Soutenance mémoire
Modélisation mathématique du neurone
La structure du neurone
Le neurone est un mot issu du grec ancien νυ˜ρoν qui signifie nerf ou fibre. Il fut introduit dans le vocabulaire médical en 1881 par l’anatomiste allemand H.W. Waldeyer. Il désigne aujourd’hui une cellule du système nerveux qui assure la transmission d’un signal bioélectrique appelé influx nerveux et qui permet la communication et le traitement de l’information à partir du cerveau à travers tout le corps. Le nombre de neurones dans le cerveau humain est estimé à 100 milliards. Ils sont capables de créer un réseau complexe, avec parfois plus de 100.000 synapses par neurone. La concentration en neurones peut également être importante dans d’autres organes. Ainsi, le nombre de neurones dans l’intestin est estimé à 200 millions.
A l’instar de toutes les cellules, le corps cellulaire du neurone contient un cytoplasme, un noyau et une membrane plasmique. On rappelle ci-dessous les notions de base sur cette cellule nerveuse qu’est le neurone afin de faciliter la lecture de cette thèse. Mais la littérature est très riche sur ce plan, voir par exemple, et les références qui y sont citées. Commençons ce lexique par :
La membrane cellulaire, appelée aussi membrane plasmique, qui délimite une cellule et sépare le cytoplasme du milieu extérieur. Elle est composée d’une bicouche de lipides. Chaque lipide membranaire est constitué d’une tête polaire hydrophile orientée vers l’extérieur de la membrane et d’une queue hydrophobe orientée vers l’intérieur. L’épaisseur d’une membrane est d’environ 7.5nm. Elle fusionne à quelques endroits, laissant des ouvertures appelées « pores nucléaires », permettant l’échange de molécules entre le cytoplasme et le noyau.
Le cytoplasme désigne le contenu d’une cellule vivante et la région comprise entre la membrane plasmique et le noyau.
Le noyau est une grosse structure entourée d’une double membrane, qui la sépare du cytoplasme. Le noyau contient le génome nucléaire, constitué d’ADN, il est donc indispensable à la vie du neurone.
Les dendrites prolongent le corps cellulaire des neurones. Ils ont pour fonction de recevoir et de conduire l’influx nerveux (signal) provenant d’autres cellules nerveuses, vers le corps cellulaire du neurone. S’il est excité, il enverra alors un influx nerveux par le biais de l’axone, vers un autre neurone, vers un muscle ou un autre type tissulaire. Elles s’opposent à l’axone pour plusieurs raisons :
• les dendrites reçoivent l’influx nerveux, tandis que l’axone le transmet ;
• les dendrites sont nombreuses tandis que l’axone est unique.
L’axone est un long prolongement qui émerge du corps cellulaire du neurone. Il est aussi prolongé par des terminaisons axonales. Sa longueur est variable et peut atteindre plus d’un mètre (par exemple, l’axone du calmar géant). Son extrémité se divise en « branches » qui se connectent à d’autres neurones par l’intermédiaire d’une structure particulière : la synapse. L’axone transmet les messages de notre organisme (une douleur, un mouvement), sous forme de signaux de nature électrique.
La synapse est la zone de connexion permettant la transmission de l’influx nerveux entre deux neurones, ou entre un neurone et un muscle. Il existe deux sortes de synapses :
• les synapses électriques où le signal est transmis électriquement par l’intermédiaire d’une jonction communicante (en anglais gap-junction), qu’on trouve surtout chez les invertébrés et les vertébrés inférieurs, rarement chez les mammifères ;
• les synapses chimiques, très majoritaires chez les mammifères et l’homme, qui utilise des neurotransmetteurs pour transmettre l’information.
Les neurones sont classés selon leur nombre de prolongements, leur forme anatomique, leur fonction et leur type de neurotransmetteurs.
Selon le nombre de prolongements , on distingue des neurones unipolaires (qui n’ont qu’un seul prolongement), bipolaires (qui ont un prolongement afférent et un prolongement efférent) ou multipolaires (qui ont des prolongements multiples : un seul axone, mais de nombreux dendrites).
En ce qui concerne la forme anatomique, on distingue par exemple dans le cerveau, les cellules pyramidales qui se trouvent dans la matière grise ou cortex cérébral ; les cellules en étoile qui se trouvent également dans le cortex cérébral et les cellules de Purkinje, très nombreuses que l’on trouve exclusivement dans le cervelet .
Quant à la fonction, on distingue :
• le neurone efférent qui est aussi appelé neurone moteur. Il transmet des impulsions en direction centrifuge. C’est à dire, le système nerveux central vers la périphérie ;
• le neurone afférent qui est aussi appelé neurone sensitif. C’est une cellule nerveuse qui transporte les influx de la périphérie vers le système nerveux central ;
• l’interneurone est un neurone multipolaire qui établit de multiples connexions entre un réseau afférent et un réseau efférent. Comme les motoneurones, leur corps cellulaire est toujours situé dans le Système nerveux central. La majorité des interneurones sont inhibiteurs et secrètent un neurotransmetteur caractéristique.
L’influx nerveux
L’influx nerveux est le potentiel électrique se déplaçant sur l’axone après que le neurone ait été stimulé. L’excitabilité est la propriété à la base du fonctionnement du neurone. Elle est la capacité à réagir à un stimulus et à le convertir en influx nerveux. La conductivité est la capacité de propagation et de transmission de l’influx nerveux . La transmission de l’influx nerveux se fait des dendrites jusqu’à l’axone. En effet, l’arbre somato-dendritique représente le pôle récepteur du neurone et l’axone (ou collatérales) représente le pôle émetteur du neurone. Notons que cela ne veut pas dire que l’axone ne peut pas jouer le rôle de récepteur. La communication entre neurones se fait grâce :
• aux potentiels d’action conduits au niveau des axones sur de longues distances avec peu de pertes ;
• aux potentiels gradués conduits au niveau des dendrites sur de courtes distances avec des pertes importantes.
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Table des matières
Introduction
I Modélisation mathématique du neurone
1 Physiologie du neurone
1 La structure du neurone
2 L’influx nerveux
2 Modélisation mathématique du neurone
1 Le modèle de Hodgkin-Huxley
2 Le modèle de FitzHugh-Nagumo
II Réseau complexe de neurones modélisé par des EDO de type FitzHughNagumo
3 Dynamique et bifurcations du modèle de FitzHugh-Nagumo
1 Étude des points d’équilibre
2 Existence et direction de la bifurcation de Hopf
4 Synchronisation identique de systèmes d’EDO de type FitzHugh-Nagumo
1 Réseau de neurones
2 Étude de l’attracteur
3 La synchronisation
4 Différentes topologies de réseaux
III Réseau complexe de neurones modélisé par des EDP de type FitzHughNagumo
5 Étude d’un neurone isolé de type FitzHugh-Nagumo
1 Étude mathématique de l’EDP
2 Existence et unicité des solutions
3 Existence d’un attracteur du système
4 Simulations numériques
5 Stabilité des états d’équilibre
6 Existence de travelling wave en dimension 1
6 Synchronisation identique des systèmes de Réaction-Diffusion de type FitzHughNagumo
1 Existence et unicité des solutions
2 Existence d’un attracteur global pour le réseau coplexe
3 Synchronisation identique d’un réseau de n systèmes de réaction-diffusion
4 Effet de l’ajout de la dimension spatiale sur la synchronisation
Conclusion et perspectives
IV Annexes
Bibliographie
