Modélisation et étude de la propagation des ondes électromagnétiques dans un milieu forestier

La forêt abrite une grande part de la bio-diversité terrestre, qu’il s’agisse de forêts naturelles ou de forêts dédiées à la production de bois de construction ou de papier. Ce milieu reste fondamental pour la survie de la biosphère et de l’humanité car aucun autre écosystème ne peut le remplacer. Sa surveillance est logiquement devenue un sujet environnemental très important et urgent à traiter.

Depuis son origine, la télédétection a évolué pour devenir un outil important pour surveiller l’état du couvert végétal. La télédétection est une technique permettant d’obtenir de l’information sur des cibles en analysant des données collectées par des instruments n’étant pas en contact direct avec ces cibles. Elle se fait grâce à deux types de capteurs, optiques et micro-ondes, qui dépendent de la bande de fréquence utilisée. Les images des capteurs optiques sont relativement simples à interpréter, puisque très proches de la vision humaine, mais leur fonctionnement dépend des conditions météorologiques (ciel dégagé, utilisation matinale et à des altitudes où la présence de pluie et de nuages est moins fréquente). De leur côté, les images des capteurs micro-ondes (300MHz < f < 300 GHz) sont plus difficiles à interpréter car l’onde peut pénétrer profondément dans les cibles, voire les traverser. En retour, l’avantage est qu’ils sont moins sensibles aux conditions météorologiques ([1, 2]). Il existe deux types de capteurs : le capteur passif qui enregistre le rayonnement naturel électromagnétique et le capteur actif qui comporte sa propre source d’éclairement. Les mesures en télédétection radar sont principalement effectuées par des capteurs actifs qui émettent une onde quasi monochromatique et polarisée. Le délai entre l’émission et la réception fournit une information sur la distance de la cible et l’amplitude de l’onde reçue en caractérise la nature. L’onde reçue a la même fréquence que l’onde émise, mais sa polarisation peut être changée. Sur une cible végétale, les variations de polarisation sont directement liées aux propriétés biophysiques de cette dernière, telles que la permittivité, la géométrie, etc …

Modélisation et étude de la propagation des ondes électromagnétiques dans un milieu forestier

Modèles existants de diffusion par la végétation

La modélisation électromagnétique des couverts végétaux consiste à établir des relations entre les paramètres physiques décrivant la forêt (la biomasse [3], la hauteur des arbres [4], la densité de la forêt [5]) et les champs électromagnétiques. Il s’agit de modéliser l’ensemble de la chaîne : l’émission de l’onde, l’interaction avec le couvert et le calcul du champ diffusé.

La modélisation des couverts forestiers fait apparaître trois problématiques différentes :
* Problème de description du milieu Afin de créer un modèle de diffusion électromagnétique réaliste, les paramètres physiques doivent bien décrire le couvert forestier.
* Problème électromagnétique Un bon modèle doit bien représenter la physique de l’interaction onde-forêt.
* Problème pratique Le modèle doit être adapté aux ressources informatiques disponibles pour le calcul.

Plusieurs modèles ont donc été développés en fonction du compromis fait entre ces trois aspects. La modélisation de la végétation elle-même a donné lieu à plusieurs modèles physiques (continus , ou discrets ). Nous avons opté pour l’approche discrète afin d’avoir la représentation la plus réaliste de la végétation.

Historiquement, les premiers modèles approchés de forêt étaient basés sur la théorie du transfert radiatif utilisée pour caractériser la dispersion de la forêt. Elle s’appuie sur le principe de la conservation de l’énergie. La méthode de résolution itérative de l’équation du transfert radiatif permet de prendre en compte les mécanismes d’interaction entre l’onde et les diffuseurs avec plus ou moins de précision. Cette méthode a évolué vers une formulation vectorielle afin de prendre en compte la polarisation des ondes [6, 7, 8]. La forêt y est représentée en couches superposées au dessus d’un sol diélectrique lisse ou rugueux. Cette formulation est incohérente, elle ne prend pas en compte la position des diffuseurs discrets. Les champs diffusés sont décorrélés de sorte que l’énergie de l’ensemble des champs diffusés est égale à la somme des énergies de chaque champ. Cette approche énergétique ne tenant pas compte de la nature complexe du champ électrique, cela conduit à ne pas prendre en compte les interférences destructives ou constructives entre les ondes diffusées ([9, 10]) et a aussi pour conséquence de perdre la phase absolue et, par là même, de se priver de l’application à l’interférométrie. De plus, cette approche n’est pas valable dans le cas de milieux denses où les couplages en champ proche sont forts ([11, 12]).

Les modèles approchés ont donc été améliorés de manière à palier ce défaut. Ces modèles sont dits « cohérents » de par le fait que les contributions de chaque diffuseur sont sommées de manière cohérente. D’autre part, ces modèles sont basés sur l’approximation de Born au premier ordre  qui ne tient pas compte de la diffusion multiple ([13, 14]). Notre démarche s’inscrit dans le développement d’un modèle cohérent. Dans un modèle de forêt discret, les cibles élémentaires sont les diffuseurs (troncs, branches, feuilles,…). Le choix d’un modèle électromagnétique de diffuseur dépend d’un compromis entre son domaine de validité, sa capacité à ressembler géométriquement au diffuseur réel, son degré d’approximation et sa facilité à être mis en œuvre numériquement. Karam et Fung ont, par exemple, proposé des modèles de diffusion par une ellipsoïde ([15]), par un disque ([16]) et par un cylindre ([17]). Sarabandi ([18]) a également proposé un modèle de diffusion par un cylindre de longueur finie et c’est ce modèle que nous avons choisi pour calculer le champ diffracté par les troncs et les branches primaires dans le cas du modèle « approché ». Ce modèle a l’avantage de ne pas prendre en compte la diffusion par les sections terminales du cylindre, ce qui nous paraît réaliste car celle-ci n’existe pas excepté pour les arbres coupés.

Matrice de diffusion et conventions 

Les modèles cohérents nécessitent, pour chaque diffuseur, une caractérisation électromagnétique sous la forme d’une matrice de diffusion (ou matrice de Sinclair) afin de conserver l’information de phase absolue. Cette matrice est une représentation mathématique de l’interaction d’une onde électromagnétique avec une cible à une distance r de l’antenne. Cette interaction crée un champ diffusé dont la polarisation peut varier. Ce changement de polarisation entre l’onde incidente et l’onde diffractée est dû principalement aux caractéristiques de la cible. La matrice de diffusion est une matrice de (2 × 2) éléments complexes. Elle contient toutes les informations sur les propriétés physiques de la cible pour une fréquence et des angles d’orientation d’antennes donnés.

Modèle approché 

Le problème de la diffraction par un cylindre diélectrique homogène infini a été résolu par Lord Rayleigh [19] pour une incidence normale. Depuis sa solution a été généralisée au cas d’une incidence oblique et d’un cylindre fini moyennant une approximation ( [16] , [18]). La principale différence entre les deux méthodes présentées par ces auteurs est que la première prend en compte la diffraction par les deux sections apparentes d’un cylindre, alors que la seconde non. En effet, dans la seconde méthode, le cylindre éclairé par le dessus ne rayonne pas. Nous avons choisi cette méthode car il nous a semblé plus réaliste de considérer que les sections terminales ne doivent pas contribuer au signal diffracté puisque dans la nature, mis à part une branche ou un tronc d’arbre coupé, un arbre n’a pas de section de cylindre apparente.

Les vecteurs de Hertz peuvent s’écrire sous deux formes, une première en fonction des courants volumiques et une seconde en fonction des courants surfaciques. Dans le cas de la formulation basée sur les courants surfaciques, l’intégrale ne porte que sur la surface latérale du cylindre, omettant ainsi le rayonnement par les extrémités. Dans le cas de la formulation volumique, les extrémités sont prises en compte. Il faut néanmoins remarquer que les intégrales volumique et surfacique sont équivalentes si l’on considère le champ réel qui existe à l’intérieur du cylindre fini, au lieu d’un cylindre infini.

Cependant, c’est bien la formulation par les courants surfaciques qui paraît la plus pertinente pour la modélisation des forêts dans le sens où elle modélise le champ diffusé par un cylindre qui sera prolongé par d’autres diffuseurs à ses extrémités. Ce modèle simule une branche d’arbre dont le courant qui circule à sa surface est continu à la jonction avec une autre branche et où les lignes de champs sont très peu déformées. Au contraire, la formulation volumique semble plus adéquate pour calculer la diffusion par des cylindres isolés, tel que des troncs ou des branches qui ont été coupés. La différence entre ces deux formulations réside dans la manière dont sont prises en compte ces extrémités et on s’attend notamment à observer une grande différence entre ces modèles surtout aux faibles incidences.

Représentation d’une parcelle forêt dans le modèle approché

Le modèle de diffusion par un cylindre diélectrique étant décrit, il est donc possible de l’utiliser pour modéliser les diffuseurs élémentaires qui constituent la forêt. En télédétection radar appliquée à la forêt, les fréquences utilisées sont dans des bandes de fréquence basses (VHF, UHF et L). Ceci nous permet de négliger les feuilles et les branches secondaires des arbres car leur contribution au champ diffracté est faible [22] du fait de leurs dimensions petites par rapport à la longueur d’onde. Dans notre modèle, le milieu forestier est donc représenté par deux demi espaces homogènes simulant l’air (ε0, µ0) et le sol (ε, µ0) séparés par une interface plane en z = 0. Les principaux éléments de la forêt, les troncs et les branches primaires, sont modélisés par des cylindres diélectriques et non magnétiques (εr ,µ0), respectivement verticaux et inclinés, avec des sections différentes. Ils sont placés dans un repère cartésien orthonormé (O,x,y,z) dans le demi-espace z > 0.

Table des matières

Introduction
Modélisation et étude de la propagation des ondes électromagnétiques dans un milieu forestier
I Introduction à la modélisation de la diffusion par un milieu forestier
I.1 Modèles existants de diffusion par la végétation
I.2 Matrice de diffusion et conventions
II Modèle approché
II.1 Introduction
II.2 Principe général du modèle approché
II.3 Calcul du champ diffracté par un cylindre infini
A- Calcul du champ diffracté pour une polarisation verticale (TM)
B- Calcul du champ diffracté pour une polarisation horizontale (TE)
II.4 Calcul du champ diffracté par un cylindre fini
II.5 Calcul de la matrice de diffusion
II.6 Représentation d’une parcelle forêt dans le modèle approché
II.7 Conclusion
III Modèle exact
III.1 Introduction
III.2 Rappels des équations fondamentales
III.3 Calcul du champ diffracté par la Méthode des Moments
III.4 Représentation d’une parcelle de forêt dans le modèle exact
III.5 Conclusion
IV Validation numérique du modèle approché par comparaison au modèle exact
IV.1 Introduction
IV.2 Étude de convergence du modèle approché d’un cylindre en espace libre
IV.3 Validation dans le cas d’un cylindre en espace libre
A- Cylindre vertical
B- Cylindre incliné
IV.4 Prise en compte des mécanismes de diffusion pour un cylindre posé sur sol
A- Interactions diffuseur-sol
B- Contribution du sol
IV.5 Validation pour un cylindre vertical posé sur une surface parfaitement conductrice
A- Cas du monostatisme
B- Cas du bistatisme
IV.6 Validation pour un arbre composé d’un tronc et deux branches inclinées
IV.7 Effet de couplage
A- Arbre avec quatre branches inclinées
B- Arbre avec huit branches inclinées
IV.8 Validation du cas de diffraction par plusieurs arbres
IV.9 Validation d’un objet diffractant posé sur un sol réel
A- Cas d’un cylindre diélectrique
B- Cas d’un arbre composé d’un tronc et de quatre branches
IV.10 Conclusion
V La réciprocité du modèle approché
V.1 Introduction
V.2 La réciprocité polarimétrique en configuration monostatique
A- Principe de la réciprocité
B- Discussion sur la réciprocité des mécanismes de diffusion
C- Mise en évidence de la perte de réciprocité
V.3 Reformulation de la matrice de diffusion d’un cylindre diélectrique
V.4 Diagnostic de la perte de réciprocité
V.5 Modèle PRECY
A- Cas du bistatisme en θ
B- Cas du bistatisme quelconque
V.6 Vérification de l’impact de la modification PRECY
V.7 Conclusion
Conclusion

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