Modélisation en mode de conduction continue (CCM) 

Les convertisseurs continu/continu sont devenus une composante essentielle des applications industrielles et militaires au cours des dernières décennies. Grâce à leur rendement de plus en plus élevé, leur encombrement, leur poids et leur coût réduits, ils ont remplacé les alimentations classiques linéaires, même pour de faibles niveaux de puissance. Un convertisseur de puissance peut être caractérisé comme un système périodique, non-linéaire et variant au cours du temps en raison de son fonctionnement basé sur le découpage. La topologie des éléments dynamiques du système dépend de l’état instantané de chaque interrupteur commandé, ce qui rend la modélisation complexe. Toutefois, les modèles analytiques des convertisseurs continu/continu à commande PWM sont essentiels pour leur conception et leur analyse dans de nombreuses applications telles que l’automobile, l’aéronautique, l’espace, les télécommunications, la marine, les ordinateurs, les équipements médicaux… Beaucoup d’efforts ont été faits au cours des dernières années pour modéliser les convertisseurs continu/continu. De nombreux modèles ont été proposés. Ces modèles sont très largement utilisés pour étudier les caractéristiques statiques et dynamiques des convertisseurs ainsi que pour concevoir leur système de régulation.

Les modèles dits « modèles moyennés » supposent que les effets du découpage sont « moyennés » durant une période de commutation. Ils sont employés usuellement pour analyser un système basé sur l’électronique de puissance. Les modèles continus grands signaux sont généralement non-linéaires et peuvent être linéarisés autour d’un point de fonctionnement donné. Les modèles moyennés ne sont qu’une approximation mais sont intéressants pour étudier les convertisseurs continu/continu : ils permettent de déterminer simplement des fonctions de transfert locales, de simuler la réponse transitoire aux perturbations grands-signaux, de linéariser les modèles des convertisseurs pour dimensionner la commande feedback… En outre, l’emploi de modèles moyennés dans un simulateur numérique réduit fortement les temps de calculs, notamment dans l’étude au niveau système.

Modélisation moyenne espace-état des convertisseurs continu/continu non-idéaux avec filtre d’entrée

N’importe quel convertisseur de puissance utilise un système de commande. Par exemple, dans un convertisseur continu/continu, la tension de sortie doit typiquement être maintenue constante, indépendante de la tension d’entrée et des variations de la charge. Pour concevoir un tel système de commande, il est important de disposer d’un modèle dynamique du convertisseur. En particulier, il faut savoir comment les variations de la tension d’entrée, du courant dans la charge et le rapport cyclique affectent la tension de sortie. Il faut connaître les fonctions de transfert en petits signaux. Pour trouver ces informations, il est souhaitable de modéliser le comportement du système, au moins dans ses grandes lignes, en négligeant certains phénomènes peu influents. Malheureusement, la compréhension du comportement dynamique du convertisseur est gênée par la nature non-linéaire et le caractère temporel des processus de commutation et de modulation de largeur d’impulsion (PWM ). Toutefois, ces difficultés peuvent être aplanies grâce à l’utilisation de techniques consistant à « moyenner » en petits signaux. Ces techniques impliquent des approximations qui visent à négliger des phénomènes relativement complexes mais d’influence secondaire au profit d’une meilleure compréhension de l’essentiel. Ces approximations peuvent toujours être minimisées en réintroduisant ultérieurement ce qui a été négligé comme des éléments de second ordre. Cette façon de procéder, en deux étapes, permet de réduire considérablement les développements mathématiques. Cela mène aussi à une meilleure compréhension qualitative de l’influence de chacun des paramètres.

L’approche moyennée en espace d’état pour les convertisseurs de puissance est utilisée couramment. Cela se justifie principalement par l’évidence apparente de cette méthode, par la simplicité de sa mise en œuvre, par la pertinence de ses résultats et par son aptitude à la généralisation [kis94, kre90, mit88]. Un modèle moyen petit-signal peut toujours être trouvé, étant donné que les équations d’état du convertisseur peuvent être écrites. La théorie du calcul de la moyenne offre un cadre permettant d’aborder les questions se rapportant à des problèmes de la stabilité en raison des interactions avec le filtre d’entrée (qui seront étudiées au chapitre 3). Les résultats obtenus fournissent des outils pour le développement et le perfectionnement des méthodes visant à la conception et la commande des systèmes électroniques de puissance. Les méthodologies analytiques conventionnelles consistant à moyenner ont été largement étudiées et décrites dans la littérature [ben94, mak01, mid77b, san91a, san91b, ver81]. Toutefois, le convertisseur est toujours supposé idéal. Considérer les composants idéaux, sans pertes, simplifie le développement du modèle mais peut parfois conduire à des erreurs dans la prévision des instabilités [maz01]. Cependant, inclure les pertes inhérentes aux éléments du circuit électrique pour améliorer la précision du modèle n’est pas une tâche triviale ; celle-ci consiste habituellement à manipuler des expressions mathématiques complexes [dav06a].

Modélisation en mode de conduction continue (CCM) 

Comme indiqué précédemment, la technique consistant à moyenner dans l’espace d’état fournit des équations petit-signaux basse-fréquence relatives au convertisseur. Les fonctions de transfert du convertisseur et les modèles à circuits équivalents peuvent ensuite être obtenus à partir de ces modèles d’état petits-signaux. La mise en équations du convertisseur fait apparaitre des variables d’état indépendantes telles que le courant dans une inductance et la tension aux bornes d’un condensateur.

Modélisation en mode de conduction discontinu (DCM) 

Les modèles analytiques concernant le fonctionnement en DCM sont essentiels pour l’analyse et la conception des convertisseurs continu/continu dans la plupart des applications. Beaucoup d’efforts ont été faits au cours des deux dernières décennies pour modéliser les convertisseurs fonctionnant en DCM [sun98]. Contrairement au CCM, des modèles moyens d’ordres différents sont présentés en cas de DCM. Certains de ces modèles sont obtenus en moyennant directement le circuit [eri01, vor90], d’autres en moyennant les équations d’état [cuk77, sun01]. Cependant, tous les modèles moyens en DCM peuvent être classés en trois principales catégories :
1. Modèles d’ordre réduit [cuk77, sun00, sun01]
2. Modèles d’ordre complet [mak91, vor90]
3. Modèles corrigés d’ordre complet [nir01, sun01, sun97]

Bien que ces modèles soient obtenus en moyennant dans l’espace-état ou par l’intermédiaire d’un circuit moyenné, les équations qui en résultent sont souvent identiques ou équivalentes. Le modèle est par conséquent d’ordre réduit ou d’ordre complet. Pour une topologie de convertisseur donnée, les modèles moyens d’ordre réduit sont généralement obtenus par une approche de moyennage espace-état [cuk77] ou par d’autres approches similaires [tym86], pour lesquelles le courant discontinu dans l’inductance est considéré comme une variable dépendante. Il n’apparaît donc pas comme une variable d’état. Bien que les modèles d’ordre réduit puissent prédire correctement le comportement basse-fréquence d’un convertisseur, de grandes divergences apparaissent à des fréquences plus élevées (au-dessus environ 1/10 de la fréquence de découpage). L’absence de courant dans l’inductance d’un modèle moyen est aussi très gênante dans certaines applications : par exemple, dans un PFC monophasé, le courant dans l’inductance est la variable à contrôler. Afin de surmonter les difficultés liées à ces modèles, des modèles moyens d’ordre complet ont été présentés pour analyser le fonctionnement en DCM d’un convertisseur [vor90] et [mak91]. Ces modèles maintiennent toutes les variables d’état du convertisseur, y compris le courant discontinu dans l’inductance. Ainsi ils se traduisent par une amélioration de précision par rapport aux modèles d’ordre réduit. Toutefois, certaines divergences ont toujours été observées à hautes fréquences comme il sera montré ultérieurement dans ce chapitre [sun01].

Table des matières

Chapter 1: INTRODUCTION
1.1 General Background
1.2 Motivations and Objectives
1.3 Outline of Dissertation
Chapter 2: STATE-SPACE AVERAGED MODELING OF NON-IDEAL DC-DC CONVERTERS WITH INPUT FILTER
2.1 Introduction
2.2 Modeling in Continuous Conduction Mode (CCM)
2.2.1 General Framework
2.2.2 Buck Converter Model with Input Filter
2.2.3 Boost Converter Model with Input Filter
2.2.4 Buck-Boost Converter Model with Input Filter
2.3 Modeling in Discontinuous Conduction Mode (DCM)
2.3.1 State of the Art
2.3.2 Averaging Paradox in DCM
2.3.3 Averaged Modeling of an Ideal Converter
2.3.3.1 Reduced-Order Models
2.3.3.2 Full-Order Models
2.3.3.3 Corrected Full-Order Models
2.3.4 Reformulation of Models for Non-Ideal Converter
2.3.4.1 Reduced-Order Model with Parasitics
2.3.4.2 Full-Order Model with Parasitics
2.3.4.3 Corrected Full-Order Model with Parasitics
2.3.5 Model Comparisons
2.3.5.1 Frequency Responses
2.3.5.2 Effect of Capacitor ESR
2.3.5.3 High-Frequency Pole in DCM
2.3.6 Experimental Investigation of Averaged Modeling in DCM
2.3.6.1 Small-Signal Measurement Procedure
2.3.6.2 Model Validations
2.3.6.3 Limitations of Averaged Modeling in DCM
2.3.7 Formulation of Averaged Models in DCM with Input Filters
2.3.7.1 Buck Converter Model with Input Filter
2.3.7.2 Boost Converter Model with Input Filter
2.3.7.3 Buck-Boost Converter Model with Input Filter
2.4 Summary
Chapter 3: INPUT FILTER INTERACTIONS AND CONTROL ISSUES – A PASSIVE SOLUTION FOR STABILITY
3.1 Introduction
3.2 Why Input Filters Can Cause Instability ?
3.3 State of the Art
3.4 Damping of Input Filter – A Passive Solution
3.5 Input-Filter Interactions in CCM
3.5.1 Buck Converter with Input Filter
3.5.2 Boost Converter with Input Filter
3.5.3 Buck-Boost Converter with Input Filter
3.5.4 Effect of Load on the Stability Conditions
3.6 Input-Filter Interactions in DCM
3.7 Experimental Validation of Stability Conditions
3.8 Optimum Damping
3.9 Case Study: Input-Filter Interactions in Cascade Buck Converters
3.9.1 Introduction
3.9.2 Generalized Averaged Model of n-Stage Cascade Buck Converter
3.9.2.1 Nonlinear Model
3.9.2.2 Linear Model
3.9.2.3 Open Loop Transfer Function
3.9.3 Stability Analysis of Cascade Buck Converter
3.9.3.1 Effect of Filter Poles on Converter Transfer Function
3.9.3.2 Conditions for Stability
3.9.3.3 Experimental Validation
3.10 Summary
Chapter 4: INFLUENCE OF PASSIVE DAMPING ON CONVERTER EFFICIENCY – A CRITICAL ANALYSIS
4.1 Introduction
4.2 Review of the Previous Work
4.3 Power-Loss Analysis
4.3.1 General Framework
4.3.2 Analysis of Buck Converter
4.3.3 Analysis of Boost Converter
4.3.4 Effect of CF on Damping Power-Loss
4.4 Design Considerations From Efficiency Viewpoint
4.5 Experimental Results
4.6 Summary
Chapter 5: CONTROL OF DC-DC CONVERTERS WITH INPUT FILTERS – AN ACTIVE SOLUTION FOR STABILITY
5.1 Introduction
5.2 State of the Art
5.3 Problem Definition
5.4 State-Feedback Control
5.4.1 Model of Converter for Control Design
5.4.2 Controller Design
5.4.2.1 Stabilization with State-Feedback
5.4.2.2 Pole-Placement
5.4.2.3 Feedback Gain Adaptation to Load and Line Variations
5.4.3 Application Example: Buck Converter with Input Filter
5.4.3.1 Control Implementation
5.4.3.2 Dynamic Response
5.4.3.3 Effect of Adaptive State-Feedback
5.5 Sliding-Mode Control
5.5.1 Variable Structure Control of Nonlinear Systems
5.5.2 Control Design Based on Lyapunov Function Approach
5.5.3 Application Example: Buck Converter with Input Filter
5.5.3.1 Control Implementation
5.5.3.2 Dynamic Response
5.6 Comparison of Control Schemes
5.7 Summary
Chapter 6: GENERAL CONCLUSIONS AND FUTURE PERSPECTIVES
6.1 Major Contributions of the Thesis
6.2 Suggestions for Future Research
APPENDICES
Appendix A: Transfer Function Coefficients of Cascade Buck Converter Example
Appendix B: Mathematica® Codes for the Derivation of Transfer Functions
Appendix C: MATLAB® Codes Used for Filtering the Measured Signals and their
Phase-Shift Calculation
BIBLIOGRAPHY

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