Modélisation des systèmes incertains par transformation linéaire fractionnaire

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Structure générique du problème de validation de modèle.

Dans le but de l’identification et de la validation de modèle, le schéma 2.1 montre la structure générique du problème de validation de modèle de système incertain. Dans les expériences d’identification certaines entrées du système sont connues. L’entrée est maintenant divisée en u et d où u représente les entrées de système qui sont connues et d représente les entrées inconnues d’un ensemble de BL2 . La sortie du système va être notée par y , et elle est supposée corrompue par un signal de bruit w aussi de l’ensemble BL2 , elle représente les sorties mesurées et elle est supposée connue.
Il est convenable de définir un ensemble ∆ avec une structure de bloc appropriée représentant tous les blocs possibles d’incertitude (matrices complexes, matrices réelles, opérateurs,..), et qui sont de dimension appropriée.

Systèmes incertains

Le calcul de la commande d’un processus physique passe nécessairement par l’utilisation d’un modèle qui ne peut jamais être une représentation parfaite de la réalité : il y a toujours des incertitudes de modélisation, dont la conséquence est qu’on ne peut pas décrire exactement par un modèle mathématique le comportement d’un système physique. En effet, le modèle mathématique qui peut être issu, soit des équations physiques reflétant notre compréhension des mécanismes mis en jeu, soit d’une procédure d’identification du comportement entrée/sortie du système, dépend de paramètres dont la valeur est souvent mal connue ou évolue au cours du temps. Donc un système physique ne peut jamais être caractérisé exactement par un modèle mathématique, cependant dans certain cas nous avons une estimation de l’exactitude de notre modèle qui pourrait être plutôt imprécise. Par exemple, le modèle est bon à 25% environ jusqu’à 30 Hertz et au delà de 100 Hertz le modèle est trop imprécis pour l’utiliser pour la conception. Donc il se peut que nous ne voulions pas investir du temps et de l’effort pour obtenir un modèle plus précis, ou il se peut que le comportement change légèrement entre les expériences et nous ne pouvons pas déterminer un modèle plus précis. Dans la pratique, les deux aspects contribueront à l’incertitude. Nous voulons donc des moyens d’incorporer cette incertitude dans le modèle pour la procédure de validation de modèle.
L’approche de ces problèmes consiste alors à utiliser un modèle incluant une perturbation (incertitudes, bruit) inconnue mais bornée. La borne sur cette perturbation sera déterminée dans la suite de cette thèse afin de refléter la quantité d’incertitude. Le modèle incertain qui présente la plus petite perturbation en norme est celui qui décrit au mieux le système et donc celui qu’il est préférable d’utiliser pour la conception de la commande.
L’incertitude sur le modèle décrite précédemment par une perturbation résulte en général de deux sources; entrées inconnues et dynamique inconnue (par exemple dynamique en haute fréquence). Les entrées inconnues seront les entrées dans le modèle intervenant de façon additive sur la sortie de modèle ou/et des entrées du modèle expliquant le bruit de mesure, elles seront d’une énergie bornée. Tandis que la dynamique inconnue sera regroupée dans un composant inconnu du modèle, noté ∆ , représentant alors les incertitudes de modélisation telles que les dynamiques hautes fréquences qui sont mal connues ou volontairement négligées dans l’écriture du modèle, les retards purs, les incertitudes sur la valeur des paramètres physiques, les effets d’une linéarisation autour d’un point de fonctionnement, l’utilisation de modèles simplifiés pour les actionneurs et les capteurs. Cet opérateur inconnu ∆ sera supposé linéaire et invariant dans le temps de norme bornée.

Ensemble de modèles pour les systèmes incertains

Les systèmes incertains forment la base des techniques de validation de modèle présentées dans ce travail. La structure de base de ces modèles peut être considérée comme l’association d’un système nominal et d’une perturbation inconnue bornée de taille spécifiée. Conceptuellement, ceci peut être regardé comme indiqué dans la figure 3.1.
Ici Pnom représente le modèle nominal du système et ∆ est la perturbation. La taille de l’ensemble de modèles est contrainte en mettant une borne sur la taille de cette perturbation.
Chaque perturbation différente ∆ , donne un modèle de système légèrement différent. Le modèle complet de système incertain est donc une description de l’ensemble et nous espérons que certains membres de cet ensemble décrivent une partie des aspects incertains ou non modélisés de notre système physique. Donc, un modèle d’étude unique est en général trop restrictif : il est plus raisonnable de considérer un ensemble de modèles permettant d’englober les éléments incertains et non stationnaires.
Par exemple, considérons un modèle décrit par un opérateur linéaire Pnom , avec une incertitude additive et un bruit sur la sortie, comme présenté sur la figure 3.2. Une hypothèse sur l’incertitude ∆ est que ∆ est un opérateur linéaire de norme bornée par un nombre positif γ , une hypothèse sur le signal de bruit w est qu’il est un signal de norme inférieure à un certain nombre positif. Soit l’équation entrée-sortie du système : y = ( Pnom + ∆ Pz )u + Pw w = Pnom u + v + Pw w (3.1)
Donc la sortie y , ne dépend pas seulement de l’entrée connue u , mais aussi de signal de bruit w et du signal d’incertitude v . Par conséquent, pour une seule entrée il y a un ensemble de sorties possibles, donc il est plus précis de parler d’un ensemble de modèles.
Nous sommes intéressés en décrivant un système par un ensemble de modèles, plutôt que par un seul modèle nominal. L’approche de système incertain donne alors des moyens de décrire cet ensemble de modèles et nous espérons que quelques membres de cet ensemble capturent une partie des aspects incertains ou non modélisés de notre système physique pour que les méthodologies de conception de la commande robuste puissent être alors utilisées d’une manière satisfaisante. Utiliser l’ensemble de modèles, plutôt qu’un seul modèle nominal, permet la procédure de validation de modèle étudiée dans cette thèse, de sélectionner le meilleur modèle dans l’ensemble de modèles qui a la plus petite perturbation et donc de concevoir une loi de commande robuste aux erreurs de modélisation.

Exemple illustratif

Afin d’illustrer la notion d’un ensemble de modèle pour les systèmes incertains, on considère l’exemple d’un modèle donné par le schéma de la figure 3.3.

Modélisation des systèmes incertains par transformation linéaire fractionnaire.

Le but initial de l’introduction de la transformation linéaire fractionnaire fut de représenter de manière simple les fonctions de transfert en boucle fermée. Son intérêt s’est vu élargi avec l’apparition de nouvelles techniques de commande robuste en stabilité et en performances. Donc elle est devenue intrinsèquement liée à la modélisation sous forme standard d’un système [Fon95]. Cette modélisation par transformation fractionnaire linéaire (LFT) fournit un cadre général de modélisation et d’étude pour la plupart des systèmes, en particulier les systèmes linéaires dépendant de paramètres incertains, variant ou invariant dans le temps. Elle apparaît dans nos problèmes lorsque l’on est amené à isoler un bloc d’incertitude entachant un modèle nominal connu a priori.
Dans cette thèse on se limitera au cas particulier des systèmes linéaires invariants dans le temps (LTI).

Table des matières

Chapitre 1 – Introduction générale
1.1. Introduction
1.2. Contexte de la thèse
1.3. Problématique
1.4. Objectif de la thèse
1.5. Validation ou invalidation ?
1.6. Organisation de la thèse
Chapitre 2 – Notations et définitions
2.1. Introduction
2.2. Notations Algébriques
2.3. Acronymes
2.4. Normes des signaux et des systèmes
2.4.1. Norme 2
2.4.2. Norme ∞
2.5. Structure générique du problème de validation de modèle
2.6. Conclusion
Chapitre 3 – Modélisation des systèmes incertains
3.1. Introduction
3.2. Systèmes incertains
3.3. Ensemble de modèles pour les systèmes incertains
3.4. Exemple illustratif
3.5. Exemples d’ensemble de modèles
3.6. Modélisation des systèmes incertains par transformation linéaire fractionnaire
3.6.1 Définition d’une Transformation fractionnaire linéaire
3.6.2 Algèbre des LFT’s
3.7. Modélisation des incertitudes paramétriques
3.8. Modélisation des incertitudes non structurées
3.8.1 Incertitudes non structurées additives
3.8.2 Incertitudes non structurées multiplicatives
3.8.3 Incertitudes scalaires complexes
3.8.4 Incertitudes multiformes
3.9. Matrice d’incertitude générale Δ
3.10. Modèle général pour le problème de validation de modèle
3.11. Conclusion
Chapitre 4 – Etat de l’art
4.1. Introduction
4.2. Identification
4.3. Problème de la commande
4.4. Interaction entre l’identification et la commande
4.5. Validation de modèle
4.5.1. Domaine fréquentiel
4.5.2. Domaine temporel
4.6. Conclusion
Chapitre 5 – Validation de modèle de systèmes incertains
5.1. Introduction
5.2. Etude préliminaire
5.3. Normalisation du problème
5.4. Validation de modèle pour la structure LFT
5.5. Problème générique de validation de modèle
5.6. Première approche du problème de validation de modèle
5.7. Optimisation convexes : Les Inégalités Matricielles Affines
5.8. Résolution du problème par le formalisme LMI
5.9. Deuxième approche du problème de validation de modèle
5.10. Généralisation des valeurs singulières structurées
5.10.1 Définition équivalente de la valeur singulière structurée
5.10.2 Définition de la valeur singulière structurée généralisée
5.11. Application de μg au problème de validation de modèle
5.11.1 Construction de la matrice complexe
5.11.2 Application au problème de validation de modèle
5.12. Evaluation de la fonction μg
5.12.1 Formulation de la borne supérieure de μg comme un LMI
5.12.2 Valeurs singulières structurées généralisées en présence des incertitudes paramétriques réelles
5.12.3 Borne inférieure pour μg
5.12.4 Formulation comme un problème μ standard
5.13. Récapitulatif
5.14. Extension à la structure générale du modèle générique
5.15. Conclusion
Chapitre 6 – Applications
6.1. Introduction
6.2. Exemple illustratif
6.3. Application au système de trois cuves
6.3.1. Description du procédé
6.3.2. Modélisation
6.3.3. Identification par l’expérience
6.3.4. Système à un seul réservoir
6.3.5. Système à trois réservoirs
6.4. Conclusion
Conclusion générale
Annexes
Annexe A – Stabilité robuste
Annexe B – Choix du signal d’excitation
Références

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