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Modélisation mathématique des systèmes complexes
Qu’est-ce qu’un système complexe ?
Définissons en premier lieu la notion de système, nous reprenons à ce titre deux citations que l’on peut retrouver dans (Cellier 1991) :
— A system is what is distinguished as a system. (Gaines 1979)
— A system is a potential source of data. (Zeigler 1976)
La première citation met en avant le rôle de l’observation dans la création du système. C’est en fonction de ce que l’on souhaite voir qu’implicitement le système se crée. La deuxième citation, quant à elle, nous indique que, potentiellement, nous aurons une source de données avec laquelle confronter notre abstraction du système. De façon générale, un système se définit par rapport à une frontière. Tout ce qui est à l’intérieur de cette frontière est le domaine du système, tout ce qui est en dehors est l’environnement du système. Il y a un échange entre ce domaine et cet environnement au moyen d’entrées vers le domaine et de sorties vers l’environnement. La frontière est conditionnée par l’observation qui est faite sur le système. Autrement dit la création d’un système est liée à ce que l’on souhaite étudier sur celui-ci.
Ainsi, on peut résumer la notion de système à : un système est une abstraction d’un objet réel, décomposé en un ensemble d’éléments contenus dans un domaine délimité par une frontière, la séparant de son environnement, et soumis à une observation qui produit un ensemble de données en sortie . Cette représentation rajoute une notion supplémentaire sur les entrées, en précisant la notion de bruit ou perturbation. Elle rajoute aussi une notion sur les sorties, en faisant la différence entre les variables mesurables du système, notées ici sorties, et les variables cachées à la mesure, notées ici variables d’intérêts. Cette vision des choses nous est plus favorable afin de prendre en compte la stochasticité par la notion de bruit et de prendre en compte la différence entre des états observables du système et des états cachés.
Cette sollication porte le nom d’expérience, tandis que la réponse est enregistrée sous forme de donnée. Nous pouvons relier ces deux éléments en reprenant la définition proposée dans (Cellier 1991) : An experiment is the process of extracting data from a system by exerting it throught its inputs. Ainsi à partir d’un système réel donné et d’une problématique associée, il s’agit de réduire le périmètre de l’ensemble de telle sorte que l’on puisse décrire le problème sous la forme de variables explicatives et de variables expliquées. Si le système étudié est sous l’influence d’un autre système alors on répartira les variables explicatives en deux groupes : les variables d’état du système et les variables de contrôle du système. Ces ensembles de variables constituent le périmètre du système considéré. Une fois que ce dernier est fixé, on peut passer à la modélisation à proprement dite, à savoir quelle est la nature de la relation que l’on souhaite établir entre explicatif et expliqué. Cette relation peut se faire soit en mettant en évidence des corrélations dans la dynamique par le biais des méthodes d’apprentissage automatiques, soit en mettant en évidence un lien de causalité par le biais d’une modélisation prenant en compte les théories scientifiques. C’est que nous verrons respectivement dans les prochaines sous-sections.
Qu’est-ce qu’un modèle mathématique ?
La modélisation scientifique d’un système consiste à simplifier notre vue de ce dernier au moyen des théories scientifiques afin de générer une connaissance nous permettant par la suite de mieux comprendre, définir, classer, ou prédire les évolutions de celui-ci. Ceci est valable quelle que soit la nature du système étudié : matériaux, structure, population, climat, culture végétale, … Cette modélisation peut posséder différents caractéristiques :
— qualitative ou quantitative selon que l’on cherche à réfléchir sur la description générale d’un processus ou aux mesures de celui-ci ;
— statistique ou mécaniste en mettant en place soit des relations de corrélations, en se basant uniquement sur les observations, ou de causalités, en se basant sur les observations et la connaissance des processus sous-jacents du système considéré ;
— déterministe ou stochastique selon que l’on considère le système évoluant de manière déterminée ou aléatoire ;
— évènementiel, discret ou continu en temps selon notre représentation de l’écoulement du temps ;
— discret ou continu en espace selon notre discrétisation de l’espace des états ;
Les simulations des modèles devront être confrontées aux données issues des expériences afin de vérifier l’adéquation entre données réelles et données simulées et ainsi valider et évaluer le modèle. Nous allons par la suite faire rapidement une distinction entre modèle réel et modèle virtuel, avant de voir les spécificités de la modélisation mécaniste en la comparant à la modélisation statistique.
Modéle physique et modèle mathématique
Il nous faut d’abord distinguer la modélisation qui peut être de nature ”physique”, i.e. on reproduit à plus petite échelle et avec un minimum de constituants un système réel. On parlera aussi de maquette. C’est ainsi que l’on procèdait exclusivement pour la création de voitures ou d’avions avant l’arrivé des outils mathématiques et informatiques dans ces industries. Un ensemble de maquettes étaient construites pour être testées en soufflerie afin de vérifier l’aérodynamisme de l’ensemble ou bien subissaient des essais de choc afin de tester la solidité de la structure. Dans le cadre de la biologie, nous parlerons de modèle in vitro ou encore de modèle in vivo pour qualifier une telle modélisation ”physique”.
Toutefois avec l’élaboration des modèles mathématiques, nous pouvons considérer des tests virtuels conduits à partir du calcul (le plus souvent informatiquement désormais) afin de réduire le nombre de maquettes construites, en éliminant virtuellement des constructions peu intéressantes par rapport à un ensemble de critères. Dans le cadre de la biologie, nous parlerons de modèles in silico pour qualifier la modélisation mathématique et informatique.
Modélisation mécaniste, multi-échelle, multi-formalisme, et causalité
La modélisation mécaniste cherche à mettre en relation les différentes variables par un lien de causalité qui est construit sur l’ensemble des théories scientifiques et qui permet notamment de formuler de nouvelles hypothèses de fonctionnements des processus constituant le phénomène global. La simulation des modèles permet d’obtenir des données virtuelles et, par extension, de chercher à optimiser un comportement du système vis à vis de certaines contraintes. L’angle d’approche de cette optimisation détermine le niveau de description et par conséquence la modélisation est bornée par ce que l’on souhaite en faire.
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Table des matières
1 Introduction
1.1 Modélisation mathématique des systèmes complexes
1.1.1 Qu’est-ce qu’un système complexe ?
1.1.2 Qu’est-ce qu’un modèle mathématique ?
1.1.2.1 Modéle physique et modèle mathématique
1.1.2.2 Modélisation mécaniste, multi-échelle, multi-formalisme, et causalité
1.1.2.3 Modélisation guidée par les données, métamodèle, et corrélations
1.1.3 Comment obtenir un modèle mécaniste prédictif et robuste ?
1.1.4 Qu’est-ce qu’une simulation numérique ?
1.1.4.1 Formalismes informatiques dédiés à la modélisation et à la simulation
1.1.4.2 Langages de programmation
1.1.4.3 Architecture des calculateurs
1.1.4.4 Génération de nombres aléatoires
1.1.5 Comment diffuser la connaissance au sein d’une communauté ?
1.1.5.1 Ontologies
1.1.5.2 Standardisation
1.2 Modélisation mécaniste de la croissance des plantes pour l’agronomie
1.2.1 Quel est le rôle de la modélisation mécaniste en agronomie ?
1.2.2 Modélisation mécaniste à l’échelle du champ
1.2.3 Modélisation mécaniste à l’échelle de la plante
1.2.4 Quelles sont les propriétés des données expérimentales en agronomie ?
1.2.5 Quels objectifs afin d’améliorer les systèmes de culture et les itinéraires techniques ?
1.2.5.1 Prévision de rendement
1.2.5.2 Contrôle optimal des cultures
1.2.5.3 Sélection variétale
1.2.6 Bilan
1.3 Problématiques
1.3.1 Contexte
1.3.1.1 Systèmes informatiques pour la modélisation des systèmes complexes
1.3.1.2 Systèmes informatiques pour l’analyse des modèles mathématiques
1.3.1.3 Systèmes informatiques pour le flux des bonnes pratiques de modélisation
1.3.2 Formulation
1.4 Conclusion
2 Modèles, noyau, simulation et langage
2.1 Modèle mathématique
2.1.1 Différentes approches
2.1.2 Représentation d’état
2.1.3 Modèle de Markov caché
2.2 Modèle et noyau informatique
2.2.1 Vers la conceptualisation du modèle et du noyau informatique
2.2.1.1 Première architecture de la plateforme
2.2.1.2 Deuxième architecture de la plateforme
2.2.2 Modèle informatique
2.2.2.1 Première formulation
2.2.2.2 Modularité de la fonction de transition et d’observation
2.2.2.3 Formulation finale
2.2.3 Pourquoi définir un langage dédié ? Quel est son périmètre ?
2.2.4 Vocabulaire, types et signature
2.2.5 Arbre syntaxique abstrait
2.2.6 Langage dédié embarqué en c++11
2.2.7 Manipulation des données du modèle
2.2.8 Manipulation des données d’observation
2.2.9 Entrées-sorties du système
2.3 Simulation
2.3.1 Cube de simulations
2.3.1.1 Pourquoi visualiser l’ensemble sur un cube ?
2.3.1.2 Description du cube
2.3.2 Typologie des simulations
2.3.2.1 Simulation simple
2.3.2.2 Simulation de plusieurs expériences
2.3.2.3 Simulation de Monte-Carlo
2.3.2.4 Simulation régulée par un mécanisme de prédiction-correction
2.3.3 Implémentation
2.4 Simulations et stochasticité
2.4.1 Comment mimer l’aléatoire sur une machine déterministe ?
2.4.1.1 Historique
2.4.1.2 Suite aléatoire et générateur aléatoire
2.4.1.3 Générateurs pseudo-aléatoires
2.4.1.4 Autres types de générateurs (quasi-aléatoire, latin hypercube, …)
2.4.1.5 Distributions et échantillonnage
2.4.2 Différentes stratégies pour la gestion des générateurs
2.4.2.1 Stratégie d’initialisation
2.4.2.2 Génération de n suites à partir de l’extraction de sous-suites d’une suite
2.4.2.3 Tests
2.4.2.4 Visualisation des stratégies
2.4.2.5 Test de corrélation
2.4.2.6 Test de qualité pseudo-aléatoire
2.5 Langage dédié à la modélisation
2.5.1 Historique
2.5.2 Prérequis sur LLVM
2.5.3 Implémentation
2.6 Simulateur externe
2.7 Algorithmes
2.8 Conclusion
3 Analyse quantitative des modèles mécanistes
3.1 Méthodologie générale
3.1.1 Flux de travail général
3.1.2 Typologie des études
3.1.2.1 Études pas à pas
3.1.2.2 Automatisation du pas à pas
3.1.2.3 Automatisation pour la détection de bugs
3.1.2.4 Automatisation pour l’exploration et l’émergence de phénomènes
3.1.2.5 Automatisation pour l’ajustement de la consommation
3.1.3 Analyse de sensibilité
3.1.3.1 Principes généraux et algorithmes
3.1.3.2 Implémentation
3.1.3.3 Bilan
3.1.4 Estimation paramétrique
3.1.4.1 Principes généraux et algorithmes
3.1.4.2 Fréquentiste ou Bayésien ?
3.1.4.3 Assimilation de données
3.1.4.4 Implémentation
3.1.4.5 Bilan
3.1.5 Analyse d’incertitudes
3.1.5.1 Principes généraux et algorithmes
3.1.5.2 Implémentation
3.1.5.3 Bilan
3.1.6 Critères de sélection et de prévision
3.1.6.1 Principes généraux et algorithmes
3.1.6.2 Implémentation
3.1.6.3 Bilan
3.1.7 Bilan
4 Conclusion
