Modélisation et simulation des interfaces non classiques dans l’écoulement de Stokes

Influences des propriétés de l’interface sur le comportement hydrodynamique

La mouillabilité joue un rôle important dans la détermination des conditions aux limites pour un écoulement sur une surface parfaitement lisse. En se basant sur les travaux théoriques et numériques de Bocquet et Barrat (2007), Sender et al. (2009), Bocquet et Charlaix (2010) et Kunert et al. (2010), on peut constater que l’effet du glissement n’apparaît pas sur la surface lisse hydrophile. Par contre, les investigations de Vinagrodova (1995), Bocquet et Barrat (2007), Andrienko et al. (2003), Harting et al. (2006), Vinogradova et al. (2006, 2009) et Joly et al. (2006) ont montré que cet effet existe sur la surface lisse hydrophobe et est caractérisé par une longueur de glissement d’une centaine de nanomètres. Ainsi, on peut dire qu’un fluide ne glisse pas sur une surface lisse hydrophile mais sur une surface lisse hydrophobe.
Cependant, très peu de solides ont une surface parfaitement lisse. De plus, une surface solide qui est lisse à l’échelle macroscopique se révèle souvent rugueuse à l’échelle microscopique ou nanométrique. Pour un écoulement sur une surface solide rugueuse, la mouillabilité et la rugosité de cette surface influencent fortement le comportement hydrodynamique à l’interface liquide-solide.

Superhydrophobicité

Comme définie, une surface est dite hydrophobe si l’angle de contact θ est supérieur à 90◦ . Dans ce cas, θ est souvent compris entre 100◦ et 120◦ . L’état « superhydrophobe » apparaît lorsque cet angle dépasse 140◦ . Une surface ayant cet état est qualifié de « superhydrophobe » (SH). Il est important de remarquer que l’état de superhydrophobicité n’existe pas pour les surfaces parfaitement lisses, car leurs angles de contact ne dépassent jamais 120◦ même avec les matériaux constituants les plus hydrophobes que l’on connaisse. Cependant, on peut trouver l’existence de cet état sur les surfaces de certaines plantes ou de certains animaux dans la nature. Par exemple, les feuilles de lotus sont très peu mouillables par l’eau. En effet, leurs surfaces possèdent d’une micro ou nano-texture rugueuse. A ce propos, on peut citer les investigations portant sur les propriétés de superhydrophobie de certaines substances naturelles, par exemple dans les travaux de Barthlott et Neinhuis (1997a), Neinhuis et Barthlott (1997b), Wagner et al. (1996), Lee et al. (2004), Gao et Jiang (2004) et Bush et al. (2008). on donne deux exemples de substances naturelles superhydrophobes : (a) feuille d’oreille d’éléphant (colocasia esculenta) dans le travail de Wagner et al. (2004); (b) patte du gerris dans le travail de Gao et Jiang (2004).
En s’inspirant des substances naturelles superhydrophobes, les propriétés hydrophobe de surfaces solides peuvent être améliorées par la création d’une micro-texture rugueuse. Les micro-textures destinées à réaliser une surface solide très hydrophobe peuvent être constituées de poteaux ou trous de section transverse circulaire ou carrée ou composées de rayures parallèles. Les micro-textures superhydrophobes synthétiques sont fabriquées et présentées dans les travaux de Bico et al. (1999), Öner et McCarthy (2000), Yoshimitsu et al. (2002), Nakajima et al. (2001), Feng et Jiang (2006) et Steinberger et al. (2008).

Écoulement sur une surface rugueuse comportant des poteaux ou trous de section circulaire

Dans le premier exemple, nous nous plaçons dans le cas où la celle de base surfacique ω est un carré constitué de deux régions. La première région correspond à un disque circulaire centré de rayon ρ et est caractérisée par la longueur de glissement microscopique λ1. La partie restante du carré constitue la deuxième région avec la longueur de glissement λ2.
En choisissant λ1 = 0, λ2 = λ et ρ = 0.25, on a le cas où un fluide s’écoule sur des poteaux circulaires . En échangeant le rôle de la région 1 et celui de la région 2, à savoir λ1 = λ, λ2 = 0 et ρ= 0.25, on se trouve dans le cas dual où l’écoulement du fluide s’effectue sur des trous circulaire .
Les courbes illustrent la variation de la longueur de glissement effective b en fonction de l’épaisseur normalisée H. Nous observons que ces courbes coïncident de façon presque parfaite avec celles fournies par la méthode des éléments finis.

Détermination d’un SER pour un écoulement sur une surface arbitraire

La détermination de la taille minimum du volume ou de la surface élémentaire représentatif (VER ou SER) d’un milieu hétérogène est un des problèmes centraux de la micromécanique. Ce paragraphe applique la MSFD qu’on a présentée dans le paragraphe précédent pour estimer la taille de SER pour une surface hétérogène arbitraire. Cette surface située au niveau de la paroi inférieure du canal confine l’écoulement considéré. À l’échelle microscopique, la surface est hétérogène.
À l’échelle macroscopique la surface est homogénéisée et remplacée par une surface homogène équivalente. La microstructure de la surface hétérogène considérée dans ce paragraphe est constituée des segments glissants qui sont aléatoirement distribués dans un domaine unidimensionnel parfaitement adhérent.
La moyenne de la longueur de glissement effective correspondant à notre microstructure virtuelle peut être calculée par la méthode de Monte-Carlo, qui a été mentionnée dans les travaux de Lachi hab et Sab (2005, 2008). Avec K réalisations indépendantes de la microstructure proposée, on désigne par (b1, …, bK) les longueurs de glissement effectives correspondant à K réalisations.

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Table des matières

Introduction générale
Notations
1 Éléments de base sur l’écoulement de Stokes et sur l’interface fluide-solide
1.1 Écoulement de Stokes
1.1.1 Équations de Stokes et conditions aux limites
1.1.2 Écoulement de Poiseuille
1.1.3 Écoulement plan de Couette
1.2 Interface liquide–solide
1.2.1 Mouillabilité
1.2.2 Rugosité
1.2.3 Influences des propriétés de l’interface sur le comportement hydrodynamique
1.2.4 Superhydrophobicité
1.2.5 Glissement effectif
2 Approche semi-analytique pour l’écoulement de Stokes d’un fluide sur une paroi dont
la microstructure surfacique est périodique et symétrique
2.1 Description du modèle
2.2 Formulation du problème
2.3 Résolution du problème
2.4 Résultats numériques et comparaisons
2.4.1 Écoulement sur une surface rugueuse comportant des poteaux ou trous de
section circulaire
2.4.2 Écoulement sur une surface rugueuse comportant des poteaux ou trous de
section rectangulaire
2.4.3 Écoulement sur une surface comportant des rayures transversales ou longitudinales
2.4.4 Écoulement sur une surface rugueuse ayant la texture d’un échiquier
2.4.5 Écoulement sur une surface constituée d’un assemblage de cercles composites
2.4.6 Étude de convergence
2.5 Conclusion
3 Approche semi-analytique pour l’écoulement de Stokes d’un fluide sur une paroi dont
la microstructure surfacique est périodique mais non symétrique
3.1 Description du problème
3.2 Formulation du problème
3.3 Résolution du problème
3.4 Écoulement transversal
3.5 Applications numériques et validations
3.5.1 Écoulement sur la surface constituée de poteaux ou de trous de section
circulaire
3.5.2 Écoulement sur les rayures transversales ou longitudinales
3.5.3 Écoulement sur les rayures parallèlles inclinées par rapport la direction du
gradient de pression
3.5.4 Étude de convergence
3.6 Conclusion
4 Méthode de solution fondamentale pour l’écoulement de Stokes d’un fluide sur une
paroi dont la microstructure surfacique est non périodique : cas bidimensionnel
4.1 Introduction
4.2 Méthode de solution fondamentale classique (MSF)
4.2.1 Description du problème
4.2.2 Formulation et résolution du problème
4.3 Méthode de solution fondamentale développée (MSFD)
4.3.1 Formulations et résolutions du problème
4.3.2 Écoulement sur la surface avec la longueur de glissement variant selon une
fonction trigonométrique
4.4 Détermination d’un SER pour un écoulement sur une surface arbitraire
4.5 Résultats numériques et comparaisons
4.5.1 Écoulement plan sur une surface constituée de deux zones glissante et adhérente
4.5.2 Écoulement plan sur la surface avec des rayures transversales périodiquement disposées
4.5.3 Écoulement sur une surface avec la longueur de glissement variant en fonction cosinus
4.5.4 Écoulement sur une surface avec des rayures disposées aléatoirement
4.6 Conclusion
5 Méthode de solution fondamentale pour l’écoulement de Stokes d’un fluide sur une paroi dont la microstructure surfacique est non périodique : cas tridimensionnel
5.1 Description du problème considéré
5.2 Formulation et résolution du problème
5.3 Résultats numériques et comparaisons
5.4 Conclusion
6 Méthode basée sur la transformée de Fourier rapide pour les composites élastiques
fibreux avec interfaces membranaires
6.1 Introduction
6.2 Description du matériau considéré et modèle de l’interface imparfaite de type membrane
6.3 Solution du problème local
6.3.1 Équations fondamentales dans l’espace réelle
6.3.2 Équations fondamentales dans l’espace de Fourier
6.3.3 Résolution du problème local
6.4 Exemples numériques
6.4.1 Matériau poreux avec pores cylindriques circulaires
6.4.2 Matériau poreux avec pores de formes non-circulaires
Conclusion et perspectives
Bibliographie