Modélisation et caractérisation spectrale de métamatériaux

Structures à bandes interdites photoniques

   La propriété de bandes interdites dans un réseau d’atomes de silicium n’est pas spécifique à ce matériau et aux autres semi-conducteurs. Il suffit que des interférences destructives apparaissent lorsqu’une onde se propage dans une structure périodique pour retrouver des bandes d’énergie interdites. La révolution électronique engendrée par l’utilisation du silicium dans la plupart des circuits électroniques pousse à reproduire des structures périodiques équivalentes en optique. L’analogie est d’autant plus justifiée que l’équivalent de l’équation de Schrödinger dans les semi-conducteurs est une équation analogue en optique : celle de Helmholtz . La périodicité du potentiel ionique est quant à elle remplacée par une périodicité de l’indice de réfraction. Si on trouve quelques cristaux photoniques tridimensionnels dans la nature (Fig.1) , leur réalisation artificielle est restée inaccessible jusqu’aux années quatre-vingt avec les travaux de Yablonovitch [YGL91]. Il a imaginé des matériaux à Bande Interdite Photonique en essayant d’obtenir une première zone de Brillouin la plus proche possible d’une sphère. Les inclusions arrangées dans un schéma cristallin cubique face centrée, tels des réseaux 3D de diélectriques ou de sphères en alumine, sont les candidats idéaux car caractérisés par une zone de Brillouin octaédrique. Malheureusement, la bande interdite est incomplète dans ce cas. Le premier cristal photonique formé de billes de silicium arrangées dans une structure cristalline de diamant revient à K. Ho et al [HCS90]. Yablonovitch [Yab93] réussit lui aussi à produire une BIP à bande complète quelques années plus tard (Fig.2(a)). Elle consiste en du plexiglas perforé périodiquement avec trois tiges, inclinées de 35°, et séparées de 120°, et présente une bande interdite complète à 15 GHz. Des cristaux photoniques similaires peuvent être produits en superposant des couches de silicium. Le résultat final est un réseau 3D Silicium/Air nommé “tas de bois“ (Fig.2(b)). Une structure similaire à base d’AsGa a été réalisée par Noda et al [NTYC00] par fusion et élimination du substrat.

Surfaces à haute impédance

   Dans le domaine micro-ondes, nous évoquons plutôt des matériaux à Bande Électromagnétique Interdite. Leurs premières utilisations remontent à 1919, sur un brevet [MF19] affirmant l’intérêt de joindre à une antenne parabolique un réseau de tiges métalliques afin d’en améliorer les performances. Suivirent les surfaces sélectives en fréquences, d’abord utilisées pour réduire la surface équivalente radar avant d’être appliquées à l’amélioration d’antennes, râdomes et filtres. Sievenpiper [Sie99, SZB+99] a étendu leurs applications potentielles en introduisant les surfaces électromagnétiques à haute impédance (High Impedance Surface). Normalement, le champ électromagnétique est nul sur un conducteur électrique. La composante tangentielle du champ devant être conservée, un déphasage se produit entre l’onde incidente et réfléchie. Les HIS permettent précisément d’avoir une onde réfléchie en phase avec la source émettrice. La surface est caractérisée par une impédance équivalente qui peut devenir très élevée à certaines fréquences. La structure proposée par Sievenpiper est constituée de patchs en forme d’alvéoles reliés à un plan métalliques avec des fils (ou via) (Fig.3). Les propriétés intéressantes d’une telle surface font qu’on la substitue au plan réflecteur situé sous les antennes afin d’en améliorer les propriétés. Et contrairement au plan de masse qui doit être positionné à λ/4 de l’antenne, la HIS peut y être accolée. Itoh [QYI98] a pour sa part proposé un circuit planaire constitué de cristaux compacts périodiquement disposés. Cet Unipolar Compact Photonic Band Gap peut facilement s’intégrer dans des circuits micro-ondes [CQI03].

Métamatériaux à paramètres électromagnétiques négatifs

  Les métamatériaux sont des structures périodiques dont la période est faible devant la longueur d’onde. Le préfixe “méta“ indique un comportement singulier de ces matériaux artificiels. En effet, leur permittivité, perméabilité, et indice de réfraction, peuvent devenir négatifs sur certaines bandes de fréquences. Les cristaux photoniques décrits par Notomi [Not02] agissent comme si leur indice était négatif, bien que ce dernier soit positif. Il n’en est pas de même avec les métamatériaux théoriques de Veselago. Ces matériaux Main Gauche, nommés ainsi car le trièdre {E, ~ H, ~ ~k} est indirect, ont bénéficié d’un large intérêt ces dernières années. Plus que leur comportement exotique qui va de l’inversion des effets Doppler et Cerenkov à celui de la loi de Snell-Descartes, ce sont leurs applications potentielles qui justifient un tel engouement. Très tôt a été théorisée la possibilité de les utiliser pour miniaturiser les antennes [AO07a], réaliser des lentilles haute résolution [BHS06, Pen00], voire masquer entièrement un objet au rayonnement électromagnétique. Cette dernière application a récemment été réalisée avec succès dans le domaine micro-ondes (Fig.4(a)). L’onde électromagnétique est complètement déviée avec le cylindre interne, mais n’est pas perturbée par le cylindre externe, qui occulte donc ce qu’il entoure (Fig.4(b)). Pendry put relier en 1998 les grandeurs d’un plasma aux dimensions de tiges métalliques très fines [PHRS98]. Il semblait dès lors possible d’abaisser la fréquence plasma aux fréquences micro-ondes, et obtenir une structure à permittivité négative dans cette gamme de fréquence. Une année plus tard [PHRS99], son équipe de recherche introduit un rouleau suisse (swiss roll) dont la géométrie en spirale permet la réalisation d’un matériau à perméabilité négative. Le Résonateur à Anneau Fendu (ou Split-Ring Resonator), qu’ils ont initialement substitué au rouleau suisse afin d’en  limiter l’absorption, va devenir la structure phare dans le monde des métamatériaux. Ce dernier résonne à des longueurs d’onde largement supérieures à son diamètre, et concentre une très grande énergie électrique au niveau de la fente. Diverses structures basées sur le RAF ont vu le jour, parmi lesquelles nous notons le résonateur à anneaux croisés (Fig.5), proposé par Gay-Balmaz afin de lever l’anisotropie du simple anneau fendu [GBM02a]. L’isotropie apportée n’étant que plane avec un tel modèle, il est possible de l’étendre à l’espace tridimensionnel par un positionnement judicieux de plusieurs anneaux fendus. Les milieux à indice négatif sont obtenus en hybridant des fils métalliques et des anneaux fendus. Ces deux inclusions peuvent être  disposées au sein d’une même cellule élémentaire, ou combinées dans une forme géométrique qui inclut les dipôles électrique et magnétique. Des structures en S [CRH+04] et en Ω [SH03] font partie des métamatériaux main gauche.

Modèles de polarisation

   La polarisation correspond à la réponse d’un matériau à l’excitation d’un champ extérieur. Cette réponse peut consister en un déplacement de charges électroniques ou ioniques,ou un changement de l’orientation des dipôles [Sih99]. La matière étant composée de distributions de charges, ces réponses aux excitations peuvent être distinguées (Fig.10) :
— Polarisation électronique : due à l’oscillation du centre de masse du nuage électronique, la fréquence de résonance est située dans l’ultraviolet.
— Polarisation ionique et atomique : la présence du nuage électronique fait que les atomes acquièrent aussi une charge et se déplacent sous l’effet d’un champ électrique. La fréquence de résonance est située entre l’infrarouge et le visible.
— Polarisation orientationelle : ce mécanisme ne concerne que les molécules exhibant un moment dipolaire permanent. Celui-ci s’aligne sur le champ électrique excitateur, d’où la dénomination de polarisation orientationelle. La réponse typique se situe dans les fréquences radio ou micro-ondes.
— Polarisation interfaciale : l’accumulation de charges sur les interfaces entre deux milieux différents peut entraîner de fortes augmentations de la polarisabilité en basse fréquence. Si plusieurs mécanismes de polarisation peuvent caractériser un matériau, un des modèles suivants le décrira convenablement sur une certaine fenêtre fréquentielle.

Propriétés électromagnétiques des matériaux utilisés

  Lorsque la conductivité est finie, on observe que la partie réelle de la perméabilité devient bien négative au delà de la fréquence de résonance, tandis que les valeurs du courant électrique deviennent très élevées. Si le métal utilisé est parfait, la perméabilité tout comme le courant induit tendent vers l’infini à la résonance. La résistivité de l’anneau limite les valeurs prises par la perméabilité, allant même jusqu’à l’empêcher de devenir négative (Fig.47(a)). La partie imaginaire de la perméabilité effective relative est du même ordre de grandeur que sa partie réelle, faisant que la représentation de µef f dans le plan complexe en fonction de la fréquence est un cercle orienté dans le sens trigonométrique. L’utilisation d’un matériau hôte autre que l’air ne fait que diviser la fréquence de résonance dans le vide par l’indice du milieu choisi (Fig.47(b)). Ce fait est particulièrement utile lorsque l’on souhaite faire résoner le métamatériau à une fréquence bien précise, mais que les dimensions satisfaisant cette contrainte le rendent difficile à usiner. Par exemple, un anneau T32 doté d’un entrefer d’un centième de millimètre résonne à la même fréquence de 2 GHz qu’un anneau avec un entrefer d’un dixième de millimètre, gravé sur de l’alumine. La réalisation du premier nécessite un usinage très précis, et donc coûteux, contrairement au second, bien plus simple à fabriquer.

Table des matières

Introduction
I Éclatement périodique dans le domaine temporel 
État de l’art des méthodes d’homogénéisation
1 Formalismes d’homogénéisation analytique 
1.1 Lois de mélange dans le domaine fréquentiel
1.1.1 Formalisme de Maxwell-Garnett
1.1.2 Formalisme de Clausius-Mossotti
1.1.3 Lois de puissances
1.1.4 Formalisme généralisé
1.2 Lois de mélange dans le domaine temporel
1.2.1 Mélange de deux matériaux dispersifs
1.2.2 Modèles de polarisation
1.3 Conclusion
2 Homogénéisation par éclatement périodique 
2.1 Position du problème
2.2 Opérateur d’éclatement périodique
2.3 Éclatement du réseau
2.4 Formulation variationnelle du problème homogénéisé
3 Simulation d’une structure périodique dispersive 
3.1 Discrétisation temporelle
3.2 Discrétisation spatiale de la forme variationnelle
3.2.1 Méthode des éléments finis
3.2.2 Application au calcul des paramètres effectifs
3.3 Prise en compte de la périodicité
3.4 Conclusion
4 Résultats des simulations 
4.1 Impact de la géométrie de l’inclusion
4.2 Effet du contraste de permittivité : cas de la neige sèche
4.3 Homogénéisation d’un gruyère anisotrope
4.4 Homogénéisation dans le domaine temporel
4.5 Dans le domaine fréquentiel : le mélange éthanol-eau
4.6 Permittivité extrinsèque négative
Conclusion et perspectives
II Homogénéisation dans le domaine fréquentiel d’un réseau d’anneaux fendus 
Introduction à l’homogénéisation dynamique
1 Formulation théorique de la perméabilité effective 
1.1 Position du problème
1.2 Homogénéisation par décomposition de Floquet-Bloch
1.2.1 Décomposition de Floquet-Bloch
1.2.2 Homogénéisation des équations de Maxwell
1.3 Nécessité d’un second paramètre
1.3.1 Formulation variationnelle du problème homogénéisé
1.3.2 Introduction des pertes par effet Joule
1.4 Formulation analytique pour les structures bidimensionnelles
1.5 Conclusion
2 Discrétisation du problème 
2.1 Maillage du modèle
2.2 Simulation d’une boîte vide avec conditions périodiques
2.3 Prise en compte du potentiel multivoque
2.3.1 Problème discrétisé sans pertes
2.3.2 Problème discrétisé avec pertes
2.4 Conclusion
3 Simulation d’un réseau anneaux fendus 
3.1 Structure du programme
3.2 Calcul de la perméabilité effective
3.3 Carte du champ électromagnétique
3.4 Influence de divers paramètres
3.4.1 Finesse du maillage
3.4.2 Dimensions de l’anneau
3.4.3 Propriétés électromagnétiques des matériaux utilisés
3.5 Simulation de structures bidimensionnelles
Conclusions et perspectives
III Caractérisation de métamatériaux en espace libre 
État de l’art des méthodes de caractérisation
1 Banc de caractérisation en espace libre 
1.1 Architecture du banc
1.2 Dimensionnement des lentilles focalisantes
1.3 Étalonnage en transmission-réflexion
1.4 Filtrage temporel
1.5 Calcul des paramètres effectifs
1.5.1 Inversion de Nicholson-Ross-Weir (NRW)
1.5.2 Algorithme itératif NIST
2 Résultats expérimentaux des caractérisations 
2.1 Corrections de la mesure
2.1.1 Nécessité de l’étalonnage
2.1.2 Effet du filtrage temporel
2.2 Calcul des paramètres constitutifs de diélectriques
2.2.1 Plaque de plexiglas
2.2.2 Plaque d’alumine
2.3 Mesure de métamatériaux
2.3.1 Surfaces à Haute Impédance à base de champignons
2.3.2 Réseau d’anneaux fendus
2.3.3 Réseau de fils métalliques
Conclusion et perspectives
Conclusion générale
Annexes
A Polarisabilité d’une sphère diélectrique
B Systèmes linéaires avec contraintes
C Coordonnées barycentriques
D Cornets quadri-striés
Table des figures
Liste des tableaux
Liste des publications
Bibliographie

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