Modélisation géométrique et analyse des singularités sérielles de la machine Verne

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L ESMACHINES A ARCHITECTURE PARALLELES

Les machines à architecture cinématique parallèle (en anglais arallel P Kinematic Machines, PKMs) sont souvent reconnues pour leur grande rigidité structurelle, leur meilleure rapport charge utile / poids, leurs performa nces dynamiques élevées et leur meilleure précision [ Merlet 05, Tlusty 99 et Wenger 99]. Ainsi, ils sont prudemment considérés comme des architectures alternatives attirantes pour des tâches exigeantes telles que l’usinage à grande vitesse [ Weck 02]. La plupart des PKMs existantes peuvent être classé s en deux e familles principales: Les PKMs de la première famille sont munies de vérins reliant la base à la plate-forme mobile tandis que les PKMs de la deuxième famille se caractérisent par des jambes de longu eur fixe qui glissent sur des rails [ Chablat 03 et Pashkevich 05].
Dans la première famille, on distingue généralement les PKMs à six degrés de libertés appelées Hexapodes et les PKMs à trois ddls appelées Tripodes [ Hervé 91 etKong 02]. Beaucoup de protot ypes et de PKMs de type Hexapode existent déjà, comme la machine Hexabot de la société Hexel. Cette machine qui sert de support mobile de pièce est présentée dans la Figure 1. 20. Nous pouvons aussi trouver des architectures hybrides telles que la machine Tricept de Neos Robotics [ Neumann 88]. Cette PKM possède un poignet sériel à deux rotations monté sur un tripode à cinématique parallèle à jambes de longueur variable, avec une jambe passive ( Figure 1. 21).

Espace articulaire et espace opérationnelle

Pour un manipulateur à n degrés de liberté, l’ensemble des variables articulaires motorisées (les entrées) notées définissent la configuration articulaire tan q dis que l’ensemble des coordonnées opérationnelles de position et d’orientation de l’effecteur (les sorties) notées X définissent la configuration de la plate -forme. On définit une relation entre les variables articulaires motorisées et les coordonnées opérationnelles. Cette relation est définie par un opérateur géométrique F tel que :
F(X,q)=0 Nous noterons.
x EAn l’espace articulaire lié aux articulations motorisées(n est le nombre q d’articulations motor isées).
x EOm l’espace opérationnel de dimension m lié à la position et à l’orientation de l’effecteur.

Modèle géométrique inverse

Le modèle géométrique inverse permet de trouver l’ensemble des configurations articulaires possibles pour une configuration donnée de la plate forme mobile. Parfois, il – existe plusieurs solutions au modèle géométrique inverse. Ainsi, nous associons plusieurs postures pour la même configuration de la plate -forme mobile du manipulateur. Un changement de posture revient à changer de solution du modèle géométrique inverse.
La résolution du MGI ne pose généralement pas de problème. Pour calculer le MGI, nous écrivons un système d’équations non linéaires dont chaque équation est associée à une jambe du manipulateur. Chaque jambe est carac térisée par une originei Aet une extrémité iB. La configurationX de la plateforme permet de définir la position des points extrêmes de chaque – jambe. Nous pouvons ainsi écrire le MGI de chaque jambe : iBi = H( A X). Ce modèle est parfois difficile à résoud re, notamment pour les manipulateurs spatiaux et lorsque la structure de leurs jambes est complexe, nous citons à titre d’exemple le cas de la machine Verne dont l’une des jambes est différente des deux autres. Le modèle géométrique inverse de cette machine sera résolu dans le chapitre 2.

Modèle géométrique direct

Le modèle géométrique direct (MGD) permet de trouver l’ensemble des configurations de la plateforme mobile en fonction d’une configuration articulaire donnée. Il existe – généralement plusieurs sol utions au MGD. Il est ainsi possible d’associer plusieurs modes d’assemblage pour les mêmes configurations articulaires. Un changement de mode d’assemblage revient à changer de solution du modèle géométrique direct.
Dans la plupart des cas, l’obtention d’ une solution au MGD correspond à la résolution d’un système d’équations non linéaires ce qui est un problème complexe. La résolution du – MGD est nécessaire pour compléter la boucle d’asservissement pour le système du contrôle du mouvement, c. à–d., le MGD est nécessaire pour indiquer si le point requis dans l’espace de travail a été atteint ou pas.
Les méthodes de résolution du modèle géométrique direct des manipulateurs parallèles diffèrent suivant l’architecture du manipulateur et le type de ses articulati ons. Nous distinguons quatre méthodes, les méthodes analytiques, les méthodes itératives, les méthodes reposant sur l’ajout de capteurs additionnels et les méthodes utilisant les réseaux de neurones .
Il existe trois approches analytiques principalespour résoudre le MGD. La première approche consiste à formuler un système d’équations de contraintes non linéaires, puis à convertir ce système en un polynôme à une inconnue afin de le résoudre simultanément en utilisant une technique numérique comme la méthode de Newton-Raphson [ Waldron 89], [Liu 93]; la deuxième approche consiste à découpler la position et l’orientation, ce qui permet de réduire la complexité du problème et d’accélérer le processus d’obtention de la solution [Innocenti 92]; la troisième approc he utilise les quaternions pour obtenir une solution analytique pour une certaine classe de manipulateurs parallèles de type Hexapode [ Ji 01]. Ces approches analytiques sont limitées à des architectures spéciales de manipulateurs parallèles et ne peuvent p as être appliquées à toutes sortes de manipulateurs.
Dans les approches itératives, le modèle géométrique est formulé afin qu’on puisse le résoudre en utilisant toutes les techniques numériques disponibles, comme par exemple, la méthode de Newton Raphson – [Dieudonne 72 et Merlet 93]; cependant, ces techniques numériques sont coûteuses en temps de calcul et ne garantissent pas l’obtention une solution dans un temps borné.
Une autre approche consiste à installer des capteurs supplémentaires sur le manipulateur [Han 95 et Tancredi 95] dans le but d’obtenir plus d’information sur l’état du manipulateur. Ces capteurs nous permettent de résoudre facilement et rapidement le MGD mais leur coût supplémentaire limite l’intérêt de cette approche.
Une quatrième approche utilise les réseaux de neurones inspirés de la structure du cerveau humain[Parikh 05]. C’est un outil mathématique qui permet d’approximer les relations non –linéaires entre les vecteurs d’entrés et de sorties.

CONFIGURATIONS SINGULIERES

Les manipulateurs parallèles comportent des configurations dites singulières pour lesquelles le comportement du manipulateur se dégrade. Ces configurations peuvent se situer aussi bien à l’intérieur de l’espace de travail que sur ses frontières. Celles situées à l’intér ieur de l’espace de travail sont les plus gênantes pour la génération de trajectoires puisque le manipulateur peut se bloquer dans de telles configurations. Les problèmes suivants peuvent aussi survenir au voisinage de ces configurations singulières :
– Uneaugmentation importante des efforts dans les articulations qui peut endommager la structure du manipulateur;
– Une perte de rigidité du manipulateur qui peut se traduire par une instabilité de son organe terminal lorsque les articulations motorisées sont bloquées.
Pour déterminer les configurations singulières des manipulateurs parallèles, deux approches existent. La première est une méthode analytique fondée sur l’étude des matrices jacobiennes du manipulateur. La seconde est une méthode géométrique utilisant des outils de géométrie tels que la théorie des vis réciproques(Reciprocal Screw Theory), la géométrie de Grassmann et l’algèbre de Grassmann -Cayley.

Approche analytique

L’approche analytique repose sur le travail de Gosselin et Angeles [ Gosselin 90], qui consiste à l’étude de l’Eq. [1. 2] obtenue en différentiant l’Eq. [1.1] par rapport au temps : At + Bq 0 [1.2] Où t >&F @T représente le torseur cinématique de la plate forme du manipulateur (avec – Zest le vecteur des vitesses de rotation et c le vecteur des vitesses de déplacement), q représente le vecteur des vitesses articulaires etet AB sont deux matrices jacobiennes. La matrice A est nommée matrice jacobienne parallèle et la matrice Bmatrice jacobienne sérielle. A partir de l’étude de ces deux matrices, Gosselin a défini trois types de configurations singulières [Gosselin 90] :
– Les singularités parallèles qui sont dues à la perte de rang de la matrice jacobienne parallèleA (lorsque Det( A)= 0). Dans ce cas, l’effecteur peut bouger alors que les articulations motorisées sont bloquées. Le manipulateur gagne ainsi un ou plusieurs degré(s) de liberté;
– Les singularités sérielles qui sont dues à la perte du rang de la matrice jacobienne sérielle B. Dans ce cas, certains déplacements de l’effecteur ne peuvent pas être réalisés et le manipulateur perd un ou plusieurs degré(s) de liberté. Les singularités sérielles représentent aussi les limites de l’espace de travail du manipulateur;
– Les singularités parallèles/sérielles qui sont dues à la perte de rang simultanée de A et B. Dans ce cas, il est possible de déplacer de manière infinitésimale l’effecteur alo rs que les articulations motorisées sont bloquées et inversement; Il existe un autre type de singularités, les singularités structurelles , qui apparaissent pour des dimensions particulières des manipulateurs. Dans ce cas, pour des configurations articulaires particulières, le modèle géométrique direct admet une infinité de solutions c -à-d une infinité de configurations pour la plate -forme mobile.

ESPACE DETRAVAIL

L’espace de travail W définit l’ensemble des configurations accessibles de la plate -forme mobile. Il se caractérise par l’ensemble des positions et orientations accessibles par un repère lié à la plate-forme mobile.
L’espace de travail est un outil précieux pour différentes applications en robotique, il est utilisé pour analyser les performances des robots manipulateurs, pour la conception optimale demanipulateurs, pour le choix de morphologie en fonction d’une tâche déterminée, pour la préparation hors lignedes trajectoires, etc…

Espace de travail et représentation

L’espace de travail dépend de la morphologie et des paramètres géométriques du manipulateur parallèle. Ainsi il peut avoir des formes très v ariées et en général complexes. Il peut être restreint par les singularités d’une part et les butées articulaires d’autre part.
Pour un manipulateur parallèle à six degrés de liberté. La position et l’orientation du repère lié à la plate forme mobile sont – généralement dépendantes. Ainsi, la représentation de l’espace de travail est un volume de dimension six pour lequel il n’existe pas d’illustration possible. On ne peut donc que représenter des sous ensembles de l’espace de travail.
Les différents type d’espace de travail Les différents types d’espace de travail repris de [ Merlet 05] sont:
– Espace de travail à orientation constante ou espace de travail à translation est l’ensemble des positions du point de référence du manipulateur atteignable lorsque l’orientation de la plate -forme est fixe;
– Espace de travail à orientation ou espace de travail à centre fixe est l’ensemble des rotations possibles autour du point de référence lorsque celui occupe une position fixe dans le repère absolu.
– Espace de travail max imal, défini comme l’ensemble des positions du point de référence qui peuvent être atteintes avec au moins une orientation de la plate -forme.
– Espace de travail pour un intervalle d’orientation, défini comme l’ensemble des positions du point de référence qui peuvent être atteintes avec au moins une orientation dans un intervalle donné. L’espace maximal est un cas particulier de l’espace pour un intervalle d’orientation défini entre 0 et 2 S.
– Espace de travail total pour un intervalle d’orientation est l’ensem ble des positions du point de référence qui peuvent être atteintes avec toutes les orientations dans un intervalle donné.
– L’espace de travail dextre est l’ensemble des positions du point de référence pour lesquelles toutes les orientations sont permises. L ’espace de travail dextre est un cas particulier de l’espace total pour un intervalle d’orientation défini entre 0 et 2 S.
– L’espace de travail à orientation réduite est l’ensemble des positions du point de référence qui peuvent être atteintes pour un sous -ensemble des orientations définies dans un intervalle donné, et où les autres orientations peuvent avoir des valeurs arbitraires. Cet espace de travail est important pour les applications qui n’impliquent pas tous les degrés de liberté du robot, comme l’uti lisation d’un robot à sixddls pour une application d’usinage 5 axes.
–Un autre type d’espace de travail s’avère intéressant surtout dans le domaine de l’usinage:
– L’espace de travail 3 -axes est l’ensemble des positions du point de référence défini dans le r epère de la pièce à usiner pour lesquelles l’outil est considéré toujours perpendiculaire à la pièce. Cet espace est utile pour montrer la capacité des machines d’usinage 5axes à usiner les mêmes pièces que celles de leurs homologues 3 – -axes.

Méthodes utilisées pour le calcul de l’espace de travail

Plusieurs méthodes ont été utilisées pour le calcul de l’espace de travail des manipulateurs parallèles, citons :
– Les méthodes algébriques [ Jo 89 et Haugh 95],
– les méthodes algébriques par discrétisation [Chab lat 98],
– les méthodes géométriques [ Merlet 00 et Bonev 02].
Méthodes Algébriques
Les méthodes algébriques sont plus difficiles à appliquer car elles augmentent la dimension du problème en introduisant des variables supplémentaires. Elles consistent à résoudreun problème d’optimisation en introduisant des pénalités aux frontières [ Jo 89].
Méthode Algébriques par discrétisation
Les méthodes algébriques par discrétisation utilisent les modèles géométriques direct et inverse pour calculer l’ensemble des configura tions que le manipulateur peut atteindre. Ces données sont enregistrées dans une structure hiérarchique. Nous citons à titre d’exemple les quadtrees et les octrees utilisés dans [Chablat 98 pour le calcul des domaines d’unicité des ] manipulateurs planaires et la méthode d’analyse par intervalles utilisée pour le calcul de l’espace de travail et la détermination des singularités des manipulateurs parallèles01 [Merlet et Chablat 04]. Cette méthode est coûteuse numériquement et gourmande en place mémoire maisassez facile à programmer.
Méthodes Géométriques
Les méthodes géométriques permettent de calculer rapidement la frontière de l’espace de travail. Elles peuvent intégrer les contraintes liées aux limites articulaires et des collisions entreles segments[Merlet 05]. Cependant, la reconstructi on de l’espace de travail total est difficile. Pour certains cas comme pour le robot Delta, le calcul de l’espace de travail peut être fait directement en utilisant des logiciels de CAO (conception assisté par ordinateu r) puisque l’espace de travail est équivalent à l’intersection entre des volumes simples.

Table des matières

Introduction générale
Chapitre 1 : Etat de l’art sur l’étude des manipulateurs parallèles
1. INTRODUCTION
2. CLASSIFICATION DES ARCHITECTURES PARALLELES
2.1. MANIPULATEURS PLEINEMENT PARALLELES
2.2. MANIPULATEURS HYBRIDES
2.3. MANIPULATEURS REDONDANTS
2.4. LES DIFFERENTS TYPES DE MOUVEMENT DES MANIPULATEURS PARALLELES
2.4.1. Manipulateurs plans
2.4.2. Manipulateurs sphériques
2.4.3. Manipulateurs spatiaux
2.5. LES MACHINES A ARCHITECTURE PARALLELES
2.6. COMPARAISON DES PERFORMANCES DES ROBOTS SERIE ET DES PKMS
3. NOTIONS IMPORTANTES EN ROBOTIQUE PARALLELE
3.1. MODELISATION GEOMETRIQUE
3.1.1. Espace articulaire et espace opérationnelle
3.1.2. Modèle géométrique inverse
3.1.3. Modèle géométrique direct
3.2. CONFIGURATIONS SINGULIERES
3.2.1. Approche analytique
3.2.2. Approche géométrique
3.3. ESPACE DE TRAVAIL
3.3.1. Espace de travail et représentation
3.3.2. Méthodes utilisées pour le calcul de l’espace de travail
4. CONCLUSION
Chapitre 2 : Modélisation géométrique et analyse des singularités sérielles de la machine Verne
1. INTRODUCTION
2. DESCRIPTION DE LA MACHINE VERNE
3. MODELES GEOMETRIQUES DU MODULE PARALLELE
3.1. LES EQUATIONS GEOMETRIQUES
3.2. COUPLAGE ENTRE LA POSITION ET L’ORIENTATION DE LA PLATE-FORME
3.3. MODELE GEOMETRIQUE INVERSE
3.4. MODELE GEOMETRIQUE DIRECT
3.5. SINGULARITES SERIELLES
4. MODELES GEOMETRIQUES DE LA MACHINE VERNE COMPLETE
4.1. LES EQUATIONS GEOMETRIQUES
4.2. MODELE GEOMETRIQUE INVERSE
4.3. MODELE GEOMETRIQUE DIRECT
5. CONCLUSION
Chapitre 3 : Calcul de l’espace de travail de la machine Verne
1. INTRODUCTION
2. CALCUL DE L’ESPACE DE TRAVAIL DU MODULE PARALLELE
2.1. METHODE DE CALCUL DE L’ESPACE DE TRAVAIL
2.2. MODELES GEOMETRIQUES DES CONTRAINTES LIMITANT L’ESPACE DE TRAVAIL
2.3. COLLISIONS ENTRE LES DIFFERENTS ELEMENTS DE LA MACHINE VERNE
2.4. LONGUEURS DES SEGMENTS ET SINGULARITES SERIELLES
2.5. BUTEES MECANIQUES SUR LES ARTICULATIONS PASSIVES
2.5.1. Limites mécaniques sur les articulations passives liées aux articulations prismatiques
2.5.2. Les limites Mécaniques sur les articulations passives liées à la plate-forme mobile
2.6. LES CONTRAINTES DE FERMETURE DE LA CHAINE I
2.7. L’ALGORITHME DE CALCUL DE L’ESPACE DE TRAVAIL TOTAL
2.7.1. Résumé de la méthode de calcul de l’espace de travail total
3. CALCUL DE L’ESPACE DE TRAVAIL DE LA MACHINE VERNE
4. CONCLUSION
Chapitre 4 : Etude de singularités parallèles des manipulateurs parallèles à mobilités restreintes
1. INTRODUCTION
2. METHODE GEOMETRIQUE DE DETECTION DE SINGULARITES PARALLELES
2.1. ALGEBRE DE GRASSMANN-CAYLEY
2.1.1. Algèbre du crochet
2.1.2. Les operateurs join et meet
2.1.3. La décomposition du superbracket
2.2. ESPACE PROJECTIF ET THEORIE DES VIS
2.2.1. Espace projectif de dimension trois
2.2.2. Les coordonnées homogènes et les coordonnées de Plücker
2.2.3. Les applications de la théorie de vis réciproques
2.3. LES CONDITIONS GEOMETRIQUES DE SINGULARITES PARALLELES
2.3.1. Trois classes de manipulateurs parallèles
2.3.2. Les manipulateurs avec trois forces d’actionnement et trois moments de contraintes
2.3.3. Les manipulateurs avec quatre forces d’actionnement et deux moments de contraintes
2.3.4. Les manipulateurs avec six forces d’actionnement
2.4. EXEMPLES D’APPLICATION
2.4.1. Analyse de singularités du manipulateur 3-UPU
2.4.2. Analyse de singularités du robot Delta linéaire
2.4.3. Analyse de singularités du manipulateur SMG de McGill
2.4.4. Analyse de singularités du module parallèle de la machine Verne
3. CONCLUSION
Chapitre 5 : Modélisation dynamique des manipulateurs parallèles à mobilités restreintes
1. INTRODUCTION
2. MODELES DYNAMIQUES DES ROBOTS PARALLELES
2.1. MODELE DYNAMIQUE INVERSE DES ROBOTS PARALLELES
2.1.1. Méthode du calcul du modèle dynamique inverse
2.1.2. Dynamique de la plate-forme
2.1.3. Dynamique des jambes
2.1.4. Matrices Jacobiennes
2.1.5. Equation Générale du MDI des robots parallèles
2.2. MODELE DYNAMIQUE DIRECT DES ROBOTS PARALLELES
2.2.1. Méthode de Calcul du modèle dynamique direct
2.2.2. Décomposition du modèle dynamique inverse de la jambe i
2.2.3. Calcul des accélérations articulaires de la jambe i
2.2.4. Equation General du MDD des robots parallèles
3. APPLICATION DES MODELES A LA MACHINE VERNE
3.1. DESCRIPTION DU MODULE PARALLELE DE LA MACHINE VERNE
3.2. DESCRIPTION GEOMETRIQUE DE LA STRUCTURE ARBORESCENTE
3.2.1. Description géométrique des jambes de la structure arborescente
3.2.2. Modèle géométrique direct des jambes
3.2.3. Modèle géométrique inverse des jambes
3.3. MODELE DYNAMIQUE INVERSE DE LA MACHINE VERNE
3.3.1. Dynamique des jambes de la structure arborescente équivalente
3.3.2. Dynamique de la plate-forme mobile
3.3.3. Calcul des matrices jacobiennes
3.4. MODELE DYNAMIQUE DIRECT DE LA MACHINE VERNE
3.5. SIMULATION NUMERIQUE DES MODELES DYNAMIQUES
4. CONCLUSION
Conclusion Générale
Perspectives
Bibliographie

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