transport . Le fluide étant faiblement entraîné donc les temps de séjour de l’espèce dans la conduite sont plus lents. Lorsque le nombre de Pe augmente  on assiste à de forts gradients de concentration dans la zone contiguë à la paroi et le profil de la concentration à la sortie tend vers un profil de type linéaire caractéristique d’un écoulement établi dans une conduite cylindrique (en l’absence de chute de pression). Lorsque le nombre de Pe augmente, le phénomène de transport prend de plus en plus d’ampleur et arrive à contrecarrer le processus de destruction. C’est ce qui explique que les valeurs des concentrations augmentent avec l’augmentation du nombre de Peclet.

Nous avons analysé dans ce chapitre les influences des nombres de Damköhler, de Peclet et de Thiele sur les distributions de la concentration du traceur. Il ressort des simulations numériques que la zone située vers la paroi est celle où l’on observe les plus grandes valeurs de concentration. Cela montre que les effets de destruction sont plutôt localisés dans la région axiale et que la zone contiguë à la paroi est très sensible à la source interne de production de l’espèce. Lorsque le taux de création augmente de 0 à 1, les maxima des concentrations se déplacent vers la zone voisine de la paroi mais le processus de destruction est encore prépondérant.

Le nombre de Peclet joue un rôle très important car d’un côté son augmentation peut contrecarrer l’effet de destruction de l’espèce et de l’autre il peut contrôler l’action de la source interne de production de l’espèce.

Après avoir posé et décrit notre problème nous avons établi les équations qui nous permettent de suivre le front du traceur qui est advecté et dispersé dans le fluide en écoulement en présence de réactions homogènes et hétérogènes. Dans le but de généraliser le problème et de pouvoir comparer les différents effets, nous avons adimensionnalisé l’équation du bilan de la concentration de notre traceur ainsi que ses conditions aux limites associées ce qui a fait apparaître des grandeurs caractéristiques. En discrétisant l’équation de la concentration grâce à un schéma de type « Euler » décentré au premier ordre pour le terme d’advection nous sommes affranchis de conditions supplémentaires dans la direction longitudinale. Dans le but d’obtenir une erreur globale dans la direction radiale de l’ordre deux, les conditions de symétrie et la condition aux limites au niveau de la paroi sont approchées par des schémas décentrés avec trois nœuds. Le système algébrique approchant notre problème continu a été conditionné de telle sorte que dans notre domaine d’étude le système tri- diagonale obtenu présente une diagonale principale fortement dominante et est résolu grâce à l’algorithme de Thomas.

Table des matières

INTRODUCTION GÉNÉRALE
CHAPITRE I : MODELISATION MATHEMATIQUE ETFORMULATION NUMERIQUE
1. Modélisation mathématique
1.1. Description du système et position du problème
1.2. Adimensionnalisation des équations
1.3. Conditions aux limites adimensionnelles
2. Formulation numérique du problème
2.1. Maillage du domaine
2.2. Discrétisation de l’équation de la concentration
3. Conclusion
CHAPITRE II : ANALYSE DES RESULTATS
1. Conditions de calcul
2. Résultats et interprétations
2. 1. Analyse des influences des paramétres internes
2.1.1.Influence du nombre de Damkohler Da et du taux de création
2.1.2. Influence du nombre de Peclet Pe
2.2. Analyse des influences du paramètre pariétal mT
2.3. Analyse de la dispersion
3. Conclusion
CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES

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