Modelisation directe des ecoulements

Depuis plusieurs décennies et notamment en lien avec la perspective du changement climatique, l’eau est considérée comme une ressource rare dans de nombreuses régions du monde du fait de la concurrence entre ses différents usages (agriculture irriguée, industrie, utilisation domestique et loisirs). L’agriculture représente environ 70 % des prélèvements d’eau douce, chiffre pouvant atteindre 95% dans certains pays en voie de développement (source FAO). De ce fait, l’amélioration de l’utilisation de l’eau en agriculture irriguée est devenue une préoccupation majeure. Il convient à la fois de tirer la meilleure partie de l’eau disponible pour des raisons économiques et de préserver l’environnement en adoptant des pratiques qui sauvegardent la qualité de la ressource en eau, en limitant les transferts des eaux souvent chargées de fertilisants et de pesticides vers les nappes.

Dans les réseaux d’irrigation l’eau s’écoule généralement par gravité dans des canaux. Une utilisation rationnelle de l’eau pour une satisfaction des différents usages est impérative. Cet aspect du problème nécessite généralement une maîtrise des processus qui gouvernent les écoulements à surface libre tels qu’ils se déroulent dans les canaux. L’étude mathématique de la propagation des écoulements dans les canaux naturels ou artificiels a été formulée par Barré de Saint-Venant (1871) à travers le système d’équations aux dérivées différentielles qui porte son nom. Ce système repose sur la conservation de la masse et de la quantité de mouvement. Compte tenu de la complexité de ces équations, une solution simplifiée est recherchée chaque fois que cela est possible. C’est ainsi qu’on est passé de l’équation de l’onde diffusante, à la méthode Muskingum. En matière de contrôle des plans d’eau pour l’irrigation, et particulièrement dans la gestion et la planification des ressources en eaux la répartition spatiale et temporelle des besoins est généralement connue. Il s’agit alors de calculer la répartition des volumes qui leurs sont associés. Le problème qui se pose est celui de la modélisation inverse : pour une condition aval fixée en une section du canal, il faut déterminer la condition associée à l’amont. Ce problème a été traité par différentes approches : équations de Saint – Venant (Wojciech & Romuald, 2009); équation de l’onde diffusante (Koussis, Mazi, Lykoudis, & Argiriou, 2012); équation d’Hayami (Dooge & Bruen, 2005); méthode Muskingum (Das, 2009). La méthode Muskingum a été initialement développée par McCarthy (1939), dans des travaux de planification (contrôle) dans la rivière Muskingum (Ohio) aux USA. Elle repose sur l’équation de continuité associée à une loi de stockage linéaire.

LA METHODE DE MUSKINGUM 

La méthode de Muskingum est classée parmi les modèles hydrologiques les plus utilisés dans le calcul des propagations des crues, dites à coefficients. Elle est caractérisée par des procédés qui approchent par de simples relations, les fonctions complexes qui existent entre le volume d’eau contenu dans un bief et les facteurs hydrauliques tels que le débit d’entrée, le débit de sortie, la hauteur d’eau et la pente. Un bief est une section d’un canal ou d’un cours d’eau comprise entre deux écluses ou entre deux chutes. L’équation de Muskingum peut être déterminée à partir de deux équations que sont l’équation de continuité et l’équation de stockage ou loi empirique de stockage linéaire (Boubakeur, 2011).

L’équation de continuité 

La méthode de Muskingum est basée sur les équations différentielles. La variation du volume stocké dans un bief est égale aux différences entre le débit entrant et le débit sortant exprimer par (1.1) (Boubakeur, 2011).

dVs(t) / dt = Qe(t) – Qs(t) (1.1)

MODELISATION INVERSE DES ECOULEMENTS 

Dans l’écoulement naturel tel qu’il se produit dans les cours d’eau, le frottement pariétal (à la paroi) provoque l’atténuation des hydrogrammes. La modélisation inverse des écoulements est une procédure visant à déterminer l’hydrogramme amont connaissant l’hydrogramme aval atténué par l’utilisation de la méthode Muskingum. Dans l’application classique de la méthode Muskingum, il y’a deux étapes : une étape de calage des paramètres (ou calibration du modèle) et une étape de validation du modèle. L’étape de calage doit précéder celle de la validation car c’est lors de cette étape que nous estimons les paramètres du modèle. De manière générale, le calage du modèle consiste à estimer ses paramètres inconnus de manière à simuler des réponses qui soient aussi proches que possibles des observations (Muzy & Higy, 1998).

Synthèse bibliographique sur la modélisation inverse 

La modélisation inverse des écoulements est le processus de calcul de l’hydrogramme entrant connaissant l’hydrogramme sortant le long d’un canal. Elle peut être faite en utilisant aussi bien les méthodes hydrauliques que les méthodes hydrologiques. Certains chercheurs ont eu à travailler sur la modélisation inverse et nous pouvons citer :

Das (2009) a travaillé sur la modélisation inverse des écoulements par l’utilisation du modèle Muskingum. Les équations de Muskingum qu’il a utilisées sont obtenues à partir de trois équations de continuités (deux non-linéaires et un linéaire) et la loi de stockage, ses équations sont en fonction de trois paramètres K, X et m pour l’équation non-linéaire et deux paramètres K et X pour l’équation linéaire. Les paramètres sont déterminés par estimation. Dans son travail le modèle d’estimation utilisé consiste à minimiser la somme des écarts normalisés entre les débits d’entrées observés et calculés avec comme contrainte l’égalité entre la variation du stockage et la variation de l’équation de continuité. L’optimisation de ces paramètres par la méthode des multiplicateurs de Lagrange donne un grand nombre d’équations qui sont résolues numériquement par les méthodes itératives dont la méthode de la bissection. Les résultats de ses tests montrent que ces trois modèles de Muskingum décrivent bien ce phénomène qui est la diffusion de l’onde.

Dooge et Bruen (2005) ont étudié le problème de l’utilisation de la modélisation inverse dans l’irrigation en évitant une inondation à la sortie quand le débit lâché à l’entrée d’un réservoir est modifié. Leur travail porte dans un premier temps le problème de la modélisation directe et dans un deuxième temps le problème inverse en utilisant le système de Saint-Venant. Le système de Saint-Venant qui ne peut pas être résolu analytiquement et l’intégration de l’équation de continuité du système donne une équation de stockage mais le système de SaintVenant peut abouti à une solution analytique. Cette solution analytique s’exprime à l’aide d’un produit de convolution. Les résultats obtenus après un bon nombre de test montrent que la modélisation inverse dans le cas non-linéaire est instable.

Koussis, Mazi, Lykoudis et Argiriou (2012) ont traité la modélisation inverse des écoulements dans le but d’identifier le débit entrant connaissant le débit sortant par utilisation de la méthode Muskingum dans la propagation d’onde de crue. Ils mettent en œuvre les principales méthodes de résolution des modèles de crue diffusante, de l’onde cinématique et des modèles conceptuels de type Muskingum pour décrire la modélisation inverse. La comparaison de ces méthodes leur a permis de conclure que dans la modélisation inverse le modèle Muskingum est efficace d’où la robustesse de son calcul numérique.

Wojciech et Romuald (2009) ont traité le problème de la modélisation inverse, en utilisant le système de Saint-Venant et l’équation de stockage. Le système de Saint Venant est résolu numériquement soit par la méthode des caractéristiques ou soit par la méthode des différences finies et dans ce travail ils ont utilisé la méthode des différences finies. La résolution numérique de ce système abouti à une équation qui permet de déterminer l’hydrogramme amont. Pour l’équation de stockage, la discrétisation de cette équation en N réservoir et l’utilisation de la formule de Manning permettent d’obtenir l’hydrogramme amont. Les résultats de ces tests faits par ces deux méthodes montrent que le système de Saint-Venant est plus approprié pour décrire la modélisation inverse.

Synthèse des travaux

Nous avons rassemblé un bon nombre de travail trouvé dans la littérature qui traite le problème de la modélisation inverse des écoulements. Das (2009) a montré que la modélisation inverse peut être étudiée en utilisant l’un des modèles Muskingum qui sont les deux équations non-linéaire et l’équation linéaire. Dooge et Bruen (2005), en étudiant les deux méthodes, ils ont trouvé que la forme non-linéaire est moins stable que la forme linéaire. Koussis, Mazi, Lykoudis et Argiriou (2012) ont comparé les différentes méthodes pour modéliser un écoulement à savoir le modèle de l’onde diffusante, le modèle de résolution de l’onde cinématique et le modèle Muskingum. Wojciech et Romuald (2009) ont montré que la modélisation inverse avec l’utilisation du système de Saint-Venant donne une translation et une atténuation de l’hydrogramme alors que l’utilisation de l’équation de stockage donne une simple translation de l’hydrogramme.

ESTIMATION DES PARAMETRES DE MUSKINGUM K ET X 

Les méthodes d’estimations des paramètres relèvent d’un aspect particulier des statistiques. Les difficultés particulières à la modélisation hydrologie sont entre autres (Muzy & Higy, 1998):
• L’indépendance des paramètres n’est pas toujours assurée.
• Les données hydrométéorologiques qui servent au calage du modèle sont entachées d’erreurs.
• Un modèle hydrologique est souvent surdéterminé, il y a moins inconnues (paramètre) que équations pour les calculer (les équations aux erreurs).
• Ce modèle devient en effet fastidieux dès que le nombre de paramètres est supérieur à trois.

Ces limites particulières incitent à adopter une méthode de calage plus rigoureuse et automatique. Dans cette méthode deux éléments sont nécessaires : une fonction objective et un algorithme d’optimisation.

Table des matières

INTRODUCTION GENERALE
CHAPITRE 1: MODELISATION DIRECTE DES ECOULEMENTS : DE L’AMONT VERS L’AVAL PAR LA METHODE MUSKINGUM
I. LA METHODE DE MUSKINGUM
I.1. Introduction
I.2. L’équation de continuité
I.3. Loi empirique de stockage linéaire
II. ESTIMATION DES PARAMETRES K ET X PAR LA METHODE DES MOINDRES CARRES
III. ORGANIGRAMME DE LA METHODE DE MUSKINGUM DIRECT
CHAPITRE 2: MODELISATION INVERSE DES ECOULEMENTS : DE L’AVAL VERS L’AMONT PAR LA METHODE MUSKINGUM
I. INTRODUCTION
I.1. Synthèse bibliographique sur la modélisation inverse
I.2. Synthèse des travaux
II. ESTIMATION DES PARAMETRES DE MUSKINGUM K ET X
II. 1. Rappel de la méthode de multiplicateur de Lagrange
II. 1. a. Dimension finie
II. 1. b. Cas généralisé
II. 1. c. Application de la méthode de multiplicateur de Lagrange
III. ORGANIGRAMME DE LA METHODE DE MUSKINGUM INVERSE
CHAPITRE 3 : APPLICATIONS ET RESULTATS
I. INTRODUCTION
II. APPLICATIONS ET RESULTATS POUR LA METHODE DIRECTE
III. APPLICATIONS ET RESULTATS POUR LA METHODE INVERSE
CONCLUSION GENERALE
BIBLIOGRAPHIE

Lire le rapport complet